東京大学　2026年度　前期日程　理科

第3問空間図形・軌跡の解答・解説

球面と平面の交わり・重心の条件・弦の中点・通過領域と双曲線当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/06

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/05時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)線分 $PQ$ の中点 $M$ の軌跡を求める

答円 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$ から点 $(5, 0)$ を除いたもの

方針重心の条件を $R$ について解くと、 $R$ が $M$ だけで決まる。 $R$ が球面上にあることが、そのまま $M$ の条件になる。

$P, Q$ は $x y$ 平面上の $S$ 上、つまり円 $x^{2} + y^{2} = 25, z = 0$ 上にある。 $M (u, v, 0)$ とすると $OP + OQ = (2 u, 2 v, 0)$ で、重心の条件から

R = (6 - 2 u, - 2 v, 3)

$R$ も $S$ 上なので $∣ R ∣ = 5$ 、すなわち

(6 - 2 u)^{2} + 4 v^{2} + 9 = 25 ⟺ (u - 3)^{2} + v^{2} = 4

逆に、この円上の $M$ に対して、 $M$ を中点とする弦 $PQ$ が取れるのは $∣ OM ∣ < 5$ のとき（ $P \neq = Q$ が要る）。この円上では

∣ OM ∣^{2} = u^{2} + v^{2} = u^{2} + 4 - (u - 3)^{2} = 6 u - 5

$1 \leq u \leq 5$ より $∣ OM ∣^{2} \leq 25$ で、等号は $u = 5$ すなわち $M (5, 0)$ のときだけ。そこを除く。

答案で省略しない方がよい点

$(5, 0)$ を除く一言を落とさない。ここは $P = Q$ になってしまい、三角形ができない。
$P, Q$ を個別に置かず、和（＝中点の2倍）だけで $R$ が書けることに気づくと一気に進む。

(2)線分 $PQ$ が通過する範囲を求める

答 $x^{2} + y^{2} \leq 25$ かつ $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} \leq 1$ をみたす部分（境界を含む）。ただし点 $(5, 0)$ を除く

方針点 $X$ が弦 $PQ$ 上にある条件は「 $X - M$ が $OM$ と垂直」かつ「 $∣ X ∣ \leq 5$ 」。前者を $M$ の存在条件に読み替える。

中点 $M$ の弦は $OM$ に垂直なので、 $X (x, y)$ がその弦上にある条件は $OX \cdot OM = ∣ OM ∣^{2}$ かつ $∣ OX ∣ \leq 5$ 。

$M (u, v)$ は (1) の円上なので $u = 3 + 2 cos φ, v = 2 sin φ$ と書ける。 $∣ OM ∣^{2} = 6 u - 5$ を使って整理すると

xu + y v = 6 u - 5 ⟺ (x - 6) cos φ + y sin φ = \frac{13 - 3 x}{2}

これをみたす $φ$ が存在する条件は、合成して

\frac{13 - 3 x}{2} \leq (x - 6)^{2} + y^{2}

両辺を2乗して整理すると

5 (x - 3)^{2} - 4 y^{2} \leq 20 ⟺ \frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} \leq 1

これと $x^{2} + y^{2} \leq 25$ を合わせたものが通過範囲。双曲線 $\frac{( x - 3 ) ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1$ の2つの分枝に挟まれた側（頂点は $(1, 0)$ と $(5, 0)$ ）を、半径 $5$ の円板で切り取った形になる。