第1問微分積分の解答・解説

商の微分・グラフの凹凸・直線に関する対称移動・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x}$ （ $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ ）の $f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = - \frac{1}{1 + sin x}$ 、 $f^{''} (x) = \frac{cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}}$

商の微分。分子で $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ がまとまる。

f^{'} (x) = \frac{- sin x ( 1 + sin x ) - cos x \cdot cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{- sin x - sin ^{2} x - cos ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}}

である。分子は $- (1 + sin x)$ なので約分できて

f^{'} (x) = - \frac{1}{1 + sin x}

である。これをもう一度微分すると

f^{''} (x) = \frac{cos x}{( 1 + sin x ) ^{2}}

である。

$f (x) = \frac{cos x}{1 + sin x} = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ とも書ける。 $f^{'} = - \frac{1}{2} sec^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ からも同じ式になる。

$x = - 1, 0, 1, 2, 4$ で数値微分と一致した。

(ii) $y = f (x)$ のグラフの凹凸を調べ、 $C_{1}$ の概形を述べる

答 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で下に凸、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ で上に凸。変曲点は $(\frac{π}{2}, 0)$ 。つねに減少し、両端で $+ \infty$ と $- \infty$

$1 + sin x > 0$ なので、 $f^{''}$ の符号は $cos x$ の符号。

$- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ では $sin x > - 1$ なので $1 + sin x > 0$ である。よって

$f^{'} = - \frac{1}{1 + sin x} < 0$ なので、 $f$ はこの区間でつねに減少する
$f^{''}$ の符号は $cos x$ の符号と同じ。 $- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}$ で $f^{''} > 0$ （下に凸）、 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ で $f^{''} < 0$ （上に凸）
$x = \frac{π}{2}$ で凹凸が変わり、 $f (\frac{π}{2}) = 0$ なので変曲点は $(\frac{π}{2}, 0)$

端のようすは $f (x) = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ と書くと見やすい。 $x \to - \frac{π}{2} + 0$ で偏角は $\frac{π}{2}$ に近づくので $f \to + \infty$ 、 $x \to \frac{3 π}{2} - 0$ で偏角は $- \frac{π}{2}$ に近づくので $f \to - \infty$ である。

つまり $C_{1}$ は、左端で $+ \infty$ から下がり始め、 $(0, 1)$ を通り、 $(\frac{π}{2}, 0)$ で凹凸を変えて、右端で $- \infty$ に落ちる単調減少の曲線である。

C1（太線）と、直線 x = π/4 に関して折り返した C2（細い線）。2つは x = π/4 で交わる。塗った部分が (v) で回転させる領域で、点線は対称の軸 x = π/4。

$f^{''}$ の符号は $x = 0, 1$ で正、 $x = 2, 4$ で負になり、 $cos x$ の符号と合った。

(iii)直線 $x = \frac{π}{4}$ に関して $C_{1}$ と対称な曲線を $C_{2}$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の座標を求める

答 $(\frac{π}{4}, 2 - 1)$

$C_{2}$ は $y = f (\frac{π}{2} - x)$ 。 $f$ は単調なので $x = \frac{π}{2} - x$ だけが解。

直線 $x = \frac{π}{4}$ に関する対称移動は $x \mapsto \frac{π}{2} - x$ なので、 $C_{2}$ の方程式は

y = f (\frac{π}{2} - x) = \frac{sin x}{1 + cos x}

である。交点では $f (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ だが、(ii) より $f$ は定義域で狭義単調減少なので1対1である。よって

x = \frac{π}{2} - x, x = \frac{π}{4}

だけが交点を与える。 $y$ の値は

f (\frac{π}{4}) = \frac{\frac{2}{2}}{1 + \frac{2}{2}} = \frac{2}{2 + 2} = 2 - 1

である。よって交点は $(\frac{π}{4}, 2 - 1)$ である。

$tan \frac{π}{8} = 2 - 1$ である。 $f (x) = tan (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ に $x = \frac{π}{4}$ を入れると $tan \frac{π}{8}$ になる。

$x = \frac{π}{4}$ で $C_{1}$ と $C_{2}$ の値がどちらも $0.4142136$ になり、 $2 - 1 = 0.4142136$ と一致した。

(iv) ${f (x)}^{2}$ を $f^{'} (x)$ の式で表し、 ${f (x)}^{2}$ の不定積分を求める

答 ${f (x)}^{2} = - 2 f^{'} (x) - 1$ 、 $\int {f (x)}^{2} d x = - 2 f (x) - x + C$

$f^{2} = \frac{1 - sin x}{1 + sin x}$ を $\frac{2}{1 + sin x} - 1$ と直す。

{f (x)}^{2} = \frac{cos ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{1 - sin ^{2} x}{( 1 + sin x ) ^{2}} = \frac{1 - sin x}{1 + sin x}

である。分子を $1 - sin x = 2 - (1 + sin x)$ と書くと

{f (x)}^{2} = \frac{2}{1 + sin x} - 1 = - 2 f^{'} (x) - 1

である（(i) より $\frac{1}{1 + sin x} = - f^{'}$ ）。したがって

\int {f (x)}^{2} d x = - 2 f (x) - x + C = - \frac{2 cos x}{1 + sin x} - x + C

である。

$\frac{1 - sin x}{1 + sin x}$ をふつうに積分しようとすると $t = tan \frac{x}{2}$ の置換などが要る。(i) の形に気づけば一瞬で終わる。

${f}^{2} + 2 f^{'} + 1$ は $1001$ 点で $1 0^{- 11}$ 以下、原始関数の数値微分も $f^{2}$ と一致した。

(v) $C_{1}$ 、 $C_{2}$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = (6 - 42) π$

$0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ で上が $C_{1}$ 、下が $C_{2}$ 。どちらも $0$ 以上なので円環。

$x = 0$ では $C_{1}$ が $y = 1$ 、 $C_{2}$ が $y = 0$ である。(iii) より2曲線は $x = \frac{π}{4}$ で交わるので、囲まれた部分は $0 ≦ x ≦ \frac{π}{4}$ で $g (x) ≦ y ≦ f (x)$ （ $g (x) = f (\frac{π}{2} - x)$ ）の部分である。ここで $f ≧ g ≧ 0$ なので、回転体の断面は円環で