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電気通信大学　2021年度　前期日程　情報理工学域

第4問数列・整数の解答・解説

3進法との対応・桁ごとの個数と和・何番目かを数える・等比数列の和当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $1, 4, 7$ の3つの数字だけで表せる正の整数を小さい順に並べた数列を ${a_{n}}$ とする。 $m$ 桁の整数の個数 $t (m)$ と、 $m$ 桁以下の整数の個数 $T (m)$ を $m$ で表す

答 $t (m) = 3^{m}$ 、 $T (m) = \frac{3 ^{m + 1} - 3}{2}$

各桁が $1, 4, 7$ の3通り。先頭も $0$ にならないので制限なし。

$m$ 桁の各位が $1, 4, 7$ のどれかで、どれを選んでも先頭が $0$ になることはない。よって

t (m) = 3^{m}

である。 $m$ 桁以下はこれを $1$ 桁から $m$ 桁まで足して

T (m) = j = 1 \sum m 3^{j} = \frac{3 ( 3 ^{m} - 1 )}{2} = \frac{3 ^{m + 1} - 3}{2}

である。

$1 \to 0$ 、 $4 \to 1$ 、 $7 \to 2$ と読みかえると、 $m$ 桁の数は $m$ 桁の3進数（先頭が $0$ でもよい）と1対1に対応する。小さい順に並べる順序も3進数の大小と一致する。これが全体のかぎ。

$6$ 桁までを全列挙すると、 $m = 1, 2, 3, 4$ で個数は $3, 9, 27, 81$ 、累計は $3, 12, 39, 120$ となり式と一致した。

(ii) $m$ 桁の整数すべての和 $S (m)$ を $m$ で表す

答 $S (m) = \frac{4 \cdot 3 ^{m - 1} ( 1 0 ^{m} - 1 )}{3}$

各位に $1, 4, 7$ がちょうど $3^{m - 1}$ 回ずつ現れる。

ある1つの位に注目すると、そこが $1, 4, 7$ になるものがそれぞれ $3^{m - 1}$ 個ずつある。したがって、その位の数字の総和は

3^{m - 1} (1 + 4 + 7) = 12 \cdot 3^{m - 1}

である。位の重みは $1 0^{m - 1}, 1 0^{m - 2}, \dots, 1$ なので

S (m) = 12 \cdot 3^{m - 1} (1 0^{m - 1} + \dots + 1) = 12 \cdot 3^{m - 1} \cdot \frac{1 0 ^{m} - 1}{9}

すなわち

S (m) = \frac{4 \cdot 3 ^{m - 1} ( 1 0 ^{m} - 1 )}{3}

である。

$m = 1, 2, 3, 4$ で全列挙の和は $12, 396, 11988, 359964$ となり、式と一致した。

(iii)第 $100$ 項 $a_{100}$ を求める

答 $a_{100} = 7171$

$T (3) = 39$ 、 $T (4) = 120$ なので $4$ 桁の $61$ 番目。3進法に直す。

$T (3) = \frac{81 - 3}{2} = 39$ 、 $T (4) = \frac{243 - 3}{2} = 120$ なので、 $a_{100}$ は4桁で、4桁のなかの $100 - 39 = 61$ 番目である。

(i) の対応（ $1 \to 0, 4 \to 1, 7 \to 2$ ）で、 $j$ 番目の4桁の数は $j - 1$ を4桁の3進数で書いたものに対応する。 $61 - 1 = 60$ を3進法にすると

60 = 2 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 = (2020)_{3}

である。 $2 \to 7, 0 \to 1$ と戻すと

a_{100} = 7171

である。

全列挙して並べた $100$ 番目は $7171$ だった。

(iv) $m ≧ 2$ とし、最高位が $7$ でそれ以外がすべて $1$ の $m$ 桁の整数を $P_{m}$ とする。 $m$ 桁の整数のなかで $P_{m}$ が $I (m)$ 番目、数列全体で第 $L (m)$ 項であるとき、 $I (m)$ と $L (m)$ を求める

答 $I (m) = 2 \cdot 3^{m - 1} + 1$ 、 $L (m) = \frac{7 \cdot 3 ^{m - 1} - 1}{2}$

$P_{m}$ に対応する3進数は $(200 \dots 0)_{3} = 2 \cdot 3^{m - 1}$ 。

$P_{m} = 71 \dots 1$ を (i) の対応で読みかえると、3進数 $(20 \dots 0)_{3} = 2 \cdot 3^{m - 1}$ になる。 $j$ 番目が $j - 1$ に対応するので

I (m) = 2 \cdot 3^{m - 1} + 1

である。数列全体での番号は、 $m - 1$ 桁以下の個数を足して

L (m) = T (m - 1) + I (m) = \frac{3 ^{m} - 3}{2} + 2 \cdot 3^{m - 1} + 1

である。 $3^{m} = 3 \cdot 3^{m - 1}$ として通分すると

L (m) = \frac{3 \cdot 3 ^{m - 1} - 3 + 4 \cdot 3 ^{m - 1} + 2}{2} = \frac{7 \cdot 3 ^{m - 1} - 1}{2}

である。

$m = 2, 3, 4, 5$ で全列挙の順位は $I = 7, 19, 55, 163$ 、 $L = 10, 31, 94, 283$ となり式と一致した。

(v) $7$ と $1$ が $k$ 回交互に並ぶ $2 k$ 桁の整数 $7171 \dots 71$ が数列の第 $M (k)$ 項であるとき、 $M (k)$ を $k$ で表す

答 $M (k) = \frac{5 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}$

対応する3進数は $(2020 \dots 20)_{3}$ 。 $9$ を公比とする等比数列の和になる。

$7171 \dots 71$ （ $2 k$ 桁）を読みかえると3進数 $(2020 \dots 20)_{3}$ になる。 $2$ が $3^{2 k - 1}, 3^{2 k - 3}, \dots, 3^{1}$ の位に並ぶので、その値は

2 (3^{2 k - 1} + 3^{2 k - 3} + \dots + 3) = 6 (9^{k - 1} + 9^{k - 2} + \dots + 1) = 6 \cdot \frac{9 ^{k} - 1}{8} = \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}

である。よって $2 k$ 桁のなかでの順位は $\frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1$ である。全体では

M (k) = T (2 k - 1) + \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1 = \frac{9 ^{k} - 3}{2} + \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1

である（ $T (2 k - 1) = \frac{3 ^{2 k} - 3}{2} = \frac{9 ^{k} - 3}{2}$ ）。通分すると

M (k) = \frac{2 ( 9 ^{k} - 3 ) + 3 ( 9 ^{k} - 1 ) + 4}{4} = \frac{5 \cdot 9 ^{k} - 5}{4} = \frac{5 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}

である。

$k = 2$ のとき $M (2) = \frac{5 \cdot 80}{4} = 100$ で、(iii) の $a_{100} = 7171$ と合う。

$k = 1, 2, 3$ で全列挙の順位は $10, 100, 910$ となり、式の値と一致した。

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問題文について

(i)1,4,7 の3つの数字だけで表せる正の整数を小さい順に並べた数列を {an​} とする。m 桁の整数の個数 t(m) と、m 桁以下の整数の個数 T(m) を m で表す

(ii)m 桁の整数すべての和 S(m) を m で表す

(iii)第 100 項 a100​ を求める

(iv)m≧2 とし、最高位が 7 でそれ以外がすべて 1 の m 桁の整数を Pm​ とする。m 桁の整数のなかで Pm​ が I(m) 番目、数列全体で第 L(m) 項であるとき、I(m) と L(m) を求める

(v)7 と 1 が k 回交互に並ぶ 2k 桁の整数 7171⋯71 が数列の第 M(k) 項であるとき、M(k) を k で表す

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(ii) $m$ 桁の整数すべての和 $S (m)$ を $m$ で表す

(iii)第 $100$ 項 $a_{100}$ を求める

(iv) $m ≧ 2$ とし、最高位が $7$ でそれ以外がすべて $1$ の $m$ 桁の整数を $P_{m}$ とする。 $m$ 桁の整数のなかで $P_{m}$ が $I (m)$ 番目、数列全体で第 $L (m)$ 項であるとき、 $I (m)$ と $L (m)$ を求める

(v) $7$ と $1$ が $k$ 回交互に並ぶ $2 k$ 桁の整数 $7171 \dots 71$ が数列の第 $M (k)$ 項であるとき、 $M (k)$ を $k$ で表す