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名古屋大学　2019年度　前期日程　理科系

第1問積分法の解答・解説

漸化式のある定積分・部分積分・円錐の切断・弓形の面積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{cos ^{n} θ}$ について $I_{1}$ を求める

答 $I_{1} = lo g (2 + 3)$

問題に与えられた分解 $\frac{1}{cos θ} = \frac{1}{2} (\frac{cos θ}{1 + sin θ} + \frac{cos θ}{1 - sin θ})$ をそのまま使う。分子が分母の微分（の $\pm$ ）になっているので、どちらも $lo g$ になる。

$(1 + sin θ)^{'} = cos θ$ 、 $(1 - sin θ)^{'} = - cos θ$ なので

\int \frac{d θ}{cos θ} = \frac{1}{2} {lo g (1 + sin θ) - lo g (1 - sin θ)} + C = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + sin θ}{1 - sin θ} + C

である（ $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ では $1 \pm sin θ > 0$ ）。 $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ 、 $sin 0 = 0$ だから

I_{1} = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + \frac{3}{2}}{1 - \frac{3}{2}} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 + 3}{2 - 3}

である。分母を有理化すると $(2 - 3) (2 + 3) = 1$ だから

\frac{2 + 3}{2 - 3} = (2 + 3)^{2}

で、したがって

I_{1} = \frac{1}{2} lo g (2 + 3)^{2} = lo g (2 + 3)

である。

数値積分で $1.3169578969$ 、 $lo g (2 + 3) = 1.3169578969$ だった。

$\frac{2 + 3}{2 - 3}$ をそのまま $lo g$ に残さない。 $(2 - 3) (2 + 3) = 1$ で平方になる。

(2) $n ≧ 3$ のとき $I_{n}$ を $I_{n - 2}$ と $n$ で表す

答 $I_{n} = \frac{3 \cdot 2 ^{n - 2} + ( n - 2 ) I _{n - 2}}{n - 1}$

$\frac{tan θ}{cos ^{n - 2} θ}$ を微分すると $\frac{1}{cos ^{n} θ}$ と $\frac{1}{cos ^{n - 2} θ}$ だけが出てくる。これを $0$ から $\frac{π}{3}$ まで積分すれば、そのまま漸化式になる。部分積分を「微分して確かめる」向きに使うのがいちばん速い。

$\frac{tan θ}{cos ^{n - 2} θ}$ を微分する。積の微分で

\frac{d}{d θ} (\frac{tan θ}{cos ^{n - 2} θ}) = \frac{1}{cos ^{2} θ} \cdot \frac{1}{cos ^{n - 2} θ} + tan θ \cdot \frac{( n - 2 ) sin θ}{cos ^{n - 1} θ}

である（ $(cos^{- (n - 2)} θ)^{'} = (n - 2) sin θ cos^{- (n - 1)} θ$ ）。まとめると

= \frac{1}{cos ^{n} θ} + \frac{( n - 2 ) sin ^{2} θ}{cos ^{n} θ} = \frac{1}{cos ^{n} θ} + \frac{( n - 2 ) ( 1 - cos ^{2} θ )}{cos ^{n} θ}

すなわち

\frac{d}{d θ} (\frac{tan θ}{cos ^{n - 2} θ}) = \frac{n - 1}{cos ^{n} θ} - \frac{n - 2}{cos ^{n - 2} θ}

である。両辺を $0$ から $\frac{π}{3}$ まで積分すると、右辺は $(n - 1) I_{n} - (n - 2) I_{n - 2}$ で、左辺は

[\frac{tan θ}{cos ^{n - 2} θ}]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{3}{( \frac{1}{2} ) ^{n - 2}} - 0 = 3 \cdot 2^{n - 2}

である（ $tan \frac{π}{3} = 3$ 、 $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ ）。よって

(n - 1) I_{n} - (n - 2) I_{n - 2} = 3 \cdot 2^{n - 2}

で、 $n ≧ 3$ より $n - 1 \neq = 0$ だから

I_{n} = \frac{3 \cdot 2 ^{n - 2} + ( n - 2 ) I _{n - 2}}{n - 1}

である。

$n = 3$ とすると $I_{3} = \frac{2 3 + I _{1}}{2} = 3 + \frac{1}{2} lo g (2 + 3)$ である。(3) で使う。

$n = 3$ から $8$ まで $I_{n}$ を数値積分し、この式の右辺と小数9桁まで一致した。

$\frac{1}{cos ^{n} θ} = \frac{1}{cos ^{n - 2} θ} \cdot \frac{1}{cos ^{2} θ}$ と見て部分積分してもよいが、「何を微分すると目的の形が出るか」から入るほうが計算が短い。

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ で次数を2つ下げるのがこの種の漸化式の要である。

(3) $x y$ 平面の原点を中心とする半径 $1$ の円板 $D$ を底面、 $(0, 0, 1)$ を頂点とする円錐 $C$ を平面 $x = \frac{1}{2}$ で2つに切ったとき、小さいほうの立体 $S$ の体積を求める

答 $\frac{π}{9} - \frac{3}{6} + \frac{1}{24} lo g (2 + 3)$

$z$ 軸に垂直な平面で切ると、円錐の切り口は半径 $1 - z$ の円板で、 $S$ の切り口はそれを弦 $x = \frac{1}{2}$ で切った弓形になる。弓形の面積を $z$ の式で書いて積分する。 $arccos$ が出るので、 $\frac{1}{2 r} = cos θ$ と置換すると (1)(2) の $I_{n}$ に帰着する。

高さ z での切り口。円錐の断面は半径 r = 1 - z の円で、S の断面は弦 x = 1/2 より右の弓形（網かけ）。中心角の半分を θ とすると cos θ = 1/(2r)。図は r = 0.8 の場合。

切り口の面積。 高さ $z$ （ $0 ≦ z ≦ 1$ ）での円錐の切り口は、原点を中心とする半径 $r = 1 - z$ の円板である。 $S$ はこのうち $x ≧ \frac{1}{2}$ の部分だから、切り口は弦 $x = \frac{1}{2}$ で切り取られる弓形になる。 $r ≦ \frac{1}{2}$ 、つまり $z ≧ \frac{1}{2}$ では空である。

$0 ≦ z < \frac{1}{2}$ のとき、弓形を挟む中心角の半分を $θ$ とすると $cos θ = \frac{1}{2 r}$ である。弓形の面積は「扇形 $-$ 三角形」で

A (r) = r^{2} θ - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 r sin θ = r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} - \frac{1}{4}

である（扇形は中心角 $2 θ$ で面積 $\frac{1}{2} r^{2} \cdot 2 θ = r^{2} θ$ 、三角形は底辺 $2 r sin θ = 2 r^{2} - \frac{1}{4}$ 、高さ $\frac{1}{2}$ ）。

積分する。 求める体積は

V = \int_{0}^{\frac{1}{2}} A (1 - z) d z = \int_{\frac{1}{2}}^{1} A (r) d r

である（ $r = 1 - z$ 、 $d r = - d z$ で向きが入れ替わる）。ここで $cos θ = \frac{1}{2 r}$ 、つまり

r = \frac{1}{2 cos θ}, d r = \frac{sin θ}{2 cos ^{2} θ} d θ

と置換する。 $r = \frac{1}{2}$ のとき $cos θ = 1$ で $θ = 0$ 、 $r = 1$ のとき $cos θ = \frac{1}{2}$ で $θ = \frac{π}{3}$ である。また

r^{2} = \frac{1}{4 cos ^{2} θ}, r^{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \frac{1 - cos ^{2} θ}{cos ^{2} θ} = \frac{tan θ}{2}

なので

A (r) = \frac{θ}{4 cos ^{2} θ} - \frac{tan θ}{4}

である。したがって

V = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (\frac{θ}{4 cos ^{2} θ} - \frac{tan θ}{4}) \frac{sin θ}{2 cos ^{2} θ} d θ = \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{θ sin θ}{cos ^{4} θ} d θ - \frac{1}{8} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{sin ^{2} θ}{cos ^{3} θ} d θ

である。2つに分けて計算する。

第1項。 $\frac{d}{d θ} (\frac{1}{3 cos ^{3} θ}) = \frac{sin θ}{cos ^{4} θ}$ なので、部分積分で

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{θ sin θ}{cos ^{4} θ} d θ = [\frac{θ}{3 cos ^{3} θ}]_{0}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d θ}{cos ^{3} θ} = \frac{8 π}{9} - \frac{I _{3}}{3}

である（ $cos^{3} \frac{π}{3} = \frac{1}{8}$ なので $\frac{π /3}{3 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{8 π}{9}$ ）。

第2項。 $sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ より

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{sin ^{2} θ}{cos ^{3} θ} d θ = \int_{0}^{\frac{π}{3}} (\frac{1}{cos ^{3} θ} - \frac{1}{cos θ}) d θ = I_{3} - I_{1}

である。よって

V = \frac{1}{8} (\frac{8 π}{9} - \frac{I _{3}}{3}) - \frac{1}{8} (I_{3} - I_{1}) = \frac{π}{9} - \frac{I _{3}}{6} + \frac{I _{1}}{8}

である（ $- \frac{1}{24} I_{3} - \frac{1}{8} I_{3} = - \frac{1}{6} I_{3}$ ）。(2) より $I_{3} = 3 + \frac{1}{2} I_{1}$ だから

V = \frac{π}{9} - \frac{1}{6} (3 + \frac{I _{1}}{2}) + \frac{I _{1}}{8} = \frac{π}{9} - \frac{3}{6} + (\frac{1}{8} - \frac{1}{12}) I_{1}

で、 $\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{1}{24}$ と $I_{1} = lo g (2 + 3)$ から

V = \frac{π}{9} - \frac{3}{6} + \frac{1}{24} lo g (2 + 3)

である。数値は $0.11526 \dots$ で、円錐全体の体積 $\frac{π}{3} = 1.0472$ の約 $11%$ である。

弓形の面積を $z$ について数値積分すると $0.1152639615$ 、式の値も $0.1152639615$ だった。200万点のモンテカルロでも $0.115162$ になった。

切り口が空になるのは $r ≦ \frac{1}{2}$ 、つまり $z ≧ \frac{1}{2}$ のとき。積分範囲を $0 ≦ z ≦ 1$ にしない。

弓形の面積は「扇形 $-$ 三角形」。三角形の高さは $\frac{1}{2}$ （原点から弦までの距離）で、 $r$ ではない。

$cos θ = \frac{1}{2 r}$ という置換が (1)(2) への橋渡しになっている。 $θ$ の範囲が $[0, \frac{π}{3}]$ とぴったり一致するのが設計である。

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(1)In​=∫03π​​cosnθdθ​ について I1​ を求める

(2)n≧3 のとき In​ を In−2​ と n で表す

(3)xy 平面の原点を中心とする半径 1 の円板 D を底面、(0,0,1) を頂点とする円錐 C を平面 x=21​ で2つに切ったとき、小さいほうの立体 S の体積を求める

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