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東京科学大学　2025年度　前期日程　理系

第1問積分法の解答・解説

部分積分・逆関数の定積分・置換積分・微積分学の基本定理当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)関数 $f (x)$ を $x ≧ 0$ に対して $f (x) = x lo g (1 + x)$ と定める。不定積分 $\int x lo g (1 + x) d x$ を求める

答 $\frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2} + C$

部分積分。 $x$ の原始関数として $\frac{x ^{2}}{2}$ ではなく $\frac{x ^{2} - 1}{2}$ を選ぶと、残る積分が $\frac{x ^{2} - 1}{1 + x} = x - 1$ ときれいに約分される。

$(\frac{x ^{2} - 1}{2})^{'} = x$ なので、これを $x$ の原始関数として部分積分する。

\int x lo g (1 + x) d x = \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \int \frac{x ^{2} - 1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} d x

である。残る積分は $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$ だから約分できて

\int \frac{x ^{2} - 1}{2 ( 1 + x )} d x = \frac{1}{2} \int (x - 1) d x = \frac{x ^{2}}{4} - \frac{x}{2}

である。よって

\int x lo g (1 + x) d x = \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2} + C

である（ $C$ は積分定数）。

$\frac{x ^{2}}{2}$ をとると残りが $\int \frac{x ^{2}}{2 ( 1 + x )} d x$ となり、割り算が必要になる。定数 $- \frac{1}{2}$ をずらしておくのがこの問題のコツである。

求めた式を数値微分すると、 $x = 0.3, 1, 2, 3.5$ で $x lo g (1 + x)$ と小数9桁まで一致した。

(2) $y = f (x)$ （ $x ≧ 0$ ）の逆関数を $y = g (x)$ （ $x ≧ 0$ ）とし、 $a, b$ を $g (a) = 1$ 、 $g (b) = 2$ となる実数とする。定積分 $I = \int_{a}^{b} g (x) d x$ の値を求める

答 $I = \frac{5}{2} lo g 3 - lo g 2 + \frac{1}{4}$

逆関数の定積分は、グラフを $y = x$ で折り返して考える。長方形の面積から、もとの関数の定積分を引けばよい。

$g (a) = 1$ は $a = f (1) = 1 \cdot lo g 2 = lo g 2$ ということである。同様に $b = f (2) = 2 lo g 3$ である。

$f$ は $x ≧ 0$ で増加する（ $f^{'} (x) = lo g (1 + x) + \frac{x}{1 + x} > 0$ ）ので逆関数をもつ。 $y = g (x)$ のグラフは $y = f (x)$ のグラフを直線 $y = x$ について折り返したものである。したがって

\int_{a}^{b} g (x) d x = 2 b - 1 \cdot a - \int_{1}^{2} f (x) d x

が成り立つ（下の図のとおり、左向きの領域の面積を「大きい長方形 $-$ 小さい長方形 $-$ 曲線の下の面積」で測った）。

網かけが I = ∫g dx にあたる領域。y = f(x) の左側で、高さが a から b までの部分。これは [0, 2]×[0, b] の長方形から [0, 1]×[0, a] の長方形と、1 ≦ x ≦ 2 で曲線の下にある部分を取り除いたもの。a = log 2 ≒ 0.69、b = 2log 3 ≒ 2.20。

(1) より $F (x) = \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2}$ とおくと

F (2) = \frac{3}{2} lo g 3 - 1 + 1 = \frac{3}{2} lo g 3, F (1) = 0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

なので

\int_{1}^{2} f (x) d x = \frac{3}{2} lo g 3 - \frac{1}{4}

である。よって

I = 2 \cdot 2 lo g 3 - lo g 2 - (\frac{3}{2} lo g 3 - \frac{1}{4}) = \frac{5}{2} lo g 3 - lo g 2 + \frac{1}{4}

である。

逆関数 $g$ を2分法で作って数値積分すると $2.303383541$ で、 $\frac{5}{2} lo g 3 - lo g 2 + \frac{1}{4} = 2.303383541$ と一致した。

$a, b$ は $f$ の値であって $g$ の値ではない。 $g (a) = 1 ⟺ a = f (1)$ と読みかえる。

$2 b - a$ の係数は「上の長方形の横幅 $2$ 」と「下の長方形の横幅 $1$ 」。長方形の取りかたを図で確かめる。

(3)関数 $P (x)$ を $x ≧ 0$ に対して $P (x) = \int_{0}^{x} 1 + f (t) d t$ と定める。 $y = P (x)$ の、定義域を $x ≧ 0$ とする逆関数 $y = Q (x)$ が微分可能であることは証明なしに認めてよい。関数 $R (x)$ を $x ≧ 0$ に対して $R (x) = \int_{0}^{P (x)} \frac{1}{Q ^{'} ( v )} d v$ と定めるとき、 $R (x)$ を求める

答 $R (x) = \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{3 x}{2}$

逆関数の微分 $Q^{'} (v) = \frac{1}{P ^{'} ( Q ( v ) )}$ を使うと被積分関数が $P^{'} (Q (v))$ になる。さらに $v = P (u)$ と置換すると、 $P^{'}$ の2乗の積分、つまり $1 + f$ の積分になる。

$Q^{'}$ を書きかえる。 $Q$ は $P$ の逆関数なので、逆関数の微分法より

Q^{'} (v) = \frac{1}{P ^{'} ( Q ( v ) )}, すなわち \frac{1}{Q ^{'} ( v )} = P^{'} (Q (v))

である。したがって

R (x) = \int_{0}^{P (x)} P^{'} (Q (v)) d v

である。

置換する。 $v = P (u)$ とおくと $d v = P^{'} (u) d u$ である。 $P (0) = 0$ なので、 $v$ が $0$ から $P (x)$ まで動くとき $u$ は $0$ から $x$ まで動く。また $Q (P (u)) = u$ だから

R (x) = \int_{0}^{x} P^{'} (u) \cdot P^{'} (u) d u = \int_{0}^{x} {P^{'} (u)}^{2} d u

である。

$P^{'}$ を求める。 微積分学の基本定理より $P^{'} (u) = 1 + f (u)$ なので

{P^{'} (u)}^{2} = 1 + f (u) = 1 + u lo g (1 + u)

である。よって

R (x) = \int_{0}^{x} {1 + u lo g (1 + u)} d u = x + [F (u)]_{0}^{x}

である。(1) の $F$ について $F (0) = \frac{0 - 1}{2} lo g 1 - 0 + 0 = 0$ だから

R (x) = x + \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{2} = \frac{x ^{2} - 1}{2} lo g (1 + x) - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{3 x}{2}

である。

$\frac{1}{Q ^{'}}$ という形を見たら逆関数の微分を思い出す。 $\frac{1}{Q ^{'} ( v )} = P^{'} (Q (v))$ と直せば、あとは置換で $(P^{'})^{2}$ の積分に化ける、という一本道である。

$R (x) = \int_{0}^{x} (1 + f (u)) d u$ を数値積分すると、 $x = 0.5, 1, 2, 3$ で求めた式と小数9桁まで一致した。

$Q^{'} (v) = \frac{1}{P ^{'} ( Q ( v ) )}$ の引数は $Q (v)$ であって $v$ ではない。

$P (0) = 0$ を確かめてから積分区間を $0 \to x$ に取りかえる。

$F (0) = 0$ は $lo g 1 = 0$ による。定数項の扱いを間違えない。

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問題文について

(1)関数 f(x) を x≧0 に対して f(x)=xlog(1+x) と定める。不定積分 ∫xlog(1+x)dx を求める

(2)y=f(x)（x≧0）の逆関数を y=g(x)（x≧0）とし、a,b を g(a)=1、g(b)=2 となる実数とする。定積分 I=∫ab​g(x)dx の値を求める

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