名工大 2023年度 数学の解答・解説

$\frac{dx}{d\theta }=1-2\cos \theta$ で、$0\leqq \theta \leqq 2\pi$ のとき

である。$\cos \theta >\frac{1}{2}$ のとき $\frac{dx}{d\theta }<0$ なので、$x$ は $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ で減少、$\left[\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi \right]$ で増加、$\left[\frac{5}{3}\pi ,2\pi \right]$ で減少する。候補の値は

1. $\theta =0$ … $x=0$
2. $\theta =\frac{\pi }{3}$ … $x=\frac{\pi }{3}-2\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}=-0.684\dots$
3. $\theta =\frac{5}{3}\pi$ … $x=\frac{5}{3}\pi -2\sin \frac{5}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}=6.968\dots$
4. $\theta =2\pi$ … $x=2\pi =6.283\dots$

である。最小は $\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$、最大は $\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}$ なので

である。

$y=2-2\cos \theta \geqq 0$ で、$y=0$ になるのは $\theta =0$（点 $\left(0,0\right)$）と $\theta =2\pi$（点 $\left(2\pi ,0\right)$）だけである。

また $\cos {\theta }_1=\cos {\theta }_2$（$0\leqq {\theta }_1<{\theta }_2\leqq 2\pi$）なら ${\theta }_2=2\pi -{\theta }_1$ で、このとき $x$ も等しいとすると

となる。左辺は (1) の増減から $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi \right]$ で増加し、${\theta }_1=\pi$ でちょうど $\pi$ になる。$\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ では $\pi$ 未満、$\left[\frac{5}{3}\pi ,2\pi \right]$ では $\pi$ より大きいままなので、解は ${\theta }_1=\pi$ だけである。これは ${\theta }_2=\pi$ と同じ点なので、$C$ は自分自身と交わらない。

したがって $C$ と線分（$x$ 軸上の $\left(0,0\right)$ から $\left(2\pi ,0\right)$ まで）を合わせたものは単純な閉曲線で、その囲む面積は

で求められる（$x$ 軸上の線分では $y=0$ なので寄与しない）。被積分関数を展開すると

で、${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$ だから

である。

図形 $D$ は $y\geqq 0$ にあり、$x$ 軸とは線分で接しているだけなので、回転体の体積は

である（$x$ を固定した断面が、円板なら半径 $y_{\text{上}}$、円環なら外半径 $y_{\text{上}}$・内半径 $y_{\text{下}}$ になるが、どちらの場合も ${\int }_{y_{\text{下}}}^{y_{\text{上}}}2\pi ydy=\pi \left(y_{\text{上}}^2-y_{\text{下}}^2\right)$ と一致する）。

グリーンの定理（または (2) と同じ「周に沿った積分」の考え方）から、${\iint }_{D}2ydA$ は閉曲線に沿った $\int y^{2}dx$ に等しい。$x$ 軸上の線分では $y=0$ なので

である。展開すると

で、${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$ だから

である（$276.3\dots$）。

${\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0$ は、${\cos }^3\theta =\frac{3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}$ からも、$\theta \mapsto 2\pi -\theta$ ではなく $\theta \mapsto \theta +\pi$ で符号が変わることからも分かる。

1. $n=1$ … $a_2=3\cdot 1-1=2$、$a_3=2+1=3$
2. $n=2$ … $a_4=3\cdot 3-2=7$、$a_5=7+1=8$

2本の式をつなぐと

である。したがって

で、$n$ を $n+1$ に変えると

である。$2a_{2n-1}=b_n+n-1$ を入れると

となり、$n$ が消えて1次の漸化式になる。$b_1=a_3-a_1=3-1=2$ である。$\alpha =3\alpha -1$ の解 $\alpha =\frac{1}{2}$ を使って

なので

である（$b_1=2$、$b_2=5=a_5-a_3=8-3$ で合う）。

$n\geqq 1$ のとき

である。整理すると

である（$n=0$ でも $\frac{3+0+1}{4}=1=a_1$、$n=1$ で $\frac{9+3}{4}=3=a_3$、$n=2$ で $\frac{27+5}{4}=8=a_5$ と合う）。

(3) に $n=99$ を入れると

である。$199<3^{100}$ なので

である。常用対数をとると、${\log }_{10}{3}^{100}=100\cdot 0.4771=47.71$ より

すなわち

である。整数部分が $47$ なので $10^{47}<a_{199}<10^{48}$、つまり $a_{199}$ は48桁である。

$\left|\vec{a}\right|=5$、$\left|\vec{b}\right|=7$、$\left|\vec{c}\right|=8$ である。

である。

$\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ 上なので $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおける。$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\vec{c}$ が $\vec{a},\vec{b}$ と垂直だから

すなわち

である。第1式から $t=4-5s$ で、これを第2式に入れると $5s+196-245s=44$、$-240s=-152$ より $s=\frac{19}{30}$、$t=4-\frac{19}{6}=\frac{5}{6}$ である。よって

である（$\vec{c}$ の係数は $0$ になる）。

$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=k\vec{a}$ とおくと、$\left(\vec{b}-k\vec{a}\right)\cdot \vec{a}=0$ より

である。$\overrightarrow{\mathrm{OK}}=\frac{1}{5}\vec{a}$ で $k>0$ だから

である。

直線 $\mathrm{AB}$ は点 $\mathrm{A}$ で直線 $\mathrm{OA}$ と $\angle \mathrm{OAB}$ をなす。同じ角をなす $\mathrm{A}$ 通りの直線は、$\mathrm{AB}$ とそれを直線 $\mathrm{OA}$ について折り返したものの2本だけである。$\ell \ne \mathrm{AB}$ なので、$\ell$ は直線 $\mathrm{AB}$ の直線 $\mathrm{OA}$ に関する鏡映である。

平面 $\mathrm{OAB}$ に座標を入れる。$\mathrm{O}=\left(0,0\right)$、$\vec{a}$ を $x$ 軸方向にとって $\mathrm{A}=\left(5,0\right)$ とする。$\vec{a}\cdot \vec{b}=5$ より $\mathrm{B}$ の $x$ 座標は $\frac{5}{5}=1$ で、$\left|\vec{b}\right|=7$ から

である。(2) より

である。$\ell$ は $\mathrm{B}$ を $x$ 軸について折り返した ${\mathrm{B}}^{\prime }=\left(1,-4\sqrt{3}\right)$ と $\mathrm{A}$ を通る直線で、方向ベクトルは ${\mathrm{B}}^{\prime }-\mathrm{A}=\left(-4,-4\sqrt{3}\right)$、つまり $\left(1,\sqrt{3}\right)$ である。よって

である。直線 $\mathrm{OH}$ 上の点は $u\left(4,\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)$ なので、交点では

である。第2式から $v=\frac{10}{3}u$ で、第1式に入れると

である。$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=u\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ なので

である（$u>1$ なので $\mathrm{D}$ は $\mathrm{H}$ より遠い側にある）。

$\cos \angle \mathrm{OAB}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\mathrm{AO}\cdot \mathrm{AB}}=\frac{20}{5\cdot 8}=\frac{1}{2}$ なので $\angle \mathrm{OAB}=60^{\circ }$ である。$\ell$ の傾きが $\sqrt{3}$、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きが $-\sqrt{3}$ で、どちらも $x$ 軸と $60^{\circ }$ をなす。

分子を分母で割ると $2x^3+x^2-4x-3=\left(x^2-3\right)\left(2x+1\right)+2x$ なので

である。微分すると

なので

である。$u=x^2$ とおくと分子の中身は

なので

である。$f^{\prime }=0$ となるのは $x=\pm 1,\pm \sqrt{6}$ で、符号は $x^2<1$ で正、$1<x^2<6$ で負、$x^2>6$ で正である。漸近線 $x=\pm \sqrt{3}$（$3$ は $1$ と $6$ の間）で切れることに注意して増減を追うと

1. $x=-\sqrt{6}$ … 正から負へ変わるので極大
2. $x=-1$ … 負から正へ変わるので極小
3. $x=1$ … 正から負へ変わるので極大
4. $x=\sqrt{6}$ … 負から正へ変わるので極小

である。値は $f\left(x\right)=2x+1+\frac{2x}{x^2-3}$ から

である。まとめると

である。

$x=-\sqrt{6}$ での極大値 $-5.53\dots$ は $x=-1$ での極小値 $0$ より小さい。$x=\pm \sqrt{3}$ で曲線が切れているので、これで矛盾しない。

分子は

と因数分解できるので、$f\left(x\right)=0$ となるのは $x=-1$ と $x=\frac{3}{2}$ である。$-\sqrt{3}<-1$、$\frac{3}{2}<\sqrt{3}$ なので、区間 $\left[-1,\frac{3}{2}\right]$ に漸近線は入らない。

この区間では ${\left(x+1\right)}^2\geqq 0$、$2x-3<0$、$x^2-3<0$ なので $f\left(x\right)\geqq 0$ である。よって

である。$x=\frac{3}{2}$ では $\frac{9}{4}+\frac{3}{2}+\log \frac{3}{4}=\frac{15}{4}+\log \frac{3}{4}$、$x=-1$ では $1-1+\log 2=\log 2$ なので

である（$2.769\dots$）。

$x\ne \pm \sqrt{3}$ のもとで $f\left(x\right)=mx+1$ は

と同値である。整理すると

である。$x=0$ はつねに解で、$f\left(0\right)=1$、直線も $y=1$ を通るので、点 $\left(0,1\right)$ はつねに共有点である。残りは

の実数解である。

1. $m=2$ … $0=-2$ となり解なし。共有点は $x=0$ の1個。
2. $m\ne 2$ … $x^2=\frac{4-3m}{2-m}$。右辺を $r$ とおく。

$r<0$ なら実数解なし、$r=0$ なら $x=0$ に重なる、$r>0$ なら $x=\pm \sqrt{r}$ の2個が加わる。なお $r=3$ とすると $4-3m=6-3m$ となり成り立たないので、$\pm \sqrt{r}$ が $\pm \sqrt{3}$ に一致することはない（定義域から外れる心配はない）。

$r=\frac{4-3m}{2-m}$ の符号は

1. $m<\frac{4}{3}$ … 分子も分母も正で $r>0$
2. $m=\frac{4}{3}$ … $r=0$
3. $\frac{4}{3}<m<2$ … 分子が負、分母が正で $r<0$
4. $m>2$ … 分子も分母も負で $r>0$

である。したがって

である。