第5問 微分法の解答・解説

$f(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}=t^{-1}-t^{-3}$ なので

である。$t^4>0$ なので、$f^{\prime }$ の符号は $3-t^2$ の符号と同じである。したがって

1. $t<-\sqrt{3}$：$f^{\prime }<0$ で減少
2. $-\sqrt{3}<t<0$：$f^{\prime }>0$ で増加
3. $0<t<\sqrt{3}$：$f^{\prime }>0$ で増加
4. $t>\sqrt{3}$：$f^{\prime }<0$ で減少

である。極値は

で、$t=-\sqrt{3}$ で極小値 $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$、$t=\sqrt{3}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

そのほかの様子は

1. $f(-t)=-f(t)$ なので原点について対称（奇関数）
2. $f(t)=0$ となるのは $t=\pm 1$
3. $t\to +0$ のとき $f\to -\infty$、$t\to -0$ のとき $f\to +\infty$（$y$ 軸が漸近線）
4. $t\to \pm \infty$ のとき $f\to 0$（$x$ 軸が漸近線）

である。グラフの概形は次のようになる。

条件を書きかえる。 1本目の等式は

である。$xyz\ne 0$ なので $x^3{y}^3\ne 0$ で、両辺を $x^3{y}^3$ で割ると

である。2本目も同様に $f(z)=f(y)$ となる。よって条件は

である。つまり、ある値 $k$ について方程式 $f(t)=k$ が相異なる3つ以上の解をもち、$x$ はそのうち最小のもの、ということである。

解の個数を調べる。 $A=\frac{2\sqrt{3}}{9}$ とおく。(1) のグラフを $y=k$ で切ると

1. $k>A$ または $k<-A$：解は1個
2. $k=\pm A$：解は2個
3. $0<k<A$：解は3個（$-1<t<0$ に1つ、$1<t<\sqrt{3}$ に1つ、$t>\sqrt{3}$ に1つ）
4. $k=0$：解は2個（$t=\pm 1$）
5. $-A<k<0$：解は3個（$t<-\sqrt{3}$ に1つ、$-\sqrt{3}<t<-1$ に1つ、$0<t<1$ に1つ）

である。したがって条件を満たす $k$ は $-A<k<0$ または $0<k<A$ であり、このとき解はちょうど3個なので $x,y,z$ はその3個に決まる。

$x$ の範囲。 $0<k<A$ のときは、最小の解は $-1<t<0$ の部分にある。この部分で $f$ は増加し、$f(-1)=0$ である。$f(t)=A$ となる $t$ をこの範囲で探すと

なので、$t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。$f$ は $-1<t<0$ で増加するから、$k$ が $0$ から $A$ まで動くとき最小の解は $-1$ から $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ まで動く。両端は $k=0$、$k=A$ にあたり条件を満たさないので

である。

$-A<k<0$ のときは、最小の解は $t<-\sqrt{3}$ の部分にある。この部分で $f$ は減少し、$t\to -\infty$ で $f\to 0$、$t=-\sqrt{3}$ で $f=-A$ である。$k$ が $-A$ から $0$ まで動くとき、最小の解は $-\sqrt{3}$ から $-\infty$ まで動く。端は条件を満たさないので

である。以上より求める範囲は

である。

$f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=f\left(\sqrt{3}\right)$ になっているのが鍵である。$9\left(t^2-1\right)=2\sqrt{3}{t}^3$ を整理した $2\sqrt{3}{t}^3-9t^2+9=0$ は $t=\sqrt{3}$ を解にもち、$\left(t-\sqrt{3}\right)$ でくくると $t=-\frac{\sqrt{3}}{2}$（重解 $t=\sqrt{3}$ とあわせて）が出る。