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東京科学大学　2025年度　前期日程　理系

第2問空間ベクトルの解答・解説

ねじれの位置の2直線・共通垂線・四面体の体積・三角関数の合成当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)空間の点 $(0, 0, 1)$ を通り $(1, - 1, 0)$ を方向ベクトルとする直線を $ℓ$ 、点 $(1, 0, 3)$ を通り $(0, 1, - 2)$ を方向ベクトルとする直線を $m$ とする。 $P$ を $ℓ$ 上、 $Q$ を $m$ 上の点とし、直線 $PQ$ が $ℓ$ とも $m$ とも垂直であるとき、 $P$ と $Q$ の座標、および線分 $PQ$ の長さを求める

答 $P (\frac{1}{9}, - \frac{1}{9}, 1)$ 、 $Q (1, \frac{7}{9}, \frac{13}{9})$ 、 $PQ = \frac{4}{3}$

$P, Q$ をそれぞれ媒介変数で表し、 $PQ$ と2つの方向ベクトルとの内積が $0$ という2本の式を連立する。

$P, Q$ を媒介変数 $s, u$ で

P (s, - s, 1), Q (1, u, 3 - 2 u)

と表す。このとき

PQ = (1 - s, u + s, 2 - 2 u)

である。 $ℓ$ の方向ベクトル $(1, - 1, 0)$ との内積が $0$ より

(1 - s) - (u + s) = 0, u = 1 - 2 s

である。 $m$ の方向ベクトル $(0, 1, - 2)$ との内積が $0$ より

(u + s) - 2 (2 - 2 u) = 0, 5 u + s = 4

である。 $u = 1 - 2 s$ を代入すると

5 (1 - 2 s) + s = 4, - 9 s = - 1, s = \frac{1}{9}, u = \frac{7}{9}

である。よって

P (\frac{1}{9}, - \frac{1}{9}, 1), Q (1, \frac{7}{9}, \frac{13}{9})

であり

PQ = (\frac{8}{9}, \frac{8}{9}, \frac{4}{9}), PQ = \frac{1}{9} 64 + 64 + 16 = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

である。

$PQ = \frac{4}{9} (2, 2, 1)$ で、 $(2, 2, 1)$ は $(1, - 1, 0)$ とも $(0, 1, - 2)$ とも垂直になっている。2直線の共通垂線の向きである。

内積はどちらもちょうど $0$ 、長さは $1.333333333$ だった。

(2) $ℓ$ 上に2点 $A = (t, - t, 1)$ 、 $B = (2 + t + sin t, - 2 - t - sin t, 1)$ 、 $m$ 上に2点 $C = (1, t, 3 - 2 t)$ 、 $D = (1, 2 + t + cos t, - 1 - 2 t - 2 cos t)$ があるとする（ $t$ は実数）。四面体 $ABCD$ の体積を $V (t)$ とするとき、 $V (0)$ を求める

答 $V (0) = 4$

$AB$ は $ℓ$ の方向ベクトルの定数倍、 $CD$ は $m$ の方向ベクトルの定数倍である。体積の行列式をその形で整理すると、驚くほどきれいになる。

まず2つの辺ベクトルを計算する。

AB = (2 + sin t) (1, - 1, 0), CD = (2 + cos t) (0, 1, - 2)

である（ $A, B$ は $ℓ$ 上、 $C, D$ は $m$ 上なので当然だが、係数が $2 + sin t$ 、 $2 + cos t$ になっているのがポイント）。 $α = 2 + sin t > 0$ 、 $β = 2 + cos t > 0$ とおく。

四面体の体積は

V (t) = \frac{1}{6} det [AB, AC, AD]

である。 $AD = AC + CD$ で、行列式は同じ列を足しても変わらないから

det [AB, AC, AD] = det [AB, AC, CD] = α β det [e, AC, f]

である（ $e = (1, - 1, 0)$ 、 $f = (0, 1, - 2)$ ）。ここで

AC = (1 - t, 2 t, 2 - 2 t)

である。 $AC \times f$ を計算すると

AC \times f = (- 2 t - 2, 2 - 2 t, 1 - t)

で、 $e$ との内積は

(- 2 t - 2) - (2 - 2 t) + 0 = - 4

である。 $t$ が消えてしまうのがこの問題の仕掛けである。したがって

V (t) = \frac{1}{6} ∣ α β \cdot (- 4) ∣ = \frac{2}{3} (2 + sin t) (2 + cos t)

である。 $t = 0$ を入れると

V (0) = \frac{2}{3} \cdot 2 \cdot 3 = 4

である。

$t$ を6通りとって行列式から直接体積を求めると、この式と小数9桁まで一致した。

$AD$ をそのまま使わず $AC + CD$ に分けると、行列式が「 $ℓ$ の向き、つなぎ、 $m$ の向き」の形になる。

$2 + sin t$ も $2 + cos t$ も正なので、絶対値はそのまま外せる。

(3) $t$ が $t ≧ 0$ を動くとき、 $V (t)$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $\frac{9 + 4 2}{3}$ 、最小値 $\frac{9 - 4 2}{3}$

(2) の $V (t) = \frac{2}{3} (2 + sin t) (2 + cos t)$ を展開し、 $u = sin t + cos t$ でまとめる。 $sin t cos t = \frac{u ^{2} - 1}{2}$ なので $u$ の2次関数になる。

展開すると

(2 + sin t) (2 + cos t) = 4 + 2 (sin t + cos t) + sin t cos t

である。 $u = sin t + cos t$ とおくと $u^{2} = 1 + 2 sin t cos t$ より $sin t cos t = \frac{u ^{2} - 1}{2}$ なので

= 4 + 2 u + \frac{u ^{2} - 1}{2} = \frac{u ^{2} + 4 u + 7}{2} = \frac{( u + 2 ) ^{2} + 3}{2}

である。 $u = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ なので、 $t ≧ 0$ のとき $u$ は

- 2 ≦ u ≦ 2

のすべての値をとる。 $\frac{( u + 2 ) ^{2} + 3}{2}$ は $u ≧ - 2$ で増加するので、 $- 2 ≦ u ≦ 2$ では単調増加である。したがって

$u = 2$ （ $t = \frac{π}{4} + 2 k π$ ）のとき最大で $\frac{( 2 + 2 ) ^{2} + 3}{2} = \frac{9 + 4 2}{2}$
$u = - 2$ （ $t = \frac{5 π}{4} + 2 k π$ ）のとき最小で $\frac{( 2 - 2 ) ^{2} + 3}{2} = \frac{9 - 4 2}{2}$

である。 $V = \frac{2}{3} \times (これ)$ なので

V_{m a x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9 + 4 2}{2} = \frac{9 + 4 2}{3}, V_{m i n} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9 - 4 2}{2} = \frac{9 - 4 2}{3}

である。 $t ≧ 0$ では $t = \frac{π}{4}$ と $t = \frac{5 π}{4}$ がどちらも範囲に入るので、どちらの値も実際にとる。

$\frac{9 + 4 2}{3} = 4.885 \dots$ 、 $\frac{9 - 4 2}{3} = 1.114 \dots$ である。 $V (0) = 4$ はそのあいだにある。

$t$ を $0$ から $20$ まで細かく走査すると、最大 $4.885618083$ （ $t = 0.78540$ ）、最小 $1.114381917$ （ $t = 3.92700$ ）だった。

$(2 + sin t) (2 + cos t)$ を $sin t$ と $cos t$ で別々に最大化してはいけない。同時に $1$ にはできない。

$u$ の2次関数の頂点 $u = - 2$ は $[- 2, 2]$ の外にある。だから区間の端で最大最小になる。

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問題文について

(2)ℓ 上に2点 A=(t,−t,1)、B=(2+t+sint, −2−t−sint, 1)、m 上に2点 C=(1,t,3−2t)、D=(1, 2+t+cost, −1−2t−2cost) があるとする（t は実数）。四面体 ABCD の体積を V(t) とするとき、V(0) を求める

(3)t が t≧0 を動くとき、V(t) の最大値と最小値を求める

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