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名古屋工業大学　2023年度　前期日程　工学部

第2問数列・対数の解答・解説

偶数番と奇数番に分かれた漸化式・差をとって1次の漸化式・階差から一般項・桁数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{2 n} = 3 a_{2 n - 1} - n$ 、 $a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 1$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）で定まる数列について、 $a_{5}$ を求める

答 $a_{5} = 8$

順に計算するだけ。

$n = 1$ … $a_{2} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ 、 $a_{3} = 2 + 1 = 3$
$n = 2$ … $a_{4} = 3 \cdot 3 - 2 = 7$ 、 $a_{5} = 7 + 1 = 8$

a_{5} = 8

漸化式どおりに計算すると $1, 2, 3, 7, 8$ となった。

(2) $b_{n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1}$ とおくとき、 ${b_{n}}$ の一般項を求める

答 $b_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}$

$a_{2 n + 1}$ を $a_{2 n - 1}$ で表すと $a_{2 n + 1} = 3 a_{2 n - 1} - n + 1$ 。ここから $b$ の漸化式を作る。

2本の式をつなぐと

a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 1 = 3 a_{2 n - 1} - n + 1

である。したがって

b_{n} = a_{2 n + 1} - a_{2 n - 1} = 2 a_{2 n - 1} - n + 1

で、 $n$ を $n + 1$ に変えると

b_{n + 1} = 2 a_{2 n + 1} - n = 2 (a_{2 n - 1} + b_{n}) - n = 2 a_{2 n - 1} + 2 b_{n} - n

である。 $2 a_{2 n - 1} = b_{n} + n - 1$ を入れると

b_{n + 1} = (b_{n} + n - 1) + 2 b_{n} - n = 3 b_{n} - 1

となり、 $n$ が消えて1次の漸化式になる。 $b_{1} = a_{3} - a_{1} = 3 - 1 = 2$ である。 $α = 3 α - 1$ の解 $α = \frac{1}{2}$ を使って

b_{n} - \frac{1}{2} = 3 (b_{n - 1} - \frac{1}{2}), b_{n} - \frac{1}{2} = 3^{n - 1} (2 - \frac{1}{2}) = \frac{3 ^{n}}{2}

なので

b_{n} = \frac{3 ^{n} + 1}{2}

である（ $b_{1} = 2$ 、 $b_{2} = 5 = a_{5} - a_{3} = 8 - 3$ で合う）。

漸化式から作った $a$ の値と $\frac{3 ^{n} + 1}{2}$ が一致した。

$b_{n} = 2 a_{2 n - 1} - n + 1$ のままだと $a$ が残る。 $b_{n + 1}$ との差を取って $a$ を消すのが要。

(3) $a_{2 n + 1}$ を求める

答 $a_{2 n + 1} = \frac{3 ^{n + 1} + 2 n + 1}{4}$

$b$ は $a_{2 n + 1}$ の階差なので、 $a_{1}$ から順に足す。

$n ≧ 1$ のとき

a_{2 n + 1} = a_{1} + k = 1 \sum n b_{k} = 1 + k = 1 \sum n \frac{3 ^{k} + 1}{2} = 1 + \frac{1}{2} (\frac{3 ^{n + 1} - 3}{2} + n)

である。整理すると

a_{2 n + 1} = \frac{4 + 3 ^{n + 1} - 3 + 2 n}{4} = \frac{3 ^{n + 1} + 2 n + 1}{4}

である（ $n = 0$ でも $\frac{3 + 0 + 1}{4} = 1 = a_{1}$ 、 $n = 1$ で $\frac{9 + 3}{4} = 3 = a_{3}$ 、 $n = 2$ で $\frac{27 + 5}{4} = 8 = a_{5}$ と合う）。

漸化式から作った $a_{2 n + 1}$ と式が、 $n$ を大きく取っても一致した。

(4) $a_{199}$ の桁数を求める（ $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

答 $48$ 桁

$199 = 2 \cdot 99 + 1$ なので $a_{199} = \frac{3 ^{100} + 199}{4}$ 。 $199$ は $3^{100}$ に比べてごく小さい。

(3) に $n = 99$ を入れると

a_{199} = \frac{3 ^{100} + 199}{4}

である。 $199 < 3^{100}$ なので

\frac{3 ^{100}}{4} < a_{199} < \frac{2 \cdot 3 ^{100}}{4} = \frac{3 ^{100}}{2}

である。常用対数をとると、 $lo g_{10} 3^{100} = 100 \cdot 0.4771 = 47.71$ より

47.71 - 2 lo g_{10} 2 < lo g_{10} a_{199} < 47.71 - lo g_{10} 2

すなわち

47.71 - 0.6020 = 47.108 < lo g_{10} a_{199} < 47.71 - 0.3010 = 47.409

である。整数部分が $47$ なので $1 0^{47} < a_{199} < 1 0^{48}$ 、つまり $a_{199}$ は48桁である。

$a_{199}$ を直接計算すると48桁で、 $lo g_{10} a_{199} = 47.1100655$ だった。

$+ 199$ を無視してよいことを、不等式ではさんで示しておく。

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問題文について

(1)a1​=1、a2n​=3a2n−1​−n、a2n+1​=a2n​+1（n=1,2,3,…）で定まる数列について、a5​ を求める

(2)bn​=a2n+1​−a2n−1​ とおくとき、{bn​} の一般項を求める

(3)a2n+1​ を求める

(4)a199​ の桁数を求める（log10​2=0.3010、log10​3=0.4771）