独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問2問・無料

名古屋大学　2019年度　前期日程　理科系

第3問整数の解答・解説

平方根の小数部分・不等式の整数解・ガウス記号当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)正の整数 $n$ の正の平方根 $n$ が整数でなく、 $10$ 進法で表したとき小数第1位が $0$ 、第2位が $0$ 以外であるとき、このような $n$ の最小のものを求める

答 $n = 26$

条件を小数部分の不等式 $0.01 ≦ n - m < 0.1$ （ $m = [n]$ ）に書き直す。2乗すると $n$ が入る区間が $m$ の式で書けるので、 $m = 1, 2, 3, \dots$ と順に、その区間に整数が入るかを見ればよい。

$m = [n]$ とおく。 $n$ の小数部分を $f = n - m$ とすると、条件は

小数第1位が $0$ ： $0 ≦ f < 0.1$
小数第2位が $0$ 以外： $f ≧ 0.01$ （これは $n$ が整数でないことも含む）

すなわち

0.01 ≦ n - m < 0.1 \dots ①

である。① の各辺に $m$ を足して2乗すると（すべて正なので向きは変わらない）

(m + 0.01)^{2} ≦ n < (m + 0.1)^{2}

すなわち

m^{2} + 0.02 m + 0.0001 ≦ n < m^{2} + 0.2 m + 0.01 \dots ②

である。 $k = n - m^{2}$ （整数）とおくと ② は

0.02 m + 0.0001 ≦ k < 0.2 m + 0.01 \dots ③

となる。 $m$ を小さいほうから調べる。

$m = 1$ ： $0.0201 ≦ k < 0.21$ 。整数 $k$ なし
$m = 2$ ： $0.0401 ≦ k < 0.41$ 。なし
$m = 3$ ： $0.0601 ≦ k < 0.61$ 。なし
$m = 4$ ： $0.0801 ≦ k < 0.81$ 。なし
$m = 5$ ： $0.1001 ≦ k < 1.01$ 。 $k = 1$ があり、 $n = 25 + 1 = 26$

$m$ が大きくなると $n ≧ m^{2}$ も大きくなるので、 $m ≦ 4$ に解がない以上、最小は $m = 5$ のときの

n = 26

である。実際 $26 = 5.09901 \dots$ で、小数第1位は $0$ 、第2位は $9$ である。

③ の右端が $1$ を超えるのは $0.2 m + 0.01 > 1$ 、つまり $m ≧ 5$ のときである。「 $k = 1$ が入れるようになる最小の $m$ 」が $5$ だと見てもよい。

$n = 1$ から順に $n$ の小数部分を計算すると、条件を満たす最小の $n$ は $26$ だった。

「小数第2位が $0$ 以外」は $f ≧ 0.01$ と同値（ $f < 0.1$ のもとで）。 $f > 0$ だけでは足りない。

$(m + 0.01)^{2}$ を展開するとき $0.0001$ を落とさない。もっとも、 $k$ が整数なので最後は効かない。

(2)このような $n$ を小さいものから順に並べたときの10番目を求める

答 $n = 145$

(1) の ③ をそのまま $m = 5, 6, 7, \dots$ と続ける。 $m$ ごとに該当する $k$ （したがって $n$ ）を全部書き出し、 $m$ の小さい順に並べれば順番がそのまま決まる。

(1) の ③ は

0.02 m + 0.0001 ≦ k < 0.2 m + 0.01

である。 $m$ が同じなら $n = m^{2} + k$ は $k$ について増加し、 $m$ が1つ増えると $n$ は必ず大きくなるので、 $m$ の小さい順に並べればよい。

$m = 5$ ： $0.1001 ≦ k < 1.01$ より $k = 1$ 。 $n = 26$
$m = 6$ ： $0.1201 ≦ k < 1.21$ より $k = 1$ 。 $n = 37$
$m = 7$ ： $0.1401 ≦ k < 1.41$ より $k = 1$ 。 $n = 50$
$m = 8$ ： $0.1601 ≦ k < 1.61$ より $k = 1$ 。 $n = 65$
$m = 9$ ： $0.1801 ≦ k < 1.81$ より $k = 1$ 。 $n = 82$
$m = 10$ ： $0.2001 ≦ k < 2.01$ より $k = 1, 2$ 。 $n = 101, 102$
$m = 11$ ： $0.2201 ≦ k < 2.21$ より $k = 1, 2$ 。 $n = 122, 123$
$m = 12$ ： $0.2401 ≦ k < 2.41$ より $k = 1, 2$ 。 $n = 145, 146$

小さい順に並べると

26, 37, 50, 65, 82, 101, 102, 122, 123, \underline{145}, 146, \dots

なので、10番目は

n = 145

である。実際 $145 = 12.04159 \dots$ で、小数第1位は $0$ 、第2位は $4$ である。

$m$ ごとの個数は ③ の区間の幅 $0.18 m + 0.0099$ でおおよそ決まり、 $m = 5 \sim 9$ で1個、 $m = 10 \sim 15$ で2個、…… と増えていく。9番目までが $m ≦ 11$ で尽きるので、10番目は $m = 12$ の小さいほうになる。

$n$ を $1$ から順に総当たりすると、条件を満たすものは $26, 37, 50, 65, 82, 101, 102, 122, 123, 145, \dots$ で、10番目は $145$ だった。

$m$ ごとに $k$ が1個とは限らない。 $m = 10$ から2個になるので、ここで数え落とすと順番がずれる。

$k < 0.2 m + 0.01$ の右端は整数になりえない（ $0.01$ がある）ので、 $k ≦ [0.2 m + 0.01]$ としてよい。

2019年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大数学2027

名大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・124ページ・2026年7月23日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)正の整数 n の正の平方根 n​ が整数でなく、10 進法で表したとき小数第1位が 0、第2位が 0 以外であるとき、このような n の最小のものを求める

(2)このような n を小さいものから順に並べたときの10番目を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)正の整数 $n$ の正の平方根 $n$ が整数でなく、 $10$ 進法で表したとき小数第1位が $0$ 、第2位が $0$ 以外であるとき、このような $n$ の最小のものを求める

(2)このような $n$ を小さいものから順に並べたときの10番目を求める