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電気通信大学　2020年度　前期日程　情報理工学域

第1問三角関数・積分の解答・解説

和積の公式・因数分解して解く・極値・回転体の体積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。情報理工学域の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(i) $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求める

答 $f^{'} (x) = cos x + cos 2 x + cos 3 x$

$(sin k x)^{'} = k cos k x$ なので、係数がちょうど打ち消し合う。

f^{'} (x) = cos x + \frac{1}{2} \cdot 2 cos 2 x + \frac{1}{3} \cdot 3 cos 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x

である。

数値微分と一致した。

(ii) $cos (α + β) + cos (α - β)$ を $cos α, cos β$ で、 $cos (α + β) - cos (α - β)$ を $sin α, sin β$ で表す

答 $cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β$ 、 $cos (α + β) - cos (α - β) = - 2 sin α sin β$

加法定理を2つ書いて足す・引く。

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

である。足すと $sin$ の項が消えて

cos (α + β) + cos (α - β) = 2 cos α cos β

で、引くと $cos$ の項が消えて

cos (α + β) - cos (α - β) = - 2 sin α sin β

である。

(iii) では前者を $α = 2 x$ 、 $β = x$ で使う。(v) では後者（と前者）が直交性の計算に効く。

$α, β$ をいくつか選んで両辺が一致することを確かめた。

(iii) $0 < x < π$ で $f^{'} (x) = 0$ の解を求める

答 $x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4}$

$cos x + cos 3 x = 2 cos 2 x cos x$ でくくる。

(ii) を $α = 2 x$ 、 $β = x$ で使うと

cos 3 x + cos x = 2 cos 2 x cos x

なので

f^{'} (x) = 2 cos 2 x cos x + cos 2 x = cos 2 x (2 cos x + 1)

である。 $f^{'} = 0$ は $cos 2 x = 0$ または $cos x = - \frac{1}{2}$ である。

$cos 2 x = 0$ ： $0 < 2 x < 2 π$ より $2 x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$ 、つまり $x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$
$cos x = - \frac{1}{2}$ ： $0 < x < π$ より $x = \frac{2 π}{3}$

よって解は $x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{4}$ である。

$f^{'}$ と $cos 2 x (2 cos x + 1)$ の差は $1 0^{- 15}$ 以下で、符号変化も3か所だった。

(iv) $y = f (x)$ （ $0 < x < π$ ）の極値を求める

答 $x = \frac{π}{4}$ で極大値 $\frac{2 2}{3} + \frac{1}{2}$ 、 $x = \frac{2 π}{3}$ で極小値 $\frac{3}{4}$ 、 $x = \frac{3 π}{4}$ で極大値 $\frac{2 2}{3} - \frac{1}{2}$

$cos 2 x$ と $2 cos x + 1$ の符号を別々に追う。

$0 < x < \frac{π}{4}$ ： $cos 2 x > 0$ 、 $2 cos x + 1 > 0$ なので $f^{'} > 0$
$\frac{π}{4} < x < \frac{2 π}{3}$ ： $cos 2 x < 0$ 、 $2 cos x + 1 > 0$ なので $f^{'} < 0$
$\frac{2 π}{3} < x < \frac{3 π}{4}$ ： $cos 2 x < 0$ 、 $2 cos x + 1 < 0$ なので $f^{'} > 0$
$\frac{3 π}{4} < x < π$ ： $cos 2 x > 0$ 、 $2 cos x + 1 < 0$ なので $f^{'} < 0$

よって $x = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$ で極大、 $x = \frac{2 π}{3}$ で極小である。値は

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 2}{3} + \frac{1}{2}

f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) + 0 = \frac{3}{4}

f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 2}{3} - \frac{1}{2}

である。

y = f(x)（0 ≦ x ≦ π）。x = π/4 と x = 3π/4 で極大、x = 2π/3 で極小。両端で 0 になり、その間はずっと正。塗った部分が (v) で回転させる部分。

数値では $1.4428090$ 、 $0.4330127$ 、 $0.4428090$ となり式の値と一致した。

(v)曲線 $y = f (x)$ （ $0 ≦ x ≦ π$ ）と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = \frac{49 π ^{2}}{72}$

$f^{2}$ を展開し、(ii) を使って $\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x$ を計算する。 $m \neq = n$ なら $0$ になる。

$f (0) = f (π) = 0$ で、(iv) より $0 < x < π$ では最小でも $f (\frac{2 π}{3}) = \frac{3}{4} > 0$ なので、 $f ≧ 0$ である。よって

V = π \int_{0}^{π} {f (x)}^{2} d x

である。(ii) の後者（符号を変えて）から

sin m x sin n x = \frac{1}{2} {cos (m - n) x - cos (m + n) x}

である。 $k$ が $0$ でない整数のとき $\int_{0}^{π} cos k x d x = [\frac{sin k x}{k}]_{0}^{π} = 0$ なので

\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{π}{2} (m \neq = n) (m = n)

である（ $m = n$ のときは $\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - cos 2 m x) d x = \frac{π}{2}$ ）。したがって $f^{2}$ を展開すると、異なる番号どうしの積はすべて消えて

\int_{0}^{π} f^{2} d x = (1^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{3})^{2}) \cdot \frac{π}{2} = \frac{49}{36} \cdot \frac{π}{2} = \frac{49 π}{72}

である。よって

V = \frac{49 π ^{2}}{72}

である（ $6.7168 \dots$ ）。

$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{36 + 9 + 4}{36} = \frac{49}{36}$ である。係数を $\frac{1}{k}$ にそろえてあるのは、この形にするためだろう。

数値積分すると $6.716814106$ で、 $\frac{49 π ^{2}}{72} = 6.716814106$ と一致した。

$f^{2}$ をまともに展開すると項が6つ出るが、 $sin m x sin n x$ （ $m \neq = n$ ）の積分はすべて $0$ 。先にこれを示しておくと一気に片づく。

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問題文について

(i)f(x)=sinx+21​sin2x+31​sin3x の導関数 f′(x) を求める

(ii)cos(α+β)+cos(α−β) を cosα,cosβ で、cos(α+β)−cos(α−β) を sinα,sinβ で表す

(iii)0<x<π で f′(x)=0 の解を求める

(iv)y=f(x)（0<x<π）の極値を求める

(v)曲線 y=f(x)（0≦x≦π）と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

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(i) $f (x) = sin x + \frac{1}{2} sin 2 x + \frac{1}{3} sin 3 x$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求める

(ii) $cos (α + β) + cos (α - β)$ を $cos α, cos β$ で、 $cos (α + β) - cos (α - β)$ を $sin α, sin β$ で表す

(iii) $0 < x < π$ で $f^{'} (x) = 0$ の解を求める

(iv) $y = f (x)$ （ $0 < x < π$ ）の極値を求める

(v)曲線 $y = f (x)$ （ $0 ≦ x ≦ π$ ）と $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める