東京大学　2026年度　前期日程　理科

第1問微分積分の解答・解説

奇関数の増減・sin θ の多項式評価・定積分の評価・符号が一定であること当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

答 $M = sin 1 - \frac{5}{6}, m = \frac{5}{6} - sin 1 (= - M)$

方針 $f^{'} (θ) = cos θ - 1 + \frac{θ ^{2}}{2}$ の符号を見る。これをさらに微分すると $θ - sin θ$ になり、符号がはっきりする。

f^{'} (θ) = cos θ - 1 + \frac{θ ^{2}}{2}, f^{''} (θ) = θ - sin θ

$θ > 0$ では $θ > sin θ$ 、 $θ < 0$ では $θ < sin θ$ なので、 $f^{'}$ は $θ = 0$ で最小。 $f^{'} (0) = 0$ だから $f^{'} (θ) \geq 0$ で、等号は $θ = 0$ のときだけ。

よって $f$ は $[- 1, 1]$ で増加（狭義）。端での値が最大・最小になる。

M = f (1) = sin 1 - 1 + \frac{1}{6} = sin 1 - \frac{5}{6}, m = f (- 1) = - sin 1 + \frac{5}{6}

検算

$sin 1 = 0.8414709 \dots$ 、 $\frac{5}{6} = 0.8333 \dots$ なので $M = 0.0081376 \dots$ 。正の小さな値で、 $sin θ$ が $θ - \frac{θ ^{3}}{6}$ よりわずかに大きいことを表している。

答案で省略しない方がよい点

$f^{'}$ の符号を直接は読めない。もう一度微分して $θ - sin θ$ にすると、 $f^{'}$ が $θ = 0$ で最小値 $0$ をとることが分かる。
$f$ が奇関数であることに触れておくと、 $m = - M$ がすぐ出て (2) につながる。

答加法定理で分けると片方が $0$ になり、残りに (1) を $θ = cos x$ として適用する

方針 $sin (cos x - x)$ を加法定理でほどくと、 $sin x$ を含むほうは置換で $0$ になる。残った $sin (cos x) cos x$ に、 $∣ cos x ∣ \leq 1$ だから (1) がそのまま使える。

sin (cos x - x) = sin (cos x) cos x - cos (cos x) sin x

後ろの項は $\frac{d}{d x} (- sin (cos x)) = cos (cos x) sin x$ だから

\int_{0}^{2 π} cos (cos x) sin x d x = [- sin (cos x)]_{0}^{2 π} = 0

よって $I = \int_{0}^{2 π} sin (cos x) cos x d x$ を評価すればよい。 $θ = cos x$ とおくと $∣ θ ∣ \leq 1$ なので、(1) の $f$ を使って

sin (cos x) cos x = (cos x - \frac{c o s ^{3} x}{6}) cos x + f (cos x) cos x

第1項の積分は

\int_{0}^{2 π} (cos^{2} x - \frac{c o s ^{4} x}{6}) d x = π - \frac{1}{6} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{7}{8} π

残りを評価する。 $f$ は奇関数で増加だから $f (θ)$ は $θ$ と同じ符号をもち、 $f (cos x) cos x \geq 0$ 。さらに $∣ f (θ) ∣ \leq M$ なので

0 \leq f (cos x) cos x = ∣ f (cos x) ∣ ∣ cos x ∣ \leq M ∣ cos x ∣

$\int_{0}^{2 π} ∣ cos x ∣ d x = 4$ だから

0 \leq \int_{0}^{2 π} f (cos x) cos x d x \leq 4 M

以上を足して $\frac{7}{8} π \leq I \leq \frac{7}{8} π + 4 M$ 。

検算

数値で $I = 2.76460 \dots$ 、 $\frac{7}{8} π = 2.74889 \dots$ 、 $\frac{7}{8} π + 4 M = 2.78144 \dots$ 。確かに間に入っている。

答案で省略しない方がよい点

下からの評価で $- 4 M$ ではなく $0$ まで詰められるのが要点。 $f$ が奇関数で増加だから $f (θ) θ \geq 0$ が言える。単に $∣ f ∣ \leq M$ と押さえると $\frac{7}{8} π - 4 M$ までしか出ない。
$\int_{0}^{2 π} cos^{4} x d x = \frac{3 π}{4}$ 。半角を2回使うか、 $\frac{3}{8} \cdot 2 π$ と覚えておく。