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電気通信大学　2020年度　前期日程　情報理工学域

第4問数列・微分の解答・解説

整式の漸化式・階差数列・数学的帰納法・極値をもつ条件当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(i) $f_{1} (x) = x + 3$ 、 $f_{n + 1} (x) = (x + 1) {f_{n} (x) - n} + x^{n + 1}$ とする。 $a_{n} = f_{n} (0)$ について $a_{1}$ 、 $a_{n + 1} - a_{n}$ 、 $a_{n}$ を求める

答 $a_{1} = 3$ 、 $a_{n + 1} - a_{n} = - n$ 、 $a_{n} = 3 - \frac{n ( n - 1 )}{2}$

$x = 0$ を代入する。 $0^{n + 1} = 0$ （ $n ≧ 1$ ）。

$a_{1} = f_{1} (0) = 3$ である。 $x = 0$ を代入すると、 $n ≧ 1$ では $0^{n + 1} = 0$ なので

a_{n + 1} = 1 \cdot (a_{n} - n) + 0 = a_{n} - n, a_{n + 1} - a_{n} = - n

である。階差から、 $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = 3 + k = 1 \sum n - 1 (- k) = 3 - \frac{n ( n - 1 )}{2}

で、 $n = 1$ でも $3$ となり成り立つ。

$f_{n}$ を実際に作ると $a_{1}, \dots, a_{5} = 3, 2, 0, - 3, - 7$ で、式と一致した。

(ii) $b_{n} = f_{n} (1)$ とするとき $b_{n} - 2 n - 1$ を $n$ で表す

答 $b_{n} - 2 n - 1 = 2^{n - 1}$

$x = 1$ を代入すると $b_{n + 1} = 2 b_{n} - 2 n + 1$ 。 $b_{n} - 2 n - 1$ とおくと等比になる。

$b_{1} = f_{1} (1) = 4$ である。 $x = 1$ を代入すると

b_{n + 1} = 2 (b_{n} - n) + 1 = 2 b_{n} - 2 n + 1

である。 $e_{n} = b_{n} - 2 n - 1$ とおくと $b_{n} = e_{n} + 2 n + 1$ で

e_{n + 1} + 2 n + 3 = 2 (e_{n} + 2 n + 1) - 2 n + 1 = 2 e_{n} + 2 n + 3

なので $e_{n + 1} = 2 e_{n}$ である。 $e_{1} = 4 - 3 = 1$ だから

b_{n} - 2 n - 1 = e_{n} = 2^{n - 1}

である。

$b_{1}, \dots, b_{5} = 4, 7, 11, 16, 22$ に対して $b_{n} - 2 n - 1 = 1, 2, 4, 8, 16$ となった。

(iii) $c_{n} = f_{n}^{'} (0)$ とするとき $c_{n + 1} - c_{n}$ と $c_{n}$ を $n$ で表す

答 $c_{n + 1} - c_{n} = 3 - \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 、 $c_{n} = 3 n - 2 - \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}$

漸化式を微分してから $x = 0$ を代入する。

漸化式の両辺を $x$ で微分すると

f_{n + 1}^{'} (x) = {f_{n} (x) - n} + (x + 1) f_{n}^{'} (x) + (n + 1) x^{n}

である。 $x = 0$ を代入すると（ $n ≧ 1$ より $0^{n} = 0$ ）

c_{n + 1} = (a_{n} - n) + c_{n}, c_{n + 1} - c_{n} = a_{n} - n = 3 - \frac{n ( n - 1 )}{2} - n

で、整理すると

c_{n + 1} - c_{n} = 3 - \frac{n ( n + 1 )}{2}

である。 $c_{1} = f_{1}^{'} (0) = 1$ なので、 $n ≧ 2$ のとき

c_{n} = 1 + k = 1 \sum n - 1 {3 - \frac{k ( k + 1 )}{2}} = 1 + 3 (n - 1) - \frac{1}{2} k = 1 \sum n - 1 (k^{2} + k)

である。 $k = 1 \sum n - 1 (k^{2} + k) = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{3}$ なので

c_{n} = 3 n - 2 - \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}

で、 $n = 1$ でも $1$ となり成り立つ。

$c_{1}, \dots, c_{5} = 1, 3, 3, 0, - 7$ となり、式と一致した。

(iv) $d_{n} = f_{n}^{'} (1)$ とするとき $d_{n} > 0$ を証明する

答 $d_{n + 1} = 2 d_{n} + 2^{n - 1} + 2 n + 2$ と $d_{1} = 1 > 0$ から帰納法

(iii) の微分した式に $x = 1$ を代入し、(ii) の $b_{n}$ を使う。

(iii) の式に $x = 1$ を代入すると

d_{n + 1} = (b_{n} - n) + 2 d_{n} + (n + 1) = 2 d_{n} + b_{n} + 1

である。(ii) より $b_{n} = 2^{n - 1} + 2 n + 1$ なので

d_{n + 1} = 2 d_{n} + 2^{n - 1} + 2 n + 2

である。 $d_{1} = f_{1}^{'} (1) = 1 > 0$ であり、 $d_{n} > 0$ とすると $2^{n - 1} + 2 n + 2 > 0$ だから $d_{n + 1} > 0$ である。よって帰納法によりすべての自然数 $n$ で $d_{n} > 0$ である。（証明終わり）

$d_{1}, \dots, d_{5} = 1, 7, 22, 56, 130$ でどれも正、 $n = 20$ まで正だった。

(v) $y = f_{n} (x)$ が $0 < x < 1$ の範囲に極値をとるための $n$ の条件を求める

答 $n ≧ 5$

$d_{n} > 0$ はいつも成り立つので、 $c_{n} < 0$ になるかどうかで決まる。

$n ≧ 5$ のとき。 $6 c_{n} = 18 n - 12 - (n^{3} - n)$ なので

c_{n} < 0 ⟺ n^{3} - 19 n + 12 > 0

である。 $g (n) = n^{3} - 19 n + 12$ とおくと $g (1) = - 6$ 、 $g (2) = - 18$ 、 $g (3) = - 18$ 、 $g (4) = 0$ 、 $g (5) = 42$ で、 $n ≧ 3$ では $g^{'} (n) = 3 n^{2} - 19 > 0$ だから $g$ は増加する。よって $g (n) > 0$ となるのは $n ≧ 5$ のときだけである。

$n ≧ 5$ なら $f_{n}^{'} (0) = c_{n} < 0$ 、 $f_{n}^{'} (1) = d_{n} > 0$ である。 $f_{n}$ は $[0, 1]$ で連続な多項式なので最小値をとるが、 $f_{n}^{'} (0) < 0$ より $x = 0$ の右側で値が下がるので $x = 0$ では最小にならず、 $f_{n}^{'} (1) > 0$ より $x = 1$ の左側で値が下がるので $x = 1$ でも最小にならない。したがって最小値をとるのは $0 < x < 1$ の内部の点で、そこは極小である。

$n ≦ 4$ のとき。漸化式から順に計算すると

f_{1} = x + 3, f_{2} = 2 x^{2} + 3 x + 2, f_{3} = 3 x^{3} + 5 x^{2} + 3 x, f_{4} = 4 x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} - 3

なので

f_{1}^{'} = 1, f_{2}^{'} = 4 x + 3, f_{3}^{'} = 9 x^{2} + 10 x + 3, f_{4}^{'} = 8 x (2 x^{2} + 3 x + 2)

である。どれも $0 < x < 1$ で正なので、 $f_{n}$ はこの区間で単調増加であり極値をとらない（ $2 x^{2} + 3 x + 2$ は判別式が負で正）。

したがって求める条件は

n ≧ 5

である。

$n = 4$ は $c_{4} = 0$ でちょうど境い目。 $f_{4}^{'} (0) = 0$ だが $0 < x < 1$ では $f_{4}^{'} > 0$ なので、極値にはならない。ここが引っかけどころ。

$f_{n}^{'}$ の $0 < x < 1$ での符号変化を数えると、 $n ≦ 4$ で $0$ 回、 $n = 5$ から $20$ までは $1$ 回だった。

$f_{n}^{'} (0) < 0$ と $f_{n}^{'} (1) > 0$ だけでは「 $f_{n}^{'}$ の零点がある」までしか言えない。最小値が内部でとられることを言うと「極値」まで言い切れる。

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(i)f1​(x)=x+3、fn+1​(x)=(x+1){fn​(x)−n}+xn+1 とする。an​=fn​(0) について a1​、an+1​−an​、an​ を求める

(ii)bn​=fn​(1) とするとき bn​−2n−1 を n で表す

(iii)cn​=fn′​(0) とするとき cn+1​−cn​ と cn​ を n で表す

(iv)dn​=fn′​(1) とするとき dn​>0 を証明する

(v)y=fn​(x) が 0<x<1 の範囲に極値をとるための n の条件を求める