第4問微分積分の解答・解説

分数関数の極値・帯分数の形に直す・面積・共有点の個数の場合分け当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $f (x) = \frac{2 x ^{3} + x ^{2} - 4 x - 3}{x ^{2} - 3}$ の極値を求める

答極大値 $1 - \frac{8 6}{3}$ （ $x = - 6$ ）と $2$ （ $x = 1$ ）、極小値 $0$ （ $x = - 1$ ）と $1 + \frac{8 6}{3}$ （ $x = 6$ ）

分子を分母で割って $f (x) = 2 x + 1 + \frac{2 x}{x ^{2} - 3}$ にすると微分が楽。

分子を分母で割ると $2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 3 = (x^{2} - 3) (2 x + 1) + 2 x$ なので

f (x) = 2 x + 1 + \frac{2 x}{x ^{2} - 3} (x \neq = \pm 3)

である。微分すると

{\frac{2 x}{x ^{2} - 3}}^{'} = \frac{2 ( x ^{2} - 3 ) - 2 x \cdot 2 x}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}} = \frac{- 2 ( x ^{2} + 3 )}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}

なので

f^{'} (x) = 2 - \frac{2 ( x ^{2} + 3 )}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}} = \frac{2 { ( x ^{2} - 3 ) ^{2} - ( x ^{2} + 3 ) }}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}

である。 $u = x^{2}$ とおくと分子の中身は

(u - 3)^{2} - (u + 3) = u^{2} - 7 u + 6 = (u - 1) (u - 6)

なので

f^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - 6 )}{( x ^{2} - 3 ) ^{2}}

である。 $f^{'} = 0$ となるのは $x = \pm 1, \pm 6$ で、符号は $x^{2} < 1$ で正、 $1 < x^{2} < 6$ で負、 $x^{2} > 6$ で正である。漸近線 $x = \pm 3$ （ $3$ は $1$ と $6$ の間）で切れることに注意して増減を追うと

$x = - 6$ … 正から負へ変わるので極大
$x = - 1$ … 負から正へ変わるので極小
$x = 1$ … 正から負へ変わるので極大
$x = 6$ … 負から正へ変わるので極小

である。値は $f (x) = 2 x + 1 + \frac{2 x}{x ^{2} - 3}$ から

f (\pm 6) = \pm 26 + 1 \pm \frac{2 6}{3} = 1 \pm \frac{8 6}{3}

f (- 1) = - 2 + 1 + \frac{- 2}{- 2} = 0, f (1) = 2 + 1 + \frac{2}{- 2} = 2

である。まとめると

極大値 1 - \frac{8 6}{3} (x = - 6), 2 (x = 1)

極小値 0 (x = - 1), 1 + \frac{8 6}{3} (x = 6)

である。

$x = - 6$ での極大値 $- 5.53 \dots$ は $x = - 1$ での極小値 $0$ より小さい。 $x = \pm 3$ で曲線が切れているので、これで矛盾しない。

y = f(x) のグラフ。x = ±√3 が漸近線で、曲線は3つの枝に分かれる。極大は x = −√6 と x = 1、極小は x = −1 と x = √6。縦方向は縮めて描いてある。塗った部分は x 軸との間の面積で、x = −1 から x = 3/2 まで。

数値で $f (- 6) = - 5.5319726$ 、 $f (6) = 7.5319726$ となり、 $1 \mp \frac{8 6}{3}$ と一致した。

$x = \pm 3$ は定義域から外れる。増減表はそこで切る。

(2)曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{15}{4} + lo g \frac{3}{8}$

分子を因数分解すると $(x + 1)^{2} (2 x - 3)$ 。 $x$ 軸との交点は $- 1$ と $\frac{3}{2}$ で、その間に漸近線はない。

分子は

2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 3 = (x + 1) (2 x^{2} - x - 3) = (x + 1)^{2} (2 x - 3)

と因数分解できるので、 $f (x) = 0$ となるのは $x = - 1$ と $x = \frac{3}{2}$ である。 $- 3 < - 1$ 、 $\frac{3}{2} < 3$ なので、区間 $[- 1, \frac{3}{2}]$ に漸近線は入らない。

この区間では $(x + 1)^{2} ≧ 0$ 、 $2 x - 3 < 0$ 、 $x^{2} - 3 < 0$ なので $f (x) ≧ 0$ である。よって

S = \int_{- 1}^{\frac{3}{2}} (2 x + 1 + \frac{2 x}{x ^{2} - 3}) d x = [x^{2} + x + lo g x^{2} - 3]_{- 1}^{\frac{3}{2}}

である。 $x = \frac{3}{2}$ では $\frac{9}{4} + \frac{3}{2} + lo g \frac{3}{4} = \frac{15}{4} + lo g \frac{3}{4}$ 、 $x = - 1$ では $1 - 1 + lo g 2 = lo g 2$ なので

S = \frac{15}{4} + lo g \frac{3}{4} - lo g 2 = \frac{15}{4} + lo g \frac{3}{8}

である（ $2.769 \dots$ ）。

数値積分すると $2.7691707$ で、 $\frac{15}{4} + lo g \frac{3}{8} = 2.7691707$ と一致した。

$\frac{3}{2} < 3 = 1.732 \dots$ なので、積分区間に漸近線は入らない。ここを確かめずに積分しない。

(3) $m$ を定数とするとき、曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = m x + 1$ の共有点の個数を求める

答 $m < \frac{4}{3}$ または $m > 2$ のとき3個、 $\frac{4}{3} ≦ m ≦ 2$ のとき1個

分母を払うと3次式が $x$ でくくれて、 $x = 0$ と2次方程式に分かれる。

$x \neq = \pm 3$ のもとで $f (x) = m x + 1$ は

2 x^{3} + x^{2} - 4 x - 3 = (m x + 1) (x^{2} - 3) = m x^{3} + x^{2} - 3 m x - 3

と同値である。整理すると

(2 - m) x^{3} + (3 m - 4) x = 0, x {(2 - m) x^{2} + 3 m - 4} = 0

である。 $x = 0$ はつねに解で、 $f (0) = 1$ 、直線も $y = 1$ を通るので、点 $(0, 1)$ はつねに共有点である。残りは

(2 - m) x^{2} = 4 - 3 m

の実数解である。

$m = 2$ … $0 = - 2$ となり解なし。共有点は $x = 0$ の1個。
$m \neq = 2$ … $x^{2} = \frac{4 - 3 m}{2 - m}$ 。右辺を $r$ とおく。

$r < 0$ なら実数解なし、 $r = 0$ なら $x = 0$ に重なる、 $r > 0$ なら $x = \pm r$ の2個が加わる。なお $r = 3$ とすると $4 - 3 m = 6 - 3 m$ となり成り立たないので、 $\pm r$ が $\pm 3$ に一致することはない（定義域から外れる心配はない）。