第3問 複素数平面の解答・解説

$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおくと

なので、差は

である。$3+3i$ と比べて $x=3$、$2x+3y=3$ より $y=-1$。よって

である。

$z=x+yi$ とおくと

なので、方程式は

となる。これが $\left(x,y\right)\ne \left(0,0\right)$ の解をもつのは、2式が同じ直線を表すとき、すなわち

のときである。よって $k=0$ である。

実際 $k=0$ なら2式はどちらも $x=-2y$ となり、たとえば $z=-2+i$ が解になる。

$t$ が実数なので $\overline{t+i}=t-i$ である。$w=t+i$、$z=x+yi$ とおくと

で、$wz=\left(tx-y\right)+\left(x+ty\right)i$ だから $\ell$ は

である。$t$ について整理すると

で、これがすべての実数 $t$ で成り立つのは $x=-4$ かつ $y=2$ のときである。よって

である。

$\left(1+i\right)\left(t-i\right)\bar{z}=\overline{\left(1-i\right)\left(t+i\right)z}$ なので、$m$ は $\mathrm{Im}\left\{\left(1-i\right)wz\right\}=0$ である。

なので、$m$ は

である。$\ell :x+ty=2t-4$ の法線ベクトルは $\overrightarrow{n_1}=\left(1,t\right)$、$m$ のそれは $\overrightarrow{n_2}=\left(1-t,1+t\right)$ である。

なので

で、$t$ によらず $\frac{\pi }{4}$ である。法線のなす角と直線のなす角は等しい（または補角）ので

である。

$\ell :x+ty=2t-4$、$m:\left(1-t\right)x+\left(1+t\right)y=0$ である。$m$ は $\left(x+y\right)+t\left(y-x\right)=0$ とも書ける。

$y\ne 2$ かつ $x\ne y$ のとき、それぞれから

である。等しいとおいて分母を払うと

で、展開すると $-xy$ が両辺で消えて

となる。平方完成して

である。すなわち中心 $-1+3i$、半径 $\sqrt{10}$ の円である。除いた場合（$y=2$ のとき $\mathrm{P}=\mathrm{A}\left(-4,2\right)$、$x=y$ のとき $\mathrm{P}=\mathrm{O}$）もこの円の上にあり、それぞれ $t=\frac{1}{3}$、$t=2$ で実際にとる。

とれない点。$\ell$ と $m$ は (ii) より $\frac{\pi }{4}$ で交わるので、つねにただ1点で交わる。$t\to \pm \infty$ では $\ell$ は $y=2$ に、$m$ は $y=x$ に近づくので、$\mathrm{P}$ は $\left(2,2\right)$ に近づく。しかし $x=y=2$ を $\ell$ に入れると $2+2t=2t-4$ となって成り立たないので、$\left(2,2\right)$ はとれない。

よって $\mathrm{P}$ が描くのは中心 $-1+3i$、半径 $\sqrt{10}$ の円から点 $2+2i$ を除いたものである。

$\ell$ は定点 $\mathrm{A}$ を、$m$ は原点 $\mathrm{O}$ を通り、交わる角が $\frac{\pi }{4}$ で一定である。だから $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AO}$ を $\frac{\pi }{4}$ の角で見込む点の集合、つまり円周角の定理から円になる。$\mathrm{AO}=2\sqrt{5}$ なので半径は $\frac{2\sqrt{5}}{2\sin \frac{\pi }{4}}=\sqrt{10}$ で、確かに合う。