第1問 媒介変数表示・積分法の解答・解説

$\frac{dx}{d\theta }=1-2\cos \theta$ で、$0\leqq \theta \leqq 2\pi$ のとき

である。$\cos \theta >\frac{1}{2}$ のとき $\frac{dx}{d\theta }<0$ なので、$x$ は $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ で減少、$\left[\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi \right]$ で増加、$\left[\frac{5}{3}\pi ,2\pi \right]$ で減少する。候補の値は

1. $\theta =0$ … $x=0$
2. $\theta =\frac{\pi }{3}$ … $x=\frac{\pi }{3}-2\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}=-0.684\dots$
3. $\theta =\frac{5}{3}\pi$ … $x=\frac{5}{3}\pi -2\sin \frac{5}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}=6.968\dots$
4. $\theta =2\pi$ … $x=2\pi =6.283\dots$

である。最小は $\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$、最大は $\frac{5}{3}\pi +\sqrt{3}$ なので

である。

$y=2-2\cos \theta \geqq 0$ で、$y=0$ になるのは $\theta =0$（点 $\left(0,0\right)$）と $\theta =2\pi$（点 $\left(2\pi ,0\right)$）だけである。

また $\cos {\theta }_1=\cos {\theta }_2$（$0\leqq {\theta }_1<{\theta }_2\leqq 2\pi$）なら ${\theta }_2=2\pi -{\theta }_1$ で、このとき $x$ も等しいとすると

となる。左辺は (1) の増減から $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5}{3}\pi \right]$ で増加し、${\theta }_1=\pi$ でちょうど $\pi$ になる。$\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ では $\pi$ 未満、$\left[\frac{5}{3}\pi ,2\pi \right]$ では $\pi$ より大きいままなので、解は ${\theta }_1=\pi$ だけである。これは ${\theta }_2=\pi$ と同じ点なので、$C$ は自分自身と交わらない。

したがって $C$ と線分（$x$ 軸上の $\left(0,0\right)$ から $\left(2\pi ,0\right)$ まで）を合わせたものは単純な閉曲線で、その囲む面積は

で求められる（$x$ 軸上の線分では $y=0$ なので寄与しない）。被積分関数を展開すると

で、${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta =0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$ だから

である。

図形 $D$ は $y\geqq 0$ にあり、$x$ 軸とは線分で接しているだけなので、回転体の体積は

である（$x$ を固定した断面が、円板なら半径 $y_{\text{上}}$、円環なら外半径 $y_{\text{上}}$・内半径 $y_{\text{下}}$ になるが、どちらの場合も ${\int }_{y_{\text{下}}}^{y_{\text{上}}}2\pi ydy=\pi \left(y_{\text{上}}^2-y_{\text{下}}^2\right)$ と一致する）。

グリーンの定理（または (2) と同じ「周に沿った積分」の考え方）から、${\iint }_{D}2ydA$ は閉曲線に沿った $\int y^{2}dx$ に等しい。$x$ 軸上の線分では $y=0$ なので

である。展開すると

で、${\int }_0^{2\pi }\cos \theta d\theta ={\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0$、${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta d\theta =\pi$ だから

である（$276.3\dots$）。

${\int }_0^{2\pi }{\cos }^3\theta d\theta =0$ は、${\cos }^3\theta =\frac{3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}$ からも、$\theta \mapsto 2\pi -\theta$ ではなく $\theta \mapsto \theta +\pi$ で符号が変わることからも分かる。