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電気通信大学　2020年度　前期日程　情報理工学域

第2問微分積分の解答・解説

ルートを含む関数の接線・指数関数による置換・接線と曲線で囲む面積・対数と極限当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(i) $f (x) = x^{2} - 1$ （ $x ≧ 1$ ）、 $C : y = f (x)$ とする。 $x > 1$ での $f^{'} (x)$ を求め、 $C$ 上の点 $(n, f (n))$ （ $n ≧ 2$ の整数）における接線 $ℓ_{n}$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標 $x_{n}$ を $n$ で表す

答 $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} - 1}$ 、 $x_{n} = \frac{1}{n}$

接線の式に $y = 0$ を入れる。 $n^{2} - 1$ が約分されて消える。

f^{'} (x) = \frac{2 x}{2 x ^{2} - 1} = \frac{x}{x ^{2} - 1}

である。接線 $ℓ_{n}$ は

y = n^{2} - 1 + \frac{n}{n ^{2} - 1} (x - n)

で、 $y = 0$ とおいて両辺に $n^{2} - 1 > 0$ を掛けると

(n^{2} - 1) + n (x - n) = 0, n x = 1

である。よって

x_{n} = \frac{1}{n}

である。

$C$ は双曲線 $x^{2} - y^{2} = 1$ の上半分。接点の $x$ 座標と $x$ 切片の積が $1$ になるのは、この双曲線の接線の性質である。

$n = 2, 3, 5, 10$ で $x$ 切片は $\frac{1}{n}$ になった。

(ii) $x ≧ 1$ のとき $x = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ を満たす実数 $t ≧ 0$ を $x$ で表す

答 $t = lo g (x + x^{2} - 1)$

$u = e^{t}$ とおくと $u^{2} - 2 xu + 1 = 0$ 。 $t ≧ 0$ から $u ≧ 1$ のほうを選ぶ。

$u = e^{t} > 0$ とおくと $u + \frac{1}{u} = 2 x$ 、すなわち

u^{2} - 2 xu + 1 = 0, u = x \pm x^{2} - 1

である。 $t ≧ 0$ より $u ≧ 1$ だが、 $x - x^{2} - 1 = \frac{1}{x + x ^{2} - 1} ≦ 1$ （等号は $x = 1$ ）なので $u = x + x^{2} - 1$ をとる。よって

t = lo g (x + x^{2} - 1)

である。

$n = 2, 3, 5, 10$ でこの $t$ を使うと $\frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ が $n$ に戻った。

(iii) $x = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ （ $t ≧ 0$ ）とおくとき、 $I = \int f (x) d x$ を $t$ の式で表す

答 $I = \frac{e ^{2 t} - e ^{- 2 t}}{8} - \frac{t}{2}$ （積分定数は省略）

$x^{2} - 1 = (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2}$ になるのがかぎ。

x^{2} - 1 = \frac{e ^{2 t} + 2 + e ^{- 2 t}}{4} - 1 = \frac{e ^{2 t} - 2 + e ^{- 2 t}}{4} = (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2}

である。 $t ≧ 0$ では $e^{t} ≧ e^{- t}$ なので $f (x) = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$ である。また $d x = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2} d t$ だから

I = \int (\frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2})^{2} d t = \frac{1}{4} \int (e^{2 t} - 2 + e^{- 2 t}) d t

である。計算すると

I = \frac{1}{4} (\frac{e ^{2 t}}{2} - 2 t - \frac{e ^{- 2 t}}{2}) = \frac{e ^{2 t} - e ^{- 2 t}}{8} - \frac{t}{2}

である。

$\int_{1}^{n} x^{2} - 1 d x$ を数値積分した値と、この式の差が $n = 2, 3, 5, 10$ で小数7桁まで一致した。

(iv) $C$ 、 $x$ 軸および接線 $ℓ_{n}$ で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ を $n$ で表す

答 $S_{n} = \frac{1}{2} lo g (n + n^{2} - 1) - \frac{n ^{2} - 1}{2 n}$

（三角形の面積）−（ $C$ の下の面積）。後者は (ii)(iii) で計算する。

$ℓ_{n}$ は $(\frac{1}{n}, 0)$ と $(n, n^{2} - 1)$ を通り、 $C$ は $(1, 0)$ で $x$ 軸と交わる。囲まれる部分は、 $ℓ_{n}$ の下の三角形から、 $C$ の下の部分を取り除いたものである。

(三角形) = \frac{1}{2} (n - \frac{1}{n}) n^{2} - 1 = \frac{( n ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{2 n}

である。一方、 $t_{n} = lo g (n + n^{2} - 1)$ とおくと (ii)(iii) より

\int_{1}^{n} x^{2} - 1 d x = [\frac{e ^{2 t} - e ^{- 2 t}}{8} - \frac{t}{2}]_{0}^{t_{n}}

である。 $e^{t_{n}} = n + n^{2} - 1$ 、 $e^{- t_{n}} = n - n^{2} - 1$ なので

e^{2 t_{n}} - e^{- 2 t_{n}} = (e^{t_{n}} - e^{- t_{n}}) (e^{t_{n}} + e^{- t_{n}}) = 2 n^{2} - 1 \cdot 2 n = 4 n n^{2} - 1

である。よって

\int_{1}^{n} x^{2} - 1 d x = \frac{n n ^{2} - 1}{2} - \frac{t _{n}}{2}

となる。したがって

S_{n} = \frac{( n ^{2} - 1 ) ^{\frac{3}{2}}}{2 n} - \frac{n n ^{2} - 1}{2} + \frac{t _{n}}{2}

で、前の2項は $n^{2} - 1$ でくくると

n^{2} - 1 \cdot \frac{( n ^{2} - 1 ) - n ^{2}}{2 n} = - \frac{n ^{2} - 1}{2 n}

である。よって

S_{n} = \frac{1}{2} lo g (n + n^{2} - 1) - \frac{n ^{2} - 1}{2 n}

である。

C: y = √(x² − 1) と、n = 2 のときの接線 ℓ₂。接点は (2, √3)、x 切片は (1/2, 0)。塗った部分が S₂。

$n = 2, 3, 5, 10$ で、三角形から数値積分を引いた値とこの式が小数7桁まで一致した。

(v) $T_{1} = 0$ 、 $T_{n} = \frac{S _{n}}{lo g n}$ （ $n ≧ 2$ ）とするとき、 $T = n \to \infty lim T_{n}$ を求める

答 $T = \frac{1}{2}$

$lo g (n + n^{2} - 1) = lo g n + lo g (1 + 1 - \frac{1}{n ^{2}})$ と分ける。

$n + n^{2} - 1 = n (1 + 1 - \frac{1}{n ^{2}})$ なので

lo g (n + n^{2} - 1) = lo g n + lo g (1 + 1 - \frac{1}{n ^{2}})

である。よって

T_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{lo g n} {\frac{1}{2} lo g (1 + 1 - \frac{1}{n ^{2}}) - \frac{n ^{2} - 1}{2 n}}

である。中かっこは $n \to \infty$ で $\frac{1}{2} lo g 2 - \frac{1}{2}$ に収束し、 $\frac{1}{lo g n} \to 0$ なので第2項は $0$ に行く。したがって

T = \frac{1}{2}

である。

収束はとてもゆっくりで、 $n = 1 0^{6}$ でも $T_{n} = 0.4889$ 程度。 $\frac{1}{lo g n}$ しか効かないからである。

$n = 1 0^{2}, 1 0^{4}, 1 0^{6}$ で $T_{n} = 0.4667, 0.4833, 0.4889$ となり、 $\frac{1}{2}$ に近づいた。

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問題文について

(i)f(x)=x2−1​（x≧1）、C:y=f(x) とする。x>1 での f′(x) を求め、C 上の点 (n,f(n))（n≧2 の整数）における接線 ℓn​ と x 軸の交点の x 座標 xn​ を n で表す

(ii)x≧1 のとき x=2et+e−t​ を満たす実数 t≧0 を x で表す

(iii)x=2et+e−t​（t≧0）とおくとき、I=∫f(x)dx を t の式で表す

(iv)C、x 軸および接線 ℓn​ で囲まれた部分の面積 Sn​ を n で表す

(v)T1​=0、Tn​=lognSn​​（n≧2）とするとき、T=n→∞lim​Tn​ を求める

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(ii) $x ≧ 1$ のとき $x = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ を満たす実数 $t ≧ 0$ を $x$ で表す

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(iv) $C$ 、 $x$ 軸および接線 $ℓ_{n}$ で囲まれた部分の面積 $S_{n}$ を $n$ で表す

(v) $T_{1} = 0$ 、 $T_{n} = \frac{S _{n}}{lo g n}$ （ $n ≧ 2$ ）とするとき、 $T = n \to \infty lim T_{n}$ を求める