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東京科学大学　2025年度　前期日程　理系

第4問数列・三角関数の解答・解説

フィボナッチ数列・カッシーニの等式・tan の加法定理・望遠鏡和当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = a_{2} = 1$ 、 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ で定め、数列 ${b_{n}}$ を $tan b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ （ $0 < b_{n} < \frac{π}{2}$ ）で定める。 $n ≧ 2$ に対して $a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2}$ を求める

答 $a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2} = (- 1)^{n}$

$c_{n} = a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2}$ とおいて $c_{n + 1}$ を $c_{n}$ で表すと、 $c_{n + 1} = - c_{n}$ という簡単な関係になる。

$c_{n} = a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2}$ （ $n ≧ 2$ ）とおく。漸化式 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ より

c_{n + 1} = a_{n + 2} a_{n} - a_{n + 1}^{2} = (a_{n + 1} + a_{n}) a_{n} - a_{n + 1}^{2}

すなわち

c_{n + 1} = a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2} - a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} - a_{n + 1} (a_{n + 1} - a_{n})

である。漸化式より $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n - 1}$ なので

c_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n + 1} a_{n - 1} = - (a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2}) = - c_{n}

である。初項は

c_{2} = a_{3} a_{1} - a_{2}^{2} = 2 \cdot 1 - 1 = 1

だから、 $c_{n} = (- 1)^{n - 2} c_{2} = (- 1)^{n}$ である。よって

a_{n + 1} a_{n - 1} - a_{n}^{2} = (- 1)^{n}

である。

$n = 2$ から $11$ まで直接計算すると $1, - 1, 1, - 1, \dots$ だった。

$c_{n + 1} = - c_{n}$ を導くときは、 $a_{n + 2}$ と $a_{n + 1}$ のどちらを分解するか決めてから進める。

(2) $m ≧ 1$ （ $m$ は整数）に対して $a_{2 m} \cdot tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2})$ を求める

答 $a_{2 m} \cdot tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = 1$

$tan$ の加法定理で $tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2})$ を $a$ の式にし、(1) のカッシーニ型の等式で分母を書きかえる。

$tan b_{k} = \frac{1}{a _{k}}$ なので、加法定理より

tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{\frac{1}{a _{2 m + 1}} + \frac{1}{a _{2 m + 2}}}{1 - \frac{1}{a _{2 m + 1} a _{2 m + 2}}} = \frac{a _{2 m + 1} + a _{2 m + 2}}{a _{2 m + 1} a _{2 m + 2} - 1}

である（分母・分子に $a_{2 m + 1} a_{2 m + 2}$ を掛けた）。分子は $a_{2 m + 3}$ である。したがって

a_{2 m} tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{a _{2 m} a _{2 m + 3}}{a _{2 m + 1} a _{2 m + 2} - 1}

である。

分子を整理する。 $a_{2 m + 3} = a_{2 m + 2} + a_{2 m + 1}$ 、 $a_{2 m} = a_{2 m + 2} - a_{2 m + 1}$ なので

a_{2 m} a_{2 m + 3} = (a_{2 m + 2} - a_{2 m + 1}) (a_{2 m + 2} + a_{2 m + 1}) = a_{2 m + 2}^{2} - a_{2 m + 1}^{2}

である。

分母と比べる。 (1) を $n = 2 m + 1$ （奇数）で使うと $a_{2 m + 2} a_{2 m} - a_{2 m + 1}^{2} = - 1$ 、すなわち

a_{2 m + 1}^{2} = a_{2 m + 2} a_{2 m} + 1 = a_{2 m + 2} (a_{2 m + 2} - a_{2 m + 1}) + 1

である。これを使うと

a_{2 m + 2}^{2} - a_{2 m + 1}^{2} = a_{2 m + 2}^{2} - a_{2 m + 2}^{2} + a_{2 m + 1} a_{2 m + 2} - 1 = a_{2 m + 1} a_{2 m + 2} - 1

となり、分子と分母が一致する。よって

a_{2 m} \cdot tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = 1

である。

$m = 1$ から $7$ まで数値計算すると、どれもちょうど $1.0$ だった。

(1) を使う $n$ の偶奇に注意する。ここでは $n = 2 m + 1$ （奇数）なので右辺は $- 1$ である。

加法定理の分母 $1 - tan tan$ が $0$ でないことは、 $a_{2 m + 1} a_{2 m + 2} ≧ 2 \cdot 3 = 6 > 1$ （ $m ≧ 1$ ）から分かる。

(3)無限級数 $m = 0 \sum \infty b_{2 m + 1}$ を求める

答 $\frac{π}{2}$

(2) は $tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{1}{a _{2 m}} = tan b_{2 m}$ ということ。角の範囲を確かめれば $b_{2 m + 1} = b_{2 m} - b_{2 m + 2}$ となり、和が望遠鏡式にたたまれる。

(2) より $m ≧ 1$ のとき

tan (b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2}) = \frac{1}{a _{2 m}} = tan b_{2 m}

である。 $m ≧ 1$ では $a_{2 m + 1} ≧ 2$ 、 $a_{2 m + 2} ≧ 3$ なので $0 < b_{2 m + 1} ≦ arctan \frac{1}{2}$ 、 $0 < b_{2 m + 2} ≦ arctan \frac{1}{3}$ であり

0 < b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2} ≦ arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{3} = \frac{π}{4} < \frac{π}{2}

である。 $b_{2 m}$ も $(0, \frac{π}{2})$ にあり、 $tan$ はこの区間で1対1だから

b_{2 m + 1} + b_{2 m + 2} = b_{2 m}, すなわち b_{2 m + 1} = b_{2 m} - b_{2 m + 2}

である（ $m ≧ 1$ ）。したがって部分和は望遠鏡式にたたまれて

m = 1 \sum M b_{2 m + 1} = m = 1 \sum M (b_{2 m} - b_{2 m + 2}) = b_{2} - b_{2 M + 2}

である。 $a_{2} = 1$ より $tan b_{2} = 1$ 、 $0 < b_{2} < \frac{π}{2}$ なので $b_{2} = \frac{π}{4}$ である。また $a_{2 M + 2} \to \infty$ より $tan b_{2 M + 2} \to 0$ 、よって $b_{2 M + 2} \to 0$ である。したがって

m = 1 \sum \infty b_{2 m + 1} = \frac{π}{4}

である。最後に $m = 0$ の項を足す。 $a_{1} = 1$ より $b_{1} = \frac{π}{4}$ なので

m = 0 \sum \infty b_{2 m + 1} = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

である。

具体的には $\frac{π}{4} + arctan \frac{1}{2} + arctan \frac{1}{5} + arctan \frac{1}{13} + \dots = \frac{π}{2}$ ということである。分母に現れるのは奇数番目のフィボナッチ数 $1, 2, 5, 13, 34, \dots$ である。

$m = 0$ から $13$ まで足すと $1.570793180$ で、 $\frac{π}{2} = 1.570796327$ に近づいた。

$tan X = tan Y$ から $X = Y$ と言うには、 $X, Y$ がともに $tan$ が1対1である区間に入っていることが要る。ここを確かめる。

$m = 0$ の項 $b_{1}$ は (2) の関係に乗らない（ $a_{0}$ が定義されていない）。別に足す。

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問題文について

(1)数列 {an​} を a1​=a2​=1、an+2​=an+1​+an​ で定め、数列 {bn​} を tanbn​=an​1​（0<bn​<2π​）で定める。n≧2 に対して an+1​an−1​−an2​ を求める

(2)m≧1（m は整数）に対して a2m​⋅tan(b2m+1​+b2m+2​) を求める

(3)無限級数 m=0∑∞​b2m+1​ を求める

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