独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋工業大学　2022年度　前期日程　工学部

名工大 2022年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　媒介変数表示・微分積分

3倍角と半角・速度ベクトルの大きさ・置きかえて2次関数の最大・道のり当サイトの体感難易度：やや難

(1)動点 $P$ の時刻 $t$ における位置が $x = cos 2 t$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ で表されている。 $X = cos^{2} t$ とおくとき、 $sin^{2} 2 t$ と $sin^{2} 3 t$ を $X$ で表す

答 $sin^{2} 2 t = 4 X (1 - X)$ 、 $sin^{2} 3 t = (1 - X) (4 X - 1)^{2}$

$sin^{2} t = 1 - X$ 。 $sin 3 t$ は3倍角で $sin t$ の式にする。

$sin^{2} t = 1 - X$ である。2倍角から

sin^{2} 2 t = (2 sin t cos t)^{2} = 4 sin^{2} t cos^{2} t = 4 X (1 - X)

である。3倍角 $sin 3 t = 3 sin t - 4 sin^{3} t = sin t (3 - 4 sin^{2} t)$ で、 $3 - 4 sin^{2} t = 3 - 4 (1 - X) = 4 X - 1$ だから

sin^{2} 3 t = sin^{2} t (4 X - 1)^{2} = (1 - X) (4 X - 1)^{2}

である。

$t = 0.3, 0.9, 2.0$ で数値を比べると、どちらも小数12桁まで一致した。

(2) $t = 0$ から $t = π$ までの範囲で、 $P$ の速さ $∣ v ∣$ の最大値を求める

答 $\frac{5 15}{9}$

$∣ v ∣^{2}$ が (1) を使うと $X$ だけの3次式 $(1 - X) (4 X + 1)^{2}$ になる。

\frac{d x}{d t} = - 2 sin 2 t, \frac{d y}{d t} = - sin 3 t

なので、(1) より

∣ v ∣^{2} = 4 sin^{2} 2 t + sin^{2} 3 t = 16 X (1 - X) + (1 - X) (4 X - 1)^{2}

である。 $(1 - X)$ でくくると

∣ v ∣^{2} = (1 - X) {16 X + 16 X^{2} - 8 X + 1} = (1 - X) (4 X + 1)^{2}

である。 $t$ が $0$ から $π$ まで動くと $X = cos^{2} t$ は $0 ≦ X ≦ 1$ のすべての値をとる。 $h (X) = (1 - X) (4 X + 1)^{2}$ とおくと

h^{'} (X) = - (4 X + 1)^{2} + 8 (1 - X) (4 X + 1) = (4 X + 1) (7 - 12 X)

である。 $0 ≦ X ≦ 1$ では $4 X + 1 > 0$ なので、 $h$ は $X < \frac{7}{12}$ で増加、 $X > \frac{7}{12}$ で減少する。よって $X = \frac{7}{12}$ で最大になり

h (\frac{7}{12}) = \frac{5}{12} (\frac{7}{3} + 1)^{2} = \frac{5}{12} \cdot \frac{100}{9} = \frac{125}{27}

である。したがって

∣ v ∣_{m a x} = \frac{125}{27} = \frac{5 5}{3 3} = \frac{5 15}{9}

である（ $2.151 \dots$ ）。

時刻 t に対する速さ。t = 0 と t = π では 0、t = π/2 では 1 で、cos² t = 7/12 となる2つの時刻で最大 5√15/9 になる。

$0 ≦ t ≦ π$ を $20$ 万点走査すると最大 $2.1516574$ で、 $\frac{5 15}{9} = 2.1516574$ と一致した。

$X = cos^{2} t$ の動く範囲は $[0, 1]$ 全体。 $t$ の範囲が $[0, π]$ なのでちょうど全部をとる。

(3) $t = 0$ から $t = π$ までに $P$ が通過する道のり $L$ を求める

答 $L = \frac{14}{3}$

$∣ v ∣ = sin t (4 cos^{2} t + 1)$ と根号がはずれる。 $u = cos t$ で置換する。

(2) より $∣ v ∣^{2} = (1 - X) (4 X + 1)^{2}$ で、 $1 - X = sin^{2} t$ 、 $4 X + 1 = 4 cos^{2} t + 1 > 0$ である。 $0 ≦ t ≦ π$ では $sin t ≧ 0$ なので

∣ v ∣ = sin t (4 cos^{2} t + 1)

である。 $u = cos t$ とおくと $d u = - sin t d t$ で、 $t : 0 \to π$ のとき $u : 1 \to - 1$ だから

L = \int_{0}^{π} sin t (4 cos^{2} t + 1) d t = \int_{- 1}^{1} (4 u^{2} + 1) d u = [\frac{4}{3} u^{3} + u]_{- 1}^{1}

である。よって

L = 2 (\frac{4}{3} + 1) = \frac{14}{3}

である。

動点 P の軌跡。t = 0 では (1, 1/3)、t = π では (1, −1/3) にあり、途中で左へ出てから戻る。道のりは行き帰りの重なりも含めて数える。

$x = cos 2 t = 2 X - 1$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ なので、軌跡は $- 1 ≦ x ≦ 1$ の帯の中にある。道のりは「軌跡の長さ」ではなく「進んだ距離」なので、重なって戻る部分も数える。

数値積分すると $4.6666667$ で、 $\frac{14}{3} = 4.6666667$ と一致した。

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第2問　微分積分

条件から関数を決める・重解をもつ3次式・2曲線で囲む面積・部分分数分解当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x)$ は $x^{3}$ の係数が $1$ の3次関数、 $g (x)$ は $x^{2}$ の係数が $- 1$ の2次関数で、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ の共有点は2点のみ、その $x$ 座標を $a, b$ （ $a < b$ ）とする。 $g (a) = g (a + 2) = 0$ 、 $g (- 1) = 1$ のとき、 $a$ と $g (x)$ を求める

答 $a = - 2$ 、 $g (x) = - x (x + 2)$

$g$ の $x^{2}$ の係数が $- 1$ で、根が $a$ と $a + 2$ だから $g (x) = - (x - a) (x - a - 2)$ 。

g (x) = - (x - a) (x - a - 2)

である。 $g (- 1) = 1$ より

- (- 1 - a) (- 3 - a) = - (1 + a) (3 + a) = 1

すなわち $a^{2} + 4 a + 4 = 0$ 、 $(a + 2)^{2} = 0$ なので $a = - 2$ である。したがって

g (x) = - (x + 2) x = - x (x + 2)

である（ $g (- 2) = g (0) = 0$ 、 $g (- 1) = 1$ で合う）。

$g (x) = - x (x + 2)$ は3つの条件をすべて満たした。

(2) $f (x) - g (x)$ を $x$ と $b$ で表す

答 $f (x) - g (x) = (x + 2) (x - b)^{2}$

$f - g$ は $x^{3}$ の係数 $1$ の3次式で、根は $- 2$ と $b$ の2つだけ。どちらかが2重根になる。

$h (x) = f (x) - g (x)$ は $x^{3}$ の係数が $1$ の3次式である。 $h (x) = 0$ の解は共有点の $x$ 座標だけ、つまり $- 2$ と $b$ の2つなので、どちらかが2重解で

h (x) = (x + 2)^{2} (x - b) または h (x) = (x + 2) (x - b)^{2}

である。 $m = \frac{a + b}{2} = \frac{- 2 + b}{2}$ は $- 2$ と $b$ の中点なので $- 2 < m < b$ である。条件 $f (m) > g (m)$ は $h (m) > 0$ ということで

$h = (x + 2)^{2} (x - b)$ なら $h (m) = (正) \times (負) < 0$ で不適
$h = (x + 2) (x - b)^{2}$ なら $h (m) = (正) \times (正) > 0$ で適する

である。よって

f (x) - g (x) = (x + 2) (x - b)^{2}

である。

(3) で求めた $f$ で $f - g$ を計算すると $(x + 2) (x - 2)^{2}$ になった。

「共有点が2点のみ」から3次式が2重解をもつことが決まる。どちらが2重解かは $f (\frac{a + b}{2}) > g (\frac{a + b}{2})$ で決まる。

(3)2つの曲線で囲まれる図形の面積が $\frac{64}{3}$ であるとき、 $b$ と $f (x)$ を求める

答 $b = 2$ 、 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

$u = x + 2$ 、 $c = b + 2$ と置換すると積分が $\frac{c ^{4}}{12}$ になる。

$- 2 < x < b$ では $(x + 2) > 0$ 、 $(x - b)^{2} > 0$ なので $h > 0$ 、つまり曲線 $y = f$ が上である。面積は

S = \int_{- 2}^{b} (x + 2) (x - b)^{2} d x

である。 $u = x + 2$ 、 $c = b + 2$ （ $c > 0$ ）とおくと $x - b = u - c$ で

S = \int_{0}^{c} u (u - c)^{2} d u = [\frac{u ^{4}}{4} - \frac{2 c u ^{3}}{3} + \frac{c ^{2} u ^{2}}{2}]_{0}^{c} = c^{4} (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{c ^{4}}{12}

である。 $\frac{c ^{4}}{12} = \frac{64}{3}$ より $c^{4} = 256$ 、 $c > 0$ だから $c = 4$ 、すなわち

b = c - 2 = 2

である。したがって $f (x) = g (x) + (x + 2) (x - 2)^{2}$ で

(x + 2) (x - 2)^{2} = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8

だから

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 - x^{2} - 2 x = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8

である。

y = f(x) と y = g(x)。共有点は x = −2 と x = 2 の2点で、x = 2 では接している。2曲線が囲む部分（塗った部分）の面積が 64/3。

この $f, g$ で面積を数値積分すると $21.3333333$ で、 $\frac{64}{3} = 21.3333333$ と一致した。

(4) $\int_{2}^{3} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x$ を求める

答 $\frac{5}{3} lo g 2$

$f$ を因数分解すると $(x + 2)$ が約分できて、残りを部分分数に分ける。

$f (1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ なので $x - 1$ で割り切れて

f (x) = (x - 1) (x^{2} - 2 x - 8) = (x - 1) (x - 4) (x + 2)

である。 $g (x) = - x (x + 2)$ だから、 $x \neq = - 2$ のとき

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{- x}{( x - 1 ) ( x - 4 )}

である。部分分数に分けると、 $- x = A (x - 4) + B (x - 1)$ から $A = \frac{1}{3}$ 、 $B = - \frac{4}{3}$ で

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{1}{3 ( x - 1 )} - \frac{4}{3 ( x - 4 )}

である。 $2 ≦ x ≦ 3$ では $x - 1 > 0$ 、 $x - 4 < 0$ なので

\int_{2}^{3} \frac{g}{f} d x = [\frac{1}{3} lo g ∣ x - 1 ∣ - \frac{4}{3} lo g ∣ x - 4 ∣]_{2}^{3}

である。 $x = 3$ では $\frac{1}{3} lo g 2 - \frac{4}{3} lo g 1 = \frac{1}{3} lo g 2$ 、 $x = 2$ では $\frac{1}{3} lo g 1 - \frac{4}{3} lo g 2 = - \frac{4}{3} lo g 2$ なので

\int_{2}^{3} \frac{g}{f} d x = \frac{1}{3} lo g 2 + \frac{4}{3} lo g 2 = \frac{5}{3} lo g 2

である（ $1.155 \dots$ ）。

数値積分すると $1.1552453$ で、 $\frac{5}{3} lo g 2 = 1.1552453$ と一致した。

$f$ の因数 $(x + 2)$ が $g$ と約分できる。先に因数分解しておくと部分分数が2項で済む。

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第3問　空間ベクトル

平行四辺形と正三角形・内積・平面への垂線の足・3点が一直線上にある条件当サイトの体感難易度：難

(1)四角形 $OABC$ が平行四辺形、三角形 $OAD$ が正三角形で、 $OA = 3$ 、 $OC = 2$ 、 $∠ AOC = 12 0^{\circ}$ 、 $∠ COD = 9 0^{\circ}$ とする。 $OA = a$ 、 $OC = c$ 、 $OD = d$ として、内積 $a \cdot c$ と $a \cdot d$ を求める

答 $a \cdot c = - 3$ 、 $a \cdot d = \frac{9}{2}$

正三角形なので $d = 3$ かつ $∠ AOD = 6 0^{\circ}$ 。

a \cdot c = ∣ a ∣ ∣ c ∣ cos 12 0^{\circ} = 3 \cdot 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 3

である。三角形 $OAD$ は正三角形なので $d = OA = 3$ 、 $∠ AOD = 6 0^{\circ}$ で

a \cdot d = 3 \cdot 3 \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{9}{2}

である。なお $∠ COD = 9 0^{\circ}$ から $c \cdot d = 0$ も分かる（以下で使う）。

この内積で座標を作ると $d = d - a = 3$ となり、三角形 $OAD$ は正三角形だった。

(2) $∠ BAD$ の大きさを求める

答 $6 0^{\circ}$

平行四辺形なので $AB = c$ 。 $AD = d - a$ との内積を取る。

四角形 $OABC$ は平行四辺形なので $OB = a + c$ 、したがって $AB = c$ である。また $AD = d - a$ で、正三角形だから $AD = 3$ である。

AB \cdot AD = c \cdot (d - a) = c \cdot d - c \cdot a = 0 - (- 3) = 3

なので

cos ∠ BAD = \frac{3}{∣ c ∣ \cdot 3} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2}

であり、 $∠ BAD = 6 0^{\circ}$ である。

座標で計算すると $cos ∠ BAD = 0.5$ だった。

(3)点 $O$ から平面 $ABD$ に下ろした垂線を $OP$ とするとき、 $OP$ を $a, c, d$ で表す

答 $OP = \frac{2}{3} a + \frac{1}{2} c + \frac{1}{3} d$

$OP = α a + β c + γ d$ とおくと、平面 $ABD$ 上という条件は $α + γ = 1$ （ $c$ の係数は自由）。

$A, B, D$ の位置ベクトルは $a$ 、 $a + c$ 、 $d$ である。平面 $ABD$ 上の点は

a + s AB + t AD = a + s c + t (d - a) = (1 - t) a + s c + t d

と書ける。そこで $OP = α a + β c + γ d$ （ $α + γ = 1$ ）とおく。使う内積は

∣ a ∣^{2} = 9, ∣ c ∣^{2} = 4, d^{2} = 9, a \cdot c = - 3, a \cdot d = \frac{9}{2}, c \cdot d = 0

である。 $OP ⊥ AB = c$ より

- 3 α + 4 β = 0, β = \frac{3}{4} α

である。 $OP ⊥ AD = d - a$ より $OP \cdot d = OP \cdot a$ で

\frac{9}{2} α + 9 γ = 9 α - 3 β + \frac{9}{2} γ

である。 $β = \frac{3}{4} α$ を入れて整理すると $- \frac{9}{2} α + \frac{9}{2} γ + \frac{9}{4} α = 0$ 、つまり $γ = \frac{α}{2}$ である。 $α + γ = 1$ とあわせて

α = \frac{2}{3}, γ = \frac{1}{3}, β = \frac{1}{2}

なので

OP = \frac{2}{3} a + \frac{1}{2} c + \frac{1}{3} d

である。

この $OP$ は $AB$ とも $AD$ とも内積が $0$ になった。

平面 $ABD$ 上という条件は「 $a$ と $d$ の係数の和が $1$ 」。 $c$ の係数には制限がつかない。

(4)点 $Q$ は線分 $OP$ 上にあり、直線 $AQ$ と線分 $CD$ が点 $R$ で交わる。 $OQ$ と $OR$ を $a, c, d$ で表す

答 $OQ = \frac{4}{9} a + \frac{1}{3} c + \frac{2}{9} d$ 、 $OR = \frac{3}{5} c + \frac{2}{5} d$

$R$ を「線分 $CD$ 上」と「直線 $AQ$ 上」の2通りに表し、 $a, c, d$ の係数を比べる。

$a, c, d$ は1次独立である（内積から作ったグラム行列の行列式は $162 > 0$ ）。

$OQ = k OP$ （ $0 ≦ k ≦ 1$ ）、 $R$ は線分 $CD$ 上なので $OR = (1 - u) c + u d$ （ $0 ≦ u ≦ 1$ ）とおく。 $R$ は直線 $AQ$ 上でもあるから、実数 $v$ を使って

OR = (1 - v) a + v k OP = {(1 - v) + \frac{2}{3} v k} a + \frac{1}{2} v k c + \frac{1}{3} v k d

と書ける。係数を比べると

(1 - v) + \frac{2}{3} v k = 0, \frac{1}{2} v k = 1 - u, \frac{1}{3} v k = u

である。下の2本を足すと $\frac{1}{2} v k + \frac{1}{3} v k = 1$ 、つまり $\frac{5}{6} v k = 1$ なので

v k = \frac{6}{5}, u = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{5}

である。これを1本目に入れると $1 - v + \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = 0$ 、 $1 - v + \frac{4}{5} = 0$ より $v = \frac{9}{5}$ で

k = \frac{\frac{6}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{2}{3}

である（ $0 ≦ \frac{2}{3} ≦ 1$ なので $Q$ は線分 $OP$ 上にある）。したがって

OQ = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} a + \frac{1}{2} c + \frac{1}{3} d) = \frac{4}{9} a + \frac{1}{3} c + \frac{2}{9} d

OR = \frac{3}{5} c + \frac{2}{5} d

である。

座標で $A, Q, R$ が一直線に並び、 $Q$ が直線 $OP$ 上、 $R$ が直線 $CD$ 上にあることを外積で確かめた。

$R$ が線分 $CD$ 上なので、 $a$ の係数は $0$ 。ここから $v$ が決まる。

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第4問　複素数平面・数列

等比数列・交代的な漸化式・1 の n 乗根・実数解の条件当サイトの体感難易度：やや難

(1) $z$ を複素数とし、 $a_{1} = z (z - 1)$ 、 $a_{n + 1} = (z - 1) a_{n}$ で定めるとき、 $a_{n}$ を求める

答 $a_{n} = z (z - 1)^{n}$

公比 $z - 1$ の等比数列。

${a_{n}}$ は初項 $z (z - 1)$ 、公比 $z - 1$ の等比数列なので

a_{n} = z (z - 1) \cdot (z - 1)^{n - 1} = z (z - 1)^{n}

である。

$z = 0.3 + 0.7 i$ などで漸化式から作った値と一致した。

(2) $b_{1} = z (z - 1)$ 、 $b_{n + 1} = a_{n + 1} - b_{n}$ で定めるとき、 $b_{n}$ を求める

答 $b_{n} = (z - 1) {(z - 1)^{n} - (- 1)^{n}}$

$b_{n + 1} + b_{n} = z (z - 1)^{n + 1}$ 。 $(- 1)^{n}$ で割ると階差の形になる。

(1) より

b_{n + 1} + b_{n} = a_{n + 1} = z (z - 1)^{n + 1}

である。両辺を $(- 1)^{n + 1}$ で割って $c_{n} = \frac{b _{n}}{( - 1 ) ^{n}}$ とおくと

c_{n + 1} - c_{n} = \frac{z ( z - 1 ) ^{n + 1}}{( - 1 ) ^{n + 1}} = z (1 - z)^{n + 1} \cdot (- 1)^{2 n + 2} \cdot \frac{1}{1}

…と書くより、解を直接あてるほうが早い。 $b_{n} = (z - 1)^{n + 1}$ は $(z - 1)^{n + 2} + (z - 1)^{n + 1} = (z - 1)^{n + 1} z$ を満たすので、漸化式 $b_{n + 1} + b_{n} = z (z - 1)^{n + 1}$ の1つの解である。一般解はこれに $b_{n + 1} + b_{n} = 0$ の解（ $C (- 1)^{n}$ ）を足したもので

b_{n} = (z - 1)^{n + 1} + C (- 1)^{n}

である。 $b_{1} = z (z - 1)$ より

(z - 1)^{2} - C = z (z - 1), C = (z - 1) {(z - 1) - z} = - (z - 1)

である。したがって

b_{n} = (z - 1)^{n + 1} - (- 1)^{n} (z - 1) = (z - 1) {(z - 1)^{n} - (- 1)^{n}}

である（ $n = 1$ で $(z - 1) {(z - 1) + 1} = z (z - 1)$ 、 $n = 2$ で $(z - 1) {(z - 1)^{2} - 1} = z (z - 1) (z - 2)$ となり、 $b_{2} = a_{2} - b_{1}$ と合う）。

$z = 0.3 + 0.7 i, 2, - 1.5 + 0.2 i$ で $n = 1, \dots, 5$ まで漸化式の値と一致した。

(3) $b_{3} = 0$ が成り立つような $z$ をすべて求める

答 $z = 0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, \frac{3 - 3 i}{2}$

$b_{3} = (z - 1) {(z - 1)^{3} + 1}$ 。 $(z - 1)^{3} = - 1$ は $- 1$ の3乗根。

(2) で $n = 3$ とすると $(- 1)^{3} = - 1$ だから

b_{3} = (z - 1) {(z - 1)^{3} + 1}

である。 $b_{3} = 0$ は $z = 1$ または $(z - 1)^{3} = - 1$ である。 $w = z - 1$ とおくと $w^{3} = - 1$ 、つまり

w^{3} + 1 = (w + 1) (w^{2} - w + 1) = 0

なので $w = - 1$ または $w = \frac{1 \pm 3 i}{2}$ である。 $z = w + 1$ に戻すと

z = 0, z = \frac{3 \pm 3 i}{2}

である。 $z = 1$ とあわせて、答えは

z = 0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, \frac{3 - 3 i}{2}

の4つである。

この4つを漸化式に入れると、 $∣ b_{3} ∣$ はどれも $1 0^{- 16}$ 以下だった。

(4) $b_{k} = 0$ を満たす $z$ が実数のみであるような自然数 $k$ をすべて求める

答 $k = 1, 2$

$b_{k} = 0$ は $z = 1$ または $(- (z - 1))^{k} = 1$ 。後者は「 $1$ の $k$ 乗根」。

(2) より

b_{k} = (z - 1) {(z - 1)^{k} - (- 1)^{k}}

である。 $(z - 1)^{k} = (- 1)^{k}$ は、両辺を $(- 1)^{k}$ で割って

{- (z - 1)}^{k} = 1

と同値である。 $ζ = - (z - 1)$ とおくと $ζ$ は $1$ の $k$ 乗根で、 $z = 1 - ζ$ である。よって $b_{k} = 0$ の解は

z = 1 と z = 1 - ζ (ζ^{k} = 1)

である。 $z = 1 - ζ$ が実数であることと $ζ$ が実数であることは同じなので、解がすべて実数になるのは「 $1$ の $k$ 乗根がすべて実数」のときである。

$k = 1$ … $ζ = 1$ だけ。解は $z = 0$ と $z = 1$ で実数のみ ✓
$k = 2$ … $ζ = \pm 1$ 。解は $z = 0, 2$ と $z = 1$ で実数のみ ✓
$k ≧ 3$ … $ζ = cos \frac{2 π}{k} + i sin \frac{2 π}{k}$ は虚部が $sin \frac{2 π}{k} \neq = 0$ で実数でない ✗

である。よって

k = 1, 2

である。

$k ≧ 3$ のとき $0 < \frac{2 π}{k} < π$ なので $sin \frac{2 π}{k} > 0$ である。つまり必ず虚数解が現れる。

$k = 1, \dots, 6$ で $b_{k} = 0$ の解を並べると、実数だけになるのは $k = 1, 2$ のときだけだった。

$z = 1$ はつねに解。これは実数なので判定には影響しない。

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同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名工大数学 2027

名工大数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)動点 P の時刻 t における位置が x=cos2t、y=31​cos3t で表されている。X=cos2t とおくとき、sin22t と sin23t を X で表す

(2)t=0 から t=π までの範囲で、P の速さ ∣v∣ の最大値を求める

(3)t=0 から t=π までに P が通過する道のり L を求める

(1)f(x) は x3 の係数が 1 の3次関数、g(x) は x2 の係数が −1 の2次関数で、y=f(x) と y=g(x) の共有点は2点のみ、その x 座標を a,b（a<b）とする。g(a)=g(a+2)=0、g(−1)=1 のとき、a と g(x) を求める

(2)f(x)−g(x) を x と b で表す

(3)2つの曲線で囲まれる図形の面積が 364​ であるとき、b と f(x) を求める

(4)∫23​f(x)g(x)​dx を求める

(1)四角形 OABC が平行四辺形、三角形 OAD が正三角形で、OA=3、OC=2、∠AOC=120∘、∠COD=90∘ とする。OA=a、OC=c、OD=d として、内積 a⋅c と a⋅d を求める

(2)∠BAD の大きさを求める

(3)点 O から平面 ABD に下ろした垂線を OP とするとき、OP を a,c,d で表す

(4)点 Q は線分 OP 上にあり、直線 AQ と線分 CD が点 R で交わる。OQ​ と OR を a,c,d で表す

(1)z を複素数とし、a1​=z(z−1)、an+1​=(z−1)an​ で定めるとき、an​ を求める

(2)b1​=z(z−1)、bn+1​=an+1​−bn​ で定めるとき、bn​ を求める

(3)b3​=0 が成り立つような z をすべて求める

(4)bk​=0 を満たす z が実数のみであるような自然数 k をすべて求める

同じ形式の問題を、5回分

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(1)動点 $P$ の時刻 $t$ における位置が $x = cos 2 t$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ で表されている。 $X = cos^{2} t$ とおくとき、 $sin^{2} 2 t$ と $sin^{2} 3 t$ を $X$ で表す

(2) $t = 0$ から $t = π$ までの範囲で、 $P$ の速さ $∣ v ∣$ の最大値を求める

(3) $t = 0$ から $t = π$ までに $P$ が通過する道のり $L$ を求める

(2) $f (x) - g (x)$ を $x$ と $b$ で表す

(3)2つの曲線で囲まれる図形の面積が $\frac{64}{3}$ であるとき、 $b$ と $f (x)$ を求める

(4) $\int_{2}^{3} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x$ を求める

(1)四角形 $OABC$ が平行四辺形、三角形 $OAD$ が正三角形で、 $OA = 3$ 、 $OC = 2$ 、 $∠ AOC = 12 0^{\circ}$ 、 $∠ COD = 9 0^{\circ}$ とする。 $OA = a$ 、 $OC = c$ 、 $OD = d$ として、内積 $a \cdot c$ と $a \cdot d$ を求める

(2) $∠ BAD$ の大きさを求める

(3)点 $O$ から平面 $ABD$ に下ろした垂線を $OP$ とするとき、 $OP$ を $a, c, d$ で表す

(4)点 $Q$ は線分 $OP$ 上にあり、直線 $AQ$ と線分 $CD$ が点 $R$ で交わる。 $OQ$ と $OR$ を $a, c, d$ で表す

(1) $z$ を複素数とし、 $a_{1} = z (z - 1)$ 、 $a_{n + 1} = (z - 1) a_{n}$ で定めるとき、 $a_{n}$ を求める

(2) $b_{1} = z (z - 1)$ 、 $b_{n + 1} = a_{n + 1} - b_{n}$ で定めるとき、 $b_{n}$ を求める

(3) $b_{3} = 0$ が成り立つような $z$ をすべて求める

(4) $b_{k} = 0$ を満たす $z$ が実数のみであるような自然数 $k$ をすべて求める