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名古屋工業大学　2022年度　前期日程　工学部

第4問複素数平面・数列の解答・解説

等比数列・交代的な漸化式・1 の n 乗根・実数解の条件当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $z$ を複素数とし、 $a_{1} = z (z - 1)$ 、 $a_{n + 1} = (z - 1) a_{n}$ で定めるとき、 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = z (z - 1)^{n}$

公比 $z - 1$ の等比数列。

${a_{n}}$ は初項 $z (z - 1)$ 、公比 $z - 1$ の等比数列なので

a_{n} = z (z - 1) \cdot (z - 1)^{n - 1} = z (z - 1)^{n}

である。

$z = 0.3 + 0.7 i$ などで漸化式から作った値と一致した。

(2) $b_{1} = z (z - 1)$ 、 $b_{n + 1} = a_{n + 1} - b_{n}$ で定めるとき、 $b_{n}$ を求める

答 $b_{n} = (z - 1) {(z - 1)^{n} - (- 1)^{n}}$

$b_{n + 1} + b_{n} = z (z - 1)^{n + 1}$ 。 $(- 1)^{n}$ で割ると階差の形になる。

(1) より

b_{n + 1} + b_{n} = a_{n + 1} = z (z - 1)^{n + 1}

である。両辺を $(- 1)^{n + 1}$ で割って $c_{n} = \frac{b _{n}}{( - 1 ) ^{n}}$ とおくと

c_{n + 1} - c_{n} = \frac{z ( z - 1 ) ^{n + 1}}{( - 1 ) ^{n + 1}} = z (1 - z)^{n + 1} \cdot (- 1)^{2 n + 2} \cdot \frac{1}{1}

…と書くより、解を直接あてるほうが早い。 $b_{n} = (z - 1)^{n + 1}$ は $(z - 1)^{n + 2} + (z - 1)^{n + 1} = (z - 1)^{n + 1} z$ を満たすので、漸化式 $b_{n + 1} + b_{n} = z (z - 1)^{n + 1}$ の1つの解である。一般解はこれに $b_{n + 1} + b_{n} = 0$ の解（ $C (- 1)^{n}$ ）を足したもので

b_{n} = (z - 1)^{n + 1} + C (- 1)^{n}

である。 $b_{1} = z (z - 1)$ より

(z - 1)^{2} - C = z (z - 1), C = (z - 1) {(z - 1) - z} = - (z - 1)

である。したがって

b_{n} = (z - 1)^{n + 1} - (- 1)^{n} (z - 1) = (z - 1) {(z - 1)^{n} - (- 1)^{n}}

である（ $n = 1$ で $(z - 1) {(z - 1) + 1} = z (z - 1)$ 、 $n = 2$ で $(z - 1) {(z - 1)^{2} - 1} = z (z - 1) (z - 2)$ となり、 $b_{2} = a_{2} - b_{1}$ と合う）。

$z = 0.3 + 0.7 i, 2, - 1.5 + 0.2 i$ で $n = 1, \dots, 5$ まで漸化式の値と一致した。

(3) $b_{3} = 0$ が成り立つような $z$ をすべて求める

答 $z = 0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, \frac{3 - 3 i}{2}$

$b_{3} = (z - 1) {(z - 1)^{3} + 1}$ 。 $(z - 1)^{3} = - 1$ は $- 1$ の3乗根。

(2) で $n = 3$ とすると $(- 1)^{3} = - 1$ だから

b_{3} = (z - 1) {(z - 1)^{3} + 1}

である。 $b_{3} = 0$ は $z = 1$ または $(z - 1)^{3} = - 1$ である。 $w = z - 1$ とおくと $w^{3} = - 1$ 、つまり

w^{3} + 1 = (w + 1) (w^{2} - w + 1) = 0

なので $w = - 1$ または $w = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ である。 $z = w + 1$ に戻すと

z = 0, z = \frac{3 \pm 3 i}{2}

である。 $z = 1$ とあわせて、答えは

z = 0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, \frac{3 - 3 i}{2}

の4つである。

この4つを漸化式に入れると、 $∣ b_{3} ∣$ はどれも $1 0^{- 16}$ 以下だった。

(4) $b_{k} = 0$ を満たす $z$ が実数のみであるような自然数 $k$ をすべて求める

答 $k = 1, 2$

$b_{k} = 0$ は $z = 1$ または $(- (z - 1))^{k} = 1$ 。後者は「 $1$ の $k$ 乗根」。

(2) より

b_{k} = (z - 1) {(z - 1)^{k} - (- 1)^{k}}

である。 $(z - 1)^{k} = (- 1)^{k}$ は、両辺を $(- 1)^{k}$ で割って

{- (z - 1)}^{k} = 1

と同値である。 $ζ = - (z - 1)$ とおくと $ζ$ は $1$ の $k$ 乗根で、 $z = 1 - ζ$ である。よって $b_{k} = 0$ の解は

z = 1 と z = 1 - ζ (ζ^{k} = 1)

である。 $z = 1 - ζ$ が実数であることと $ζ$ が実数であることは同じなので、解がすべて実数になるのは「 $1$ の $k$ 乗根がすべて実数」のときである。

$k = 1$ … $ζ = 1$ だけ。解は $z = 0$ と $z = 1$ で実数のみ ✓
$k = 2$ … $ζ = \pm 1$ 。解は $z = 0, 2$ と $z = 1$ で実数のみ ✓
$k ≧ 3$ … $ζ = cos \frac{2 π}{k} + i sin \frac{2 π}{k}$ は虚部が $sin \frac{2 π}{k} \neq = 0$ で実数でない ✗

である。よって

k = 1, 2

である。

$k ≧ 3$ のとき $0 < \frac{2 π}{k} < π$ なので $sin \frac{2 π}{k} > 0$ である。つまり必ず虚数解が現れる。

$k = 1, \dots, 6$ で $b_{k} = 0$ の解を並べると、実数だけになるのは $k = 1, 2$ のときだけだった。

$z = 1$ はつねに解。これは実数なので判定には影響しない。

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問題文について

(1)z を複素数とし、a1​=z(z−1)、an+1​=(z−1)an​ で定めるとき、an​ を求める

(2)b1​=z(z−1)、bn+1​=an+1​−bn​ で定めるとき、bn​ を求める

(3)b3​=0 が成り立つような z をすべて求める

(4)bk​=0 を満たす z が実数のみであるような自然数 k をすべて求める