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名古屋大学　2019年度　前期日程　理科系

第2問空間ベクトルの解答・解説

正射影・内積・鈍角の判定・余弦定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)空間内の $∠ BAC = \frac{π}{2}$ の直角二等辺三角形 $ABC$ と平面 $P$ があり、 $A$ は $P$ 上、 $B, C$ は $P$ 上になく $P$ に関して同じ側にある。 $B, C$ から $P$ に下ろした垂線の足を $B^{'}, C^{'}$ とするとき、 $AB^{'} \cdot AC^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C = 0$ を示す

答 $AB = AB^{'} + B^{'} B$ などと分解すると、直交する項が消えて $AB \cdot AC = 0$ そのものになる

$AB$ を「 $P$ に平行な成分」と「 $P$ に垂直な成分」に分ける。前者が $AB^{'}$ 、後者が $B^{'} B$ で、異なる種類どうしの内積は $0$ になる。示すべき式はちょうど $AB \cdot AC$ の展開である。

$P$ の単位法線ベクトルを $n$ とする。 $B^{'}$ は $B$ から $P$ に下ろした垂線の足なので $B^{'} B$ は $n$ に平行、 $AB^{'}$ は $P$ 上のベクトルなので $n$ に垂直である。 $C$ についても同じである。したがって

AB^{'} \cdot C^{'} C = 0, B^{'} B \cdot AC^{'} = 0

である。一方

AB = AB^{'} + B^{'} B, AC = AC^{'} + C^{'} C

なので、内積を展開すると

AB \cdot AC = AB^{'} \cdot AC^{'} + AB^{'} \cdot C^{'} C + B^{'} B \cdot AC^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C

で、まん中の2項が $0$ だから

AB \cdot AC = AB^{'} \cdot AC^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C

である。 $∠ BAC = \frac{π}{2}$ より左辺は $0$ なので

AB^{'} \cdot AC^{'} + B^{'} B \cdot C^{'} C = 0

である。 $■$

座標を組んで数値で確かめると、左辺は $0.00 e + 00$ になった。

$AB^{'}$ は「 $P$ 上のベクトル」、 $B^{'} B$ は「 $P$ に垂直なベクトル」。この2種類が直交することを明記する。

$A$ が $P$ 上にあるので $AB^{'}$ が $P$ 上のベクトルになる。 $A$ の位置の条件が効いている。

(2) $∠ B^{'} AC^{'} > \frac{π}{2}$ を示す

答(1) より $AB^{'} \cdot AC^{'} = - B^{'} B \cdot C^{'} C < 0$

$B, C$ は $P$ の同じ側にあるので $B^{'} B$ と $C^{'} C$ は同じ向きで、その内積は正である。(1) の等式からもう一方の内積が負と分かる。

$P$ の単位法線 $n$ を、 $B$ のある側を向くようにとる。 $B, C$ は $P$ 上になく同じ側にあるので、正の数 $b, c$ があって

B^{'} B = b n, C^{'} C = c n (b > 0, c > 0)

と書ける。 $∣ n ∣ = 1$ だから

B^{'} B \cdot C^{'} C = b c > 0

である。(1) より

AB^{'} \cdot AC^{'} = - b c < 0 \dots ①

である。とくに左辺は $0$ でないので $AB^{'} \neq = 0$ 、 $AC^{'} \neq = 0$ であり、 $∠ B^{'} AC^{'}$ が定まる。そして

cos ∠ B^{'} AC^{'} = \frac{AB ^{'} \cdot AC ^{'}}{AB ^{'} AC ^{'}} < 0

である。 $0 ≦ ∠ B^{'} AC^{'} ≦ π$ で $cos$ が負なのは $\frac{π}{2} < ∠ B^{'} AC^{'} ≦ π$ のときだから

∠ B^{'} AC^{'} > \frac{π}{2}

である。 $■$

「同じ側にある」が $b, c$ の符号をそろえ、「 $P$ 上にない」が $b, c \neq = 0$ を保証している。どちらが欠けても結論は崩れる。

(3) の設定で実際に角を計算すると $109. 1^{\circ} > 9 0^{\circ}$ だった。

$AB^{'} = 0$ だと角が定まらない。① の左辺が $0$ でないことから、 $B^{'} \neq = A$ 、 $C^{'} \neq = A$ が言える。

(3) $P$ 上の三角形 $AB^{'} C^{'}$ の辺の長さが短いものから $4, 21, 7$ であるとき、辺 $AB$ の長さを求める

答 $AB = 5$

(2) より $A$ のところが鈍角なので、 $A$ の対辺 $B^{'} C^{'}$ がいちばん長い $7$ に決まる。これで3辺の割り当てが確定し、余弦定理から ① の $b c$ が出る。あとは $AB = AC$ を使って $b, c$ を決める。

辺の割り当て。 三角形では最大角の対辺が最大辺である。(2) より $∠ B^{'} AC^{'}$ は鈍角で、三角形の鈍角は1つしかないから $∠ B^{'} AC^{'}$ が最大角である。よってその対辺 $B^{'} C^{'}$ が最大辺で

B^{'} C^{'} = 7, {AB^{'}, AC^{'}} = {4, 21}

である。以下 $AB^{'} = 4$ 、 $AC^{'} = 21$ とする（入れ替えても $AB$ は同じ値になることを最後に確かめる）。

平面 P 上の三角形 AB'C'。A のところが鈍角（約 109.1°）なので、その対辺 B'C' が最大辺 7 になる。

内積を求める。 余弦定理から

cos ∠ B^{'} AC^{'} = \frac{4 ^{2} + ( 21 ) ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 21} = \frac{16 + 21 - 49}{8 21} = \frac{- 12}{8 21} = - \frac{3}{2 21}

である（負なので確かに鈍角）。よって

AB^{'} \cdot AC^{'} = 4 \cdot 21 \cdot (- \frac{3}{2 21}) = - 6

で、(2) の ① から

b c = 6 \dots ②

である。

$b, c$ を決める。 三平方の定理から

AB^{2} = AB^{' 2} + b^{2} = 16 + b^{2}, AC^{2} = AC^{' 2} + c^{2} = 21 + c^{2}

である。 $△ ABC$ は $∠ BAC = \frac{π}{2}$ の直角二等辺三角形なので $AB = AC$ 、したがって

16 + b^{2} = 21 + c^{2}, すなわち b^{2} - c^{2} = 5 \dots ③

である。② より $c = \frac{6}{b}$ を ③ に入れると

b^{2} - \frac{36}{b ^{2}} = 5 ⟹ b^{4} - 5 b^{2} - 36 = 0 ⟹ (b^{2} - 9) (b^{2} + 4) = 0

となる。 $b > 0$ より $b^{2} = 9$ 、つまり $b = 3$ で、② から $c = 2$ である。よって

AB^{2} = 16 + 9 = 25, AB = 5

である。

入れ替えた場合。 $AB^{'} = 21$ 、 $AC^{'} = 4$ とすると ③ は $b^{2} - c^{2} = - 5$ になり、同じ計算で $b = 2, c = 3$ 、 $AB^{2} = 21 + 4 = 25$ でやはり $AB = 5$ である。

AB = 5

$(b, c) = (3, 2)$ として座標を組むと $AB = AC = 5.000000000$ 、 $AB \cdot AC = 0$ 、 $B^{'} C^{'} = 7.000000$ で、すべて条件に合った。

「短いものから $4, 21, 7$ 」だけでは $A$ がどの頂点か決まらない。(2) の鈍角が、最大辺 $7$ を $A$ の対辺に固定する働きをしている。

$b^{4} - 5 b^{2} - 36 = 0$ の $b^{2} = - 4$ は捨てる。 $b$ は長さなので正である。

$AB = AC$ は「直角二等辺」の等辺が $AB, AC$ であることによる（直角が $A$ にあるから）。

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問題文について

(1)空間内の ∠BAC=2π​ の直角二等辺三角形 ABC と平面 P があり、A は P 上、B,C は P 上になく P に関して同じ側にある。B,C から P に下ろした垂線の足を B′,C′ とするとき、AB′⋅AC′+B′B⋅C′C=0 を示す

(2)∠B′AC′>2π​ を示す

(3)P 上の三角形 AB′C′ の辺の長さが短いものから 4, 21​, 7 であるとき、辺 AB の長さを求める

同じ形式の問題を、5回分

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