独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問5問・無料

電気通信大学　2021年度　前期日程　情報理工学域

第3問微分積分の解答・解説

接線の方程式・外から引いた2本の接線・ベクトルによる三角形の面積・曲線と直線で囲む面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(i) $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）、 $C_{1} : y = f (x)$ とする。 $C_{1}$ 上の点 $(s, f (s))$ における接線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $ℓ : y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}$

$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ 。代入して整理する。

y = (s + \frac{1}{s}) + (1 - \frac{1}{s ^{2}}) (x - s)

である。定数項は

s + \frac{1}{s} - s + \frac{1}{s} = \frac{2}{s}

なので

ℓ : y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}

である。

$s = 0.6, 3$ などで接点を通り傾きが一致することを確かめた。

(ii) $g (x) = x + \frac{5}{9 x}$ 、 $C_{2} : y = g (x)$ とする。 $C_{2}$ 上の点 $P (t, g (t))$ （ $t > 0$ ）から $C_{1}$ へ引いた2本の接線の接点を、 $x$ 座標の小さいほうから $Q, R$ とするとき、 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ を求める

答 $x_{1} (t) = \frac{3 t}{5}$ 、 $x_{2} (t) = 3 t$

$ℓ$ が $P$ を通る条件を $s$ の2次方程式にする。

$ℓ$ が $P (t, t + \frac{5}{9 t})$ を通る条件は

t + \frac{5}{9 t} = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) t + \frac{2}{s}, \frac{5}{9 t} = - \frac{t}{s ^{2}} + \frac{2}{s}

である。両辺に $9 t s^{2} > 0$ を掛けると

5 s^{2} = - 9 t^{2} + 18 t s, 5 s^{2} - 18 t s + 9 t^{2} = 0

となる。 $s$ について解くと

s = \frac{18 t \pm 324 t ^{2} - 180 t ^{2}}{10} = \frac{18 t \pm 12 t}{10} = 3 t, \frac{3 t}{5}

である。どちらも正なので接点は2つあり、 $x$ 座標の小さいほうから

x_{1} (t) = \frac{3 t}{5}, x_{2} (t) = 3 t

である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ でどちらの接線も $P$ を通った。

(iii) $PQ$ と $PR$ を $t$ で表し、三角形 $PQR$ の面積 $S_{1} (t)$ を求める

答 $PQ = (- \frac{2 t}{5}, - \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t})$ 、 $PR = (2 t, 2 t - \frac{2}{9 t})$ 、 $S_{1} (t) = \frac{16}{15}$ （ $t$ によらない）

成分を計算して $\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ 。

$Q (\frac{3 t}{5}, \frac{3 t}{5} + \frac{5}{3 t})$ 、 $R (3 t, 3 t + \frac{1}{3 t})$ 、 $P (t, t + \frac{5}{9 t})$ なので

PQ = (- \frac{2 t}{5}, - \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t}), PR = (2 t, 2 t - \frac{2}{9 t})

である（ $\frac{5}{3 t} - \frac{5}{9 t} = \frac{10}{9 t}$ 、 $\frac{1}{3 t} - \frac{5}{9 t} = - \frac{2}{9 t}$ ）。面積は

S_{1} = \frac{1}{2} (- \frac{2 t}{5}) (2 t - \frac{2}{9 t}) - 2 t (- \frac{2 t}{5} + \frac{10}{9 t})

である。中身は

(- \frac{4 t ^{2}}{5} + \frac{4}{45}) - (- \frac{4 t ^{2}}{5} + \frac{20}{9}) = \frac{4}{45} - \frac{100}{45} = - \frac{32}{15}

で、 $t^{2}$ の項が消える。よって

S_{1} (t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{15} = \frac{16}{15}

で、 $t$ によらない一定の値である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ のどれでも $1.066666667$ になり、 $\frac{16}{15} = 1.066666667$ と一致した。

(iv)直線 $QR$ の方程式を求める

答 $y = (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}$

2点の傾きを計算する。 $\frac{12 t}{5}$ が共通因数になる。

$R$ と $Q$ の差は

x_{2} - x_{1} = \frac{12 t}{5}, y_{2} - y_{1} = \frac{12 t}{5} + \frac{1}{3 t} - \frac{5}{3 t} = \frac{12 t}{5} - \frac{4}{3 t}

なので、傾きは

\frac{\frac{12 t}{5} - \frac{4}{3 t}}{\frac{12 t}{5}} = 1 - \frac{4}{3 t} \cdot \frac{5}{12 t} = 1 - \frac{5}{9 t ^{2}}

である。 $y$ 切片は $Q$ を代入して

(\frac{3 t}{5} + \frac{5}{3 t}) - (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) \frac{3 t}{5} = \frac{5}{3 t} + \frac{1}{3 t} = \frac{2}{t}

である。よって

QR : y = (1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}

である。

(i) の接線は $y = (1 - \frac{1}{s ^{2}}) x + \frac{2}{s}$ だった。 $QR$ は $y$ 切片が $\frac{2}{t}$ で同じ形をしている。これは $P$ から引いた2接点を結ぶ直線（極線）の性質である。

$t = 0.5, 1, 2.5$ で2点から求めた傾き・切片がこの式と一致した。

(v) $C_{1}$ と直線 $QR$ とで囲まれた部分の面積 $S_{2} (t)$ を求める

答 $S_{2} (t) = \frac{12}{5} - lo g 5$ （ $t$ によらない）

$\frac{3 t}{5} ≦ x ≦ 3 t$ で直線が上。差を積分すると $lo g$ の部分がきれいにまとまる。

$QR$ は $C_{1}$ と $x = \frac{3 t}{5}, 3 t$ で接するように交わり、その間では直線が上にある。差は

{(1 - \frac{5}{9 t ^{2}}) x + \frac{2}{t}} - (x + \frac{1}{x}) = - \frac{5 x}{9 t ^{2}} + \frac{2}{t} - \frac{1}{x}

である。原始関数は

- \frac{5 x ^{2}}{18 t ^{2}} + \frac{2 x}{t} - lo g x

である。 $x = 3 t$ では

- \frac{5 \cdot 9 t ^{2}}{18 t ^{2}} + 6 - lo g 3 t = \frac{7}{2} - lo g 3 t

であり、 $x = \frac{3 t}{5}$ では

- \frac{5}{18 t ^{2}} \cdot \frac{9 t ^{2}}{25} + \frac{6}{5} - lo g \frac{3 t}{5} = - \frac{1}{10} + \frac{6}{5} - lo g \frac{3 t}{5} = \frac{11}{10} - lo g \frac{3 t}{5}

である。差をとると $lo g$ の中の $3 t$ が消えて

S_{2} = \frac{7}{2} - \frac{11}{10} - lo g 3 t + lo g \frac{3 t}{5} = \frac{12}{5} - lo g 5

である（ $0.7906 \dots$ ）。これも $t$ によらない。

C1（下に凸の曲線）と C2（その下にある曲線）。P は C2 上の点、Q と R は P から C1 に引いた2本の接線の接点。塗った部分が (v) の面積で、図は t = 1 のとき。

$t = 0.5, 1, 2.5$ のどれでも $0.790562088$ になり、 $\frac{12}{5} - lo g 5 = 0.790562088$ と一致した。

$lo g 3 t - lo g \frac{3 t}{5} = lo g 5$ と、 $t$ がきれいに消える。消えなければ計算を疑う。

2021年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる電通大数学 2027

電通大数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・138ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(i)f(x)=x+x1​（x>0）、C1​:y=f(x) とする。C1​ 上の点 (s,f(s)) における接線 ℓ の方程式を求める

(ii)g(x)=x+9x5​、C2​:y=g(x) とする。C2​ 上の点 P(t,g(t))（t>0）から C1​ へ引いた2本の接線の接点を、x 座標の小さいほうから Q,R とするとき、x1​(t),x2​(t) を求める

(iii)PQ​ と PR を t で表し、三角形 PQR の面積 S1​(t) を求める

(iv)直線 QR の方程式を求める

(v)C1​ と直線 QR とで囲まれた部分の面積 S2​(t) を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(i) $f (x) = x + \frac{1}{x}$ （ $x > 0$ ）、 $C_{1} : y = f (x)$ とする。 $C_{1}$ 上の点 $(s, f (s))$ における接線 $ℓ$ の方程式を求める

(ii) $g (x) = x + \frac{5}{9 x}$ 、 $C_{2} : y = g (x)$ とする。 $C_{2}$ 上の点 $P (t, g (t))$ （ $t > 0$ ）から $C_{1}$ へ引いた2本の接線の接点を、 $x$ 座標の小さいほうから $Q, R$ とするとき、 $x_{1} (t), x_{2} (t)$ を求める

(iii) $PQ$ と $PR$ を $t$ で表し、三角形 $PQR$ の面積 $S_{1} (t)$ を求める

(iv)直線 $QR$ の方程式を求める

(v) $C_{1}$ と直線 $QR$ とで囲まれた部分の面積 $S_{2} (t)$ を求める