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全4問・無料

電気通信大学　2021年度　前期日程　情報理工学域

電通大 2021年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分

商の微分・グラフの凹凸・直線に関する対称移動・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難

(i) $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$ （ $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ ）の $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = - \frac{1}{1 + sin x}$ 、 $f^{''} (x) = \frac{cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}}$

商の微分。分子で $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ がまとまる。

f^{'} (x) = \frac{- sin x ( 1 + sin x ) - cos x \cdot cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{- sin x - sin ^{2} x - cos ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}}

である。分子は $- (1 + sin x)$ なので約分できて

f^{'} (x) = - \frac{1}{1 + sin x}

である。これをもう一度微分すると

f^{''} (x) = \frac{cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}}

である。

$f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x} = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ とも書ける。 $f^{'} = - \frac{1}{2} sec^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ からも同じ式になる。

$x = - 1, 0, 1, 2, 4$ で数値微分と一致した。

(ii) $y = f (x)$ のグラフの凹凸を調べ、 $C_{1}$ の概形を述べる

答 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で下に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ で上に凸。変曲点は $(\frac{π}{2}, 0)$ 。つねに減少し、両端で $+ \infty$ と $- \infty$

$1 + sin x > 0$ なので、 $f^{''}$ の符号は $cos x$ の符号。

$- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ では $sin x > - 1$ なので $1 + sin x > 0$ である。よって

$f^{'} = - \frac{1}{1 + sin x} < 0$ なので、 $f$ はこの区間でつねに減少する
$f^{''}$ の符号は $cos x$ の符号と同じ。 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で $f^{''} > 0$ （下に凸）、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ で $f^{''} < 0$ （上に凸）
$x = \frac{π}{2}$ で凹凸が変わり、 $f (\frac{π}{2}) = 0$ なので変曲点は $(\frac{π}{2}, 0)$

端のようすは $f (x) = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ と書くと見やすい。 $x \to - \frac{π}{2} + 0$ で偏角は $\frac{π}{2}$ に近づくので $f \to + \infty$ 、 $x \to \frac{3 π}{2} - 0$ で偏角は $- \frac{π}{2}$ に近づくので $f \to - \infty$ である。

つまり $C_{1}$ は、左端で $+ \infty$ から下がり始め、 $(0, 1)$ を通り、 $(\frac{π}{2}, 0)$ で凹凸を変えて、右端で $- \infty$ に落ちる単調減少の曲線である。

C1（太線）と、直線 x = π/4 に関して折り返した C2（細い線）。2つは x = π/4 で交わる。塗った部分が (v) で回転させる領域で、点線は対称の軸 x = π/4。

$f^{''}$ の符号は $x = 0, 1$ で正、 $x = 2, 4$ で負になり、 $cos x$ の符号と合った。

(iii)直線 $x = \frac{π}{4}$ に関して $C_{1}$ と対称な曲線を $C_{2}$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の座標を求める

答 $(\frac{π}{4}, 2 - 1)$

$C_{2}$ は $y = f (\frac{π}{2} - x)$ 。 $f$ は単調なので $x = \frac{π}{2} - x$ だけが解。

直線 $x = \frac{π}{4}$ に関する対称移動は $x \mapsto \frac{π}{2} - x$ なので、 $C_{2}$ の方程式は

y = f (\frac{π}{2} - x) = \frac{sin x}{1 + cos x}

である。交点では $f (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ だが、(ii) より $f$ は定義域で狭義単調減少なので1対1である。よって

x = \frac{π}{2} - x, x = \frac{π}{4}

だけが交点を与える。 $y$ の値は

f (\frac{π}{4}) = \frac{\frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{2}{2 + 2} = 2 - 1

である。よって交点は $(\frac{π}{4}, 2 - 1)$ である。

$tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ である。 $f (x) = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ に $x = \frac{π}{4}$ を入れると $tan \frac{π}{8}$ になる。

$x = \frac{π}{4}$ で $C_{1}$ と $C_{2}$ の値がどちらも $0.4142136$ になり、 $2 - 1 = 0.4142136$ と一致した。

(iv) ${f (x)}^{2}$ を $f^{'} (x)$ の式で表し、 ${f (x)}^{2}$ の不定積分を求める

答 ${f (x)}^{2} = - 2 f^{'} (x) - 1$ 、 $\int {f (x)}^{2} d x = - 2 f (x) - x + C$

$f^{2} = \frac{1 - sin x}{1 + sin x}$ を $\frac{2}{1 + sin x} - 1$ と直す。

{f (x)}^{2} = \frac{cos ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{1 - sin ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{1 - sin x}{1 + sin x}

である。分子を $1 - sin x = 2 - (1 + sin x)$ と書くと

{f (x)}^{2} = \frac{2}{1 + sin x} - 1 = - 2 f^{'} (x) - 1

である（(i) より $\frac{1}{1 + sin x} = - f^{'}$ ）。したがって

\int {f (x)}^{2} d x = - 2 f (x) - x + C = - \frac{2 cos x}{1 + sin x} - x + C

である。

$\frac{1 - sin x}{1 + sin x}$ をふつうに積分しようとすると $t = tan \frac{x}{2}$ の置換などが要る。(i) の形に気づけば一瞬で終わる。

${f}^{2} + 2 f^{'} + 1$ は $1001$ 点で $1 0^{- 11}$ 以下、原始関数の数値微分も $f^{2}$ と一致した。

(v) $C_{1}$ 、 $C_{2}$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = (6 - 42) π$

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ で上が $C_{1}$ 、下が $C_{2}$ 。どちらも $0$ 以上なので円環。

$x = 0$ では $C_{1}$ が $y = 1$ 、 $C_{2}$ が $y = 0$ である。(iii) より2曲線は $x = \frac{π}{4}$ で交わるので、囲まれた部分は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ で $g (x) ≦ y ≦ f (x)$ （ $g (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ）の部分である。ここで $f ≧ g ≧ 0$ なので、回転体の断面は円環で

V = π \int_{0}^{\frac{π}{4}} {f (x)^{2} - g (x)^{2}} d x

である。(iv) より

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f^{2} d x = [- 2 f (x) - x]_{0}^{\frac{π}{4}} = {- 2 (2 - 1) - \frac{π}{4}} - (- 2) = 4 - 22 - \frac{π}{4}

である。また $g (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ なので、 $u = \frac{π}{2} - x$ と置換すると

\int_{0}^{\frac{π}{4}} g^{2} d x = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} f^{2} d u = [- 2 f - u]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = - \frac{π}{2} + 2 (2 - 1) + \frac{π}{4}

すなわち $22 - 2 - \frac{π}{4}$ である。引き算すると $\frac{π}{4}$ が消えて

V = π {(4 - 22) - (22 - 2)} = (6 - 42) π

である（ $1.078 \dots$ ）。

数値積分すると $1.078024169$ で、 $(6 - 42) π = 1.078024169$ と一致した。

$C_{2}$ の式を $y$ について解き直す必要はない。 $g (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ のまま置換すれば (iv) がそのまま使える。

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第2問　微分積分

長方形の面積の最大・距離の2乗の極値・半円が入る条件・大小の評価当サイトの体感難易度：難

(i) $k ≧ 1$ 、 $f (x) = e^{- k x^{2}}$ とする。 $4$ 点 $(\pm t, 0)$ 、 $(\pm t, f (t))$ （ $t > 0$ ）を頂点とする長方形の面積を $g (t)$ とするとき、 $g^{'} (t)$ と $g (t)$ の最大値 $S_{1}$ を求める

答 $g^{'} (t) = 2 e^{- k t^{2}} (1 - 2 k t^{2})$ 、 $S_{1} = \frac{2}{k e}$

$g (t) = 2 t e^{- k t^{2}}$ 。積の微分。

長方形の横は $2 t$ 、縦は $f (t) = e^{- k t^{2}}$ なので $g (t) = 2 t e^{- k t^{2}}$ である。

g^{'} (t) = 2 e^{- k t^{2}} + 2 t (- 2 k t) e^{- k t^{2}} = 2 e^{- k t^{2}} (1 - 2 k t^{2})

である。 $e^{- k t^{2}} > 0$ なので符号は $1 - 2 k t^{2}$ で決まり、 $t = \frac{1}{2 k}$ の前後で正から負に変わる。よってここで最大になり

S_{1} = g (\frac{1}{2 k}) = \frac{2}{2 k} e^{- \frac{1}{2}} = \frac{2}{k} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2}{k e}

である。

$k = 1, 2, 5$ で走査すると、最大は $t = \frac{1}{2 k}$ で $\frac{2}{k e}$ と一致した。

(ii) $h (s) = OP^{2}$ （ $P (s, f (s))$ ）が極値をとる $s$ をすべて求める

答 $s = 0, \pm \frac{lo g 2 k}{2 k}$

$h = s^{2} + e^{- 2 k s^{2}}$ 。 $h^{'} = 2 s (1 - 2 k e^{- 2 k s^{2}})$ と因数分解する。

h (s) = s^{2} + e^{- 2 k s^{2}}

である。微分すると

h^{'} (s) = 2 s - 4 k s e^{- 2 k s^{2}} = 2 s (1 - 2 k e^{- 2 k s^{2}})

である。 $φ (s) = 1 - 2 k e^{- 2 k s^{2}}$ とおくと、 $φ$ は偶関数で $∣ s ∣$ について増加し、 $φ (0) = 1 - 2 k ≦ - 1 < 0$ （ $k ≧ 1$ ）、 $∣ s ∣ \to \infty$ で $φ \to 1 > 0$ である。よって $φ = 0$ となる正の $s$ がただ1つあり、それは

e^{- 2 k s^{2}} = \frac{1}{2 k}, s^{2} = \frac{lo g 2 k}{2 k}, s_{0} = \frac{lo g 2 k}{2 k}

である（ $k ≧ 1$ より $lo g 2 k > 0$ ）。符号を表にすると

$s < - s_{0}$ ： $2 s < 0$ 、 $φ > 0$ なので $h^{'} < 0$
$- s_{0} < s < 0$ ： $2 s < 0$ 、 $φ < 0$ なので $h^{'} > 0$
$0 < s < s_{0}$ ： $2 s > 0$ 、 $φ < 0$ なので $h^{'} < 0$
$s > s_{0}$ ： $h^{'} > 0$

となり、 $s = - s_{0}$ で極小、 $s = 0$ で極大、 $s = s_{0}$ で極小である。したがって極値をとるのは

s = 0, s = \pm \frac{lo g 2 k}{2 k}

である。極小値は

h (\pm s_{0}) = \frac{lo g 2 k}{2 k} + \frac{1}{2 k} = \frac{lo g 2 k + 1}{2 k}

で、極大値は $h (0) = 1$ である。

$k = 1, 2, 5$ で $h^{'}$ が $s = 0, \pm s_{0}$ で $0$ になり、極小値も式と一致した。

(iii) $D : 0 ≦ y ≦ f (x)$ 、 $E_{r} : 0 ≦ y ≦ r^{2} - x^{2}$ とする。 $E_{r} \subset D$ となるように $r$ を動かすとき、 $E_{r}$ の面積の最大値 $S_{2}$ を求める

答 $S_{2} = \frac{π ( 1 + lo g 2 k )}{4 k}$

$E_{r} \subset D$ は「 $∣ x ∣ ≦ r$ で $r^{2} ≦ x^{2} + f (x)^{2} = h (x)$ 」と同じ。(ii) の極小値が効く。

$E_{r}$ は原点中心・半径 $r$ の上半円である。 $E_{r} \subset D$ は、 $∣ x ∣ ≦ r$ のすべてで $r^{2} - x^{2} ≦ f (x)$ 、すなわち

r^{2} ≦ x^{2} + f (x)^{2} = h (x) (∣ x ∣ ≦ r)

と同値である。 $s_{0} = \frac{lo g 2 k}{2 k}$ とおき、 $M = h (s_{0}) = \frac{lo g 2 k + 1}{2 k}$ とする。

$r ≦ s_{0}$ のとき： $h$ は $[0, r]$ で減少するので最小は $h (r) = r^{2} + e^{- 2 k r^{2}} > r^{2}$ 。条件はつねに成り立つ
$r > s_{0}$ のとき：最小は $h (s_{0}) = M$ なので、条件は $r^{2} ≦ M$

である。 $s_{0}^{2} = \frac{lo g 2 k}{2 k} < M$ なので $s_{0} < M$ であり、条件を満たす $r$ の最大値は $M$ である。このとき面積は

S_{2} = \frac{π}{2} M = \frac{π ( lo g 2 k + 1 )}{4 k}

である。

$r = M$ のとき、半円は $x = \pm s_{0}$ のところで曲線 $y = f (x)$ に接する。 $h$ の極小が「原点から曲線までの最短距離」を与えるからである。

$k = 1, 2, 5$ で $r = M$ なら半円が $D$ に入り、 $1.001$ 倍にするとはみ出した。

「 $r$ を大きくすると条件が崩れる」のは、 $h$ の最小を $x = \pm s_{0}$ でとるため。 $r ≦ s_{0}$ の場合も忘れずに確かめる。

(iv) $k = \frac{4 ^{N}}{e}$ （ $N = 1, 2, 3, \dots$ ）のとき、 $2 S_{2} < S_{1}$ となる最小の $N$ を求める。必要なら $4 < \frac{e π lo g 2}{2} < 5$ を用いてよい

答 $N = 5$

$k = \frac{4 ^{N}}{e}$ を入れると $1 + lo g 2 k = (2 N + 1) lo g 2$ 、 $\frac{2}{k e} = \frac{2}{2 ^{N}}$ になる。

$k = \frac{4 ^{N}}{e}$ のとき $2 k = \frac{2 \cdot 4 ^{N}}{e}$ なので

lo g 2 k = lo g 2 + 2 N lo g 2 - 1, 1 + lo g 2 k = (2 N + 1) lo g 2

である。また $k e = 4^{N}$ だから

S_{1} = \frac{2}{k e} = \frac{2}{2 ^{N}}, 2 S_{2} = \frac{π ( 1 + lo g 2 k )}{2 k} = \frac{π e ( 2 N + 1 ) lo g 2}{2 \cdot 4 ^{N}}

である。 $2 S_{2} < S_{1}$ は

\frac{π e ( 2 N + 1 ) lo g 2}{2 \cdot 4 ^{N}} < \frac{2}{2 ^{N}}

すなわち、両辺に $\frac{2 \cdot 4 ^{N}}{2 \cdot 2 ^{N}} > 0$ を掛けて

\frac{e π lo g 2}{2} (2 N + 1) < 2^{N + 1}

となる。 $A = \frac{e π lo g 2}{2}$ とおくと $4 < A < 5$ なので

$N = 4$ ：左辺 $= 9 A > 9 \times 4 = 36 > 32 = 2^{5}$ なので成り立たない
$N = 5$ ：左辺 $= 11 A < 11 \times 5 = 55 < 64 = 2^{6}$ なので成り立つ

である。 $N ≦ 3$ でも同様に $(2 N + 1) A ≧ 4 (2 N + 1) ≧ 2^{N + 1}$ （ $N = 1$ で $12 > 4$ 、 $N = 2$ で $20 > 8$ 、 $N = 3$ で $28 > 16$ ）なので成り立たない。したがって最小の $N$ は

N = 5

である。

$A = 4.1855 \dots$ なので、 $N = 4$ では $9 A = 37.6 \dots > 32$ 、 $N = 5$ では $11 A = 46.0 \dots < 64$ と、どちらもぎりぎりではない。与えられた評価 $4 < A < 5$ で足りる。

$N = 1$ から $8$ まで $2 S_{2}$ と $S_{1}$ を計算すると、 $2 S_{2} < S_{1}$ になるのは $N ≧ 5$ のときだけだった。

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第3問　微分積分

接線の方程式・外から引いた2本の接線・ベクトルによる三角形の面積・曲線と直線で囲む面積当サイトの体感難易度：やや難

(i) $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）、 $C_{1} : y = f (x)$ とする。 $C_{1}$ 上の点 $(s, f (s))$ における接線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $ℓ : y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}$

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ 。代入して整理する。

y = (s + \frac{1}{s}) + (1 - \frac{1}{s ^{2}}) (x - s)

である。定数項は

s + \frac{1}{s} - s + \frac{1}{s} = \frac{2}{s}

なので

ℓ : y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}

である。

$s = 0.6, 3$ などで接点を通り傾きが一致することを確かめた。

(ii) $g (x) = x + \frac{5}{9 x}$ 、 $C_{2} : y = g (x)$ とする。 $C_{2}$ 上の点 $P (t, g (t))$ （ $t > 0$ ）から $C_{1}$ へ引いた2本の接線の接点を、 $x$ 座標の小さいほうから $Q, R$ とするとき、 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ を求める

答 $x_{1} (t) = \frac{3 t}{5}$ 、 $x_{2} (t) = 3 t$

$ℓ$ が $P$ を通る条件を $s$ の2次方程式にする。

$ℓ$ が $P (t, t + \frac{5}{9 t})$ を通る条件は

t + \frac{5}{9 t} = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) t + \frac{2}{s}, \frac{5}{9 t} = - \frac{t}{s ^{2}} + \frac{2}{s}

である。両辺に $9 t s^{2} > 0$ を掛けると

5 s^{2} = - 9 t^{2} + 18 t s, 5 s^{2} - 18 t s + 9 t^{2} = 0

となる。 $s$ について解くと

s = \frac{18 t \pm 324 t ^{2} - 180 t ^{2}}{10} = \frac{18 t \pm 12 t}{10} = 3 t, \frac{3 t}{5}

である。どちらも正なので接点は2つあり、 $x$ 座標の小さいほうから

x_{1} (t) = \frac{3 t}{5}, x_{2} (t) = 3 t

である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ でどちらの接線も $P$ を通った。

(iii) $PQ$ と $PR$ を $t$ で表し、三角形 $PQR$ の面積 $S_{1} (t)$ を求める

答 $PQ = (- \frac{2 t}{5}, - \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t})$ 、 $PR = (2 t, 2 t - \frac{2}{9 t})$ 、 $S_{1} (t) = \frac{16}{15}$ （ $t$ によらない）

成分を計算して $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ 。

$Q (\frac{3 t}{5}, \frac{3 t}{5} + \frac{5}{3 t})$ 、 $R (3 t, 3 t + \frac{1}{3 t})$ 、 $P (t, t + \frac{5}{9 t})$ なので

PQ = (- \frac{2 t}{5}, - \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t}), PR = (2 t, 2 t - \frac{2}{9 t})

である（ $\frac{5}{3 t} - \frac{5}{9 t} = \frac{10}{9 t}$ 、 $\frac{1}{3 t} - \frac{5}{9 t} = - \frac{2}{9 t}$ ）。面積は

S_{1} = \frac{1}{2} (- \frac{2 t}{5}) (2 t - \frac{2}{9 t}) - 2 t (- \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t})

である。中身は

(- \frac{4 t ^{2}}{5} + \frac{4}{45}) - (- \frac{4 t ^{2}}{5} + \frac{20}{9}) = \frac{4}{45} - \frac{100}{45} = - \frac{32}{15}

で、 $t^{2}$ の項が消える。よって

S_{1} (t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{15} = \frac{16}{15}

で、 $t$ によらない一定の値である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ のどれでも $1.066666667$ になり、 $\frac{16}{15} = 1.066666667$ と一致した。

(iv)直線 $QR$ の方程式を求める

答 $y = (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}$

2点の傾きを計算する。 $\frac{12 t}{5}$ が共通因数になる。

$R$ と $Q$ の差は

x_{2} - x_{1} = \frac{12 t}{5}, y_{2} - y_{1} = \frac{12 t}{5} + \frac{1}{3 t} - \frac{5}{3 t} = \frac{12 t}{5} - \frac{4}{3 t}

なので、傾きは

\frac{\frac{12 t}{5} - \frac{4}{3 t}}{\frac{12 t}{5}} = 1 - \frac{4}{3 t} \cdot \frac{5}{12 t} = 1 - \frac{5}{9 t ^{2}}

である。 $y$ 切片は $Q$ を代入して

(\frac{3 t}{5} + \frac{5}{3 t}) - (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) \frac{3 t}{5} = \frac{5}{3 t} + \frac{1}{3 t} = \frac{2}{t}

である。よって

QR : y = (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}

である。

(i) の接線は $y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}$ だった。 $QR$ は $y$ 切片が $\frac{2}{t}$ で同じ形をしている。これは $P$ から引いた2接点を結ぶ直線（極線）の性質である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ で2点から求めた傾き・切片がこの式と一致した。

(v) $C_{1}$ と直線 $QR$ とで囲まれた部分の面積 $S_{2} (t)$ を求める

答 $S_{2} (t) = \frac{12}{5} - lo g 5$ （ $t$ によらない）

$\frac{3 t}{5} ≦ x ≦ 3 t$ で直線が上。差を積分すると $lo g$ の部分がきれいにまとまる。

$QR$ は $C_{1}$ と $x = \frac{3 t}{5}, 3 t$ で接するように交わり、その間では直線が上にある。差は

{(1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}} - (x + \frac{1}{x}) = - \frac{5 x}{9 t ^{2}} + \frac{2}{t} - \frac{1}{x}

である。原始関数は

- \frac{5 x ^{2}}{18 t ^{2}} + \frac{2 x}{t} - lo g x

である。 $x = 3 t$ では

- \frac{5 \cdot 9 t ^{2}}{18 t ^{2}} + 6 - lo g 3 t = \frac{7}{2} - lo g 3 t

であり、 $x = \frac{3 t}{5}$ では

- \frac{5}{18 t ^{2}} \cdot \frac{9 t ^{2}}{25} + \frac{6}{5} - lo g \frac{3 t}{5} = - \frac{1}{10} + \frac{6}{5} - lo g \frac{3 t}{5} = \frac{11}{10} - lo g \frac{3 t}{5}

である。差をとると $lo g$ の中の $3 t$ が消えて

S_{2} = \frac{7}{2} - \frac{11}{10} - lo g 3 t + lo g \frac{3 t}{5} = \frac{12}{5} - lo g 5

である（ $0.7906 \dots$ ）。これも $t$ によらない。

C1（下に凸の曲線）と C2（その下にある曲線）。P は C2 上の点、Q と R は P から C1 に引いた2本の接線の接点。塗った部分が (v) の面積で、図は t = 1 のとき。

$t = 0.5, 1, 2.5$ のどれでも $0.790562088$ になり、 $\frac{12}{5} - lo g 5 = 0.790562088$ と一致した。

$lo g 3 t - lo g \frac{3 t}{5} = lo g 5$ と、 $t$ がきれいに消える。消えなければ計算を疑う。

第3問だけのページ

第4問　数列・整数

3進法との対応・桁ごとの個数と和・何番目かを数える・等比数列の和当サイトの体感難易度：やや難

(i) $1, 4, 7$ の3つの数字だけで表せる正の整数を小さい順に並べた数列を ${a_{n}}$ とする。 $m$ 桁の整数の個数 $t (m)$ と、 $m$ 桁以下の整数の個数 $T (m)$ を $m$ で表す

答 $t (m) = 3^{m}$ 、 $T (m) = \frac{3 ^{m + 1} - 3}{2}$

各桁が $1, 4, 7$ の3通り。先頭も $0$ にならないので制限なし。

$m$ 桁の各位が $1, 4, 7$ のどれかで、どれを選んでも先頭が $0$ になることはない。よって

t (m) = 3^{m}

である。 $m$ 桁以下はこれを $1$ 桁から $m$ 桁まで足して

T (m) = j = 1 \sum m 3^{j} = \frac{3 ( 3 ^{m} - 1 )}{2} = \frac{3 ^{m + 1} - 3}{2}

である。

$1 \to 0$ 、 $4 \to 1$ 、 $7 \to 2$ と読みかえると、 $m$ 桁の数は $m$ 桁の3進数（先頭が $0$ でもよい）と1対1に対応する。小さい順に並べる順序も3進数の大小と一致する。これが全体のかぎ。

$6$ 桁までを全列挙すると、 $m = 1, 2, 3, 4$ で個数は $3, 9, 27, 81$ 、累計は $3, 12, 39, 120$ となり式と一致した。

(ii) $m$ 桁の整数すべての和 $S (m)$ を $m$ で表す

答 $S (m) = \frac{4 \cdot 3 ^{m - 1} ( 1 0 ^{m} - 1 )}{3}$

各位に $1, 4, 7$ がちょうど $3^{m - 1}$ 回ずつ現れる。

ある1つの位に注目すると、そこが $1, 4, 7$ になるものがそれぞれ $3^{m - 1}$ 個ずつある。したがって、その位の数字の総和は

3^{m - 1} (1 + 4 + 7) = 12 \cdot 3^{m - 1}

である。位の重みは $1 0^{m - 1}, 1 0^{m - 2}, \dots, 1$ なので

S (m) = 12 \cdot 3^{m - 1} (1 0^{m - 1} + \dots + 1) = 12 \cdot 3^{m - 1} \cdot \frac{1 0 ^{m} - 1}{9}

すなわち

S (m) = \frac{4 \cdot 3 ^{m - 1} ( 1 0 ^{m} - 1 )}{3}

である。

$m = 1, 2, 3, 4$ で全列挙の和は $12, 396, 11988, 359964$ となり、式と一致した。

(iii)第 $100$ 項 $a_{100}$ を求める

答 $a_{100} = 7171$

$T (3) = 39$ 、 $T (4) = 120$ なので $4$ 桁の $61$ 番目。3進法に直す。

$T (3) = \frac{81 - 3}{2} = 39$ 、 $T (4) = \frac{243 - 3}{2} = 120$ なので、 $a_{100}$ は4桁で、4桁のなかの $100 - 39 = 61$ 番目である。

(i) の対応（ $1 \to 0, 4 \to 1, 7 \to 2$ ）で、 $j$ 番目の4桁の数は $j - 1$ を4桁の3進数で書いたものに対応する。 $61 - 1 = 60$ を3進法にすると

60 = 2 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 = (2020)_{3}

である。 $2 \to 7, 0 \to 1$ と戻すと

a_{100} = 7171

である。

全列挙して並べた $100$ 番目は $7171$ だった。

(iv) $m ≧ 2$ とし、最高位が $7$ でそれ以外がすべて $1$ の $m$ 桁の整数を $P_{m}$ とする。 $m$ 桁の整数のなかで $P_{m}$ が $I (m)$ 番目、数列全体で第 $L (m)$ 項であるとき、 $I (m)$ と $L (m)$ を求める

答 $I (m) = 2 \cdot 3^{m - 1} + 1$ 、 $L (m) = \frac{7 \cdot 3 ^{m - 1} - 1}{2}$

$P_{m}$ に対応する3進数は $(200 \dots 0)_{3} = 2 \cdot 3^{m - 1}$ 。

$P_{m} = 71 \dots 1$ を (i) の対応で読みかえると、3進数 $(20 \dots 0)_{3} = 2 \cdot 3^{m - 1}$ になる。 $j$ 番目が $j - 1$ に対応するので

I (m) = 2 \cdot 3^{m - 1} + 1

である。数列全体での番号は、 $m - 1$ 桁以下の個数を足して

L (m) = T (m - 1) + I (m) = \frac{3 ^{m} - 3}{2} + 2 \cdot 3^{m - 1} + 1

である。 $3^{m} = 3 \cdot 3^{m - 1}$ として通分すると

L (m) = \frac{3 \cdot 3 ^{m - 1} - 3 + 4 \cdot 3 ^{m - 1} + 2}{2} = \frac{7 \cdot 3 ^{m - 1} - 1}{2}

である。

$m = 2, 3, 4, 5$ で全列挙の順位は $I = 7, 19, 55, 163$ 、 $L = 10, 31, 94, 283$ となり式と一致した。

(v) $7$ と $1$ が $k$ 回交互に並ぶ $2 k$ 桁の整数 $7171 \dots 71$ が数列の第 $M (k)$ 項であるとき、 $M (k)$ を $k$ で表す

答 $M (k) = \frac{5 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}$

対応する3進数は $(2020 \dots 20)_{3}$ 。 $9$ を公比とする等比数列の和になる。

$7171 \dots 71$ （ $2 k$ 桁）を読みかえると3進数 $(2020 \dots 20)_{3}$ になる。 $2$ が $3^{2 k - 1}, 3^{2 k - 3}, \dots, 3^{1}$ の位に並ぶので、その値は

2 (3^{2 k - 1} + 3^{2 k - 3} + \dots + 3) = 6 (9^{k - 1} + 9^{k - 2} + \dots + 1) = 6 \cdot \frac{9 ^{k} - 1}{8} = \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}

である。よって $2 k$ 桁のなかでの順位は $\frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1$ である。全体では

M (k) = T (2 k - 1) + \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1 = \frac{9 ^{k} - 3}{2} + \frac{3 ( 9 ^{k} - 1 )}{4} + 1

である（ $T (2 k - 1) = \frac{3 ^{2 k} - 3}{2} = \frac{9 ^{k} - 3}{2}$ ）。通分すると

M (k) = \frac{2 ( 9 ^{k} - 3 ) + 3 ( 9 ^{k} - 1 ) + 4}{4} = \frac{5 \cdot 9 ^{k} - 5}{4} = \frac{5 ( 9 ^{k} - 1 )}{4}

である。

$k = 2$ のとき $M (2) = \frac{5 \cdot 80}{4} = 100$ で、(iii) の $a_{100} = 7171$ と合う。

$k = 1, 2, 3$ で全列挙の順位は $10, 100, 910$ となり、式の値と一致した。

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問題文について

(i)f(x)=1+sinxcosx​（−2π​<x<23π​）の f′(x) と f′′(x) を求める

(ii)y=f(x) のグラフの凹凸を調べ、C1​ の概形を述べる

(iii)直線 x=4π​ に関して C1​ と対称な曲線を C2​ とする。C1​ と C2​ の交点の座標を求める

(iv){f(x)}2 を f′(x) の式で表し、{f(x)}2 の不定積分を求める

(v)C1​、C2​ および y 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

(i)k≧1、f(x)=e−kx2 とする。4 点 (±t,0)、(±t,f(t))（t>0）を頂点とする長方形の面積を g(t) とするとき、g′(t) と g(t) の最大値 S1​ を求める

(ii)h(s)=OP2（P(s,f(s))）が極値をとる s をすべて求める

(iii)D:0≦y≦f(x)、Er​:0≦y≦r2−x2​ とする。Er​⊂D となるように r を動かすとき、Er​ の面積の最大値 S2​ を求める

(iv)k=e4N​（N=1,2,3,…）のとき、2S2​<S1​ となる最小の N を求める。必要なら 4<2​eπlog2​<5 を用いてよい

(i)f(x)=x+x1​（x>0）、C1​:y=f(x) とする。C1​ 上の点 (s,f(s)) における接線 ℓ の方程式を求める

(ii)g(x)=x+9x5​、C2​:y=g(x) とする。C2​ 上の点 P(t,g(t))（t>0）から C1​ へ引いた2本の接線の接点を、x 座標の小さいほうから Q,R とするとき、x1​(t),x2​(t) を求める

(iii)PQ​ と PR を t で表し、三角形 PQR の面積 S1​(t) を求める

(iv)直線 QR の方程式を求める

(v)C1​ と直線 QR とで囲まれた部分の面積 S2​(t) を求める

(i)1,4,7 の3つの数字だけで表せる正の整数を小さい順に並べた数列を {an​} とする。m 桁の整数の個数 t(m) と、m 桁以下の整数の個数 T(m) を m で表す

(ii)m 桁の整数すべての和 S(m) を m で表す

(iii)第 100 項 a100​ を求める

(iv)m≧2 とし、最高位が 7 でそれ以外がすべて 1 の m 桁の整数を Pm​ とする。m 桁の整数のなかで Pm​ が I(m) 番目、数列全体で第 L(m) 項であるとき、I(m) と L(m) を求める

(v)7 と 1 が k 回交互に並ぶ 2k 桁の整数 7171⋯71 が数列の第 M(k) 項であるとき、M(k) を k で表す

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(ii) $y = f (x)$ のグラフの凹凸を調べ、 $C_{1}$ の概形を述べる

(iii)直線 $x = \frac{π}{4}$ に関して $C_{1}$ と対称な曲線を $C_{2}$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の座標を求める

(iv) ${f (x)}^{2}$ を $f^{'} (x)$ の式で表し、 ${f (x)}^{2}$ の不定積分を求める

(v) $C_{1}$ 、 $C_{2}$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

(i) $k ≧ 1$ 、 $f (x) = e^{- k x^{2}}$ とする。 $4$ 点 $(\pm t, 0)$ 、 $(\pm t, f (t))$ （ $t > 0$ ）を頂点とする長方形の面積を $g (t)$ とするとき、 $g^{'} (t)$ と $g (t)$ の最大値 $S_{1}$ を求める

(ii) $h (s) = OP^{2}$ （ $P (s, f (s))$ ）が極値をとる $s$ をすべて求める

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(iv) $k = \frac{4 ^{N}}{e}$ （ $N = 1, 2, 3, \dots$ ）のとき、 $2 S_{2} < S_{1}$ となる最小の $N$ を求める。必要なら $4 < \frac{e π lo g 2}{2} < 5$ を用いてよい

(i) $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）、 $C_{1} : y = f (x)$ とする。 $C_{1}$ 上の点 $(s, f (s))$ における接線 $ℓ$ の方程式を求める

(ii) $g (x) = x + \frac{5}{9 x}$ 、 $C_{2} : y = g (x)$ とする。 $C_{2}$ 上の点 $P (t, g (t))$ （ $t > 0$ ）から $C_{1}$ へ引いた2本の接線の接点を、 $x$ 座標の小さいほうから $Q, R$ とするとき、 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ を求める

(iii) $PQ$ と $PR$ を $t$ で表し、三角形 $PQR$ の面積 $S_{1} (t)$ を求める

(iv)直線 $QR$ の方程式を求める

(v) $C_{1}$ と直線 $QR$ とで囲まれた部分の面積 $S_{2} (t)$ を求める

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(ii) $m$ 桁の整数すべての和 $S (m)$ を $m$ で表す

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