第3問 空間ベクトルの解答・解説

$\left|\vec{a}\right|=5$、$\left|\vec{b}\right|=7$、$\left|\vec{c}\right|=8$ である。

である。

$\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ 上なので $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおける。$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\vec{c}$ が $\vec{a},\vec{b}$ と垂直だから

すなわち

である。第1式から $t=4-5s$ で、これを第2式に入れると $5s+196-245s=44$、$-240s=-152$ より $s=\frac{19}{30}$、$t=4-\frac{19}{6}=\frac{5}{6}$ である。よって

である（$\vec{c}$ の係数は $0$ になる）。

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=k\vec{a}$ とおくと、$\left(\vec{b}-k\vec{a}\right)\cdot \vec{a}=0$ より

である。$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\frac{1}{5}\vec{a}$ で $k>0$ だから

である。

直線 $\mathrm{AB}$ は点 $\mathrm{A}$ で直線 $\mathrm{OA}$ と $\angle \mathrm{OAB}$ をなす。同じ角をなす $\mathrm{A}$ 通りの直線は、$\mathrm{AB}$ とそれを直線 $\mathrm{OA}$ について折り返したものの2本だけである。$\ell \ne \mathrm{AB}$ なので、$\ell$ は直線 $\mathrm{AB}$ の直線 $\mathrm{OA}$ に関する鏡映である。

平面 $\mathrm{OAB}$ に座標を入れる。$\mathrm{O}=\left(0,0\right)$、$\vec{a}$ を $x$ 軸方向にとって $\mathrm{A}=\left(5,0\right)$ とする。$\vec{a}\cdot \vec{b}=5$ より $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $\frac{5}{5}=1$ で、$\left|\vec{b}\right|=7$ から

である。(2) より

である。$\ell$ は $\mathrm{B}$ を $x$ 軸について折り返した ${\mathrm{B}}^{\prime }=\left(1,-4\sqrt{3}\right)$ と $\mathrm{A}$ を通る直線で、方向ベクトルは ${\mathrm{B}}^{\prime }-\mathrm{A}=\left(-4,-4\sqrt{3}\right)$、つまり $\left(1,\sqrt{3}\right)$ である。よって

である。直線 $\mathrm{OH}$ 上の点は $u\left(4,\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)$ なので、交点では

である。第2式から $v=\frac{10}{3}u$ で、第1式に入れると

である。$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=u\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ なので

である（$u>1$ なので $\mathrm{D}$ は $\mathrm{H}$ より遠い側にある）。

$\cos \angle \mathrm{OAB}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\mathrm{AO}\cdot \mathrm{AB}}=\frac{20}{5\cdot 8}=\frac{1}{2}$ なので $\angle \mathrm{OAB}=60^{\circ }$ である。$\ell$ の傾きが $\sqrt{3}$、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが $-\sqrt{3}$ で、どちらも $x$ 軸と $60^{\circ }$ をなす。