第3問 空間ベクトルの解答・解説

である。三角形 $\mathrm{OAD}$ は正三角形なので $\left|\vec{d}\right|=\mathrm{OA}=3$、$\angle \mathrm{AOD}=60^{\circ }$ で

である。なお $\angle \mathrm{COD}=90^{\circ }$ から $\vec{c}\cdot \vec{d}=0$ も分かる（以下で使う）。

四角形 $\mathrm{OABC}$ は平行四辺形なので $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{a}+\vec{c}$、したがって $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{c}$ である。また $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}-\vec{a}$ で、正三角形だから $\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=3$ である。

なので

であり、$\angle \mathrm{BAD}=60^{\circ }$ である。

$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{D}$ の位置ベクトルは $\vec{a}$、$\vec{a}+\vec{c}$、$\vec{d}$ である。平面 $\mathrm{ABD}$ 上の点は

と書ける。そこで $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{c}+\gamma \vec{d}$（$\alpha +\gamma =1$）とおく。使う内積は

である。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{c}$ より

である。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\vec{d}-\vec{a}$ より $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{a}$ で

である。$\beta =\frac{3}{4}\alpha$ を入れて整理すると $-\frac{9}{2}\alpha +\frac{9}{2}\gamma +\frac{9}{4}\alpha =0$、つまり $\gamma =\frac{\alpha }{2}$ である。$\alpha +\gamma =1$ とあわせて

なので

である。

$\vec{a},\vec{c},\vec{d}$ は1次独立である（内積から作ったグラム行列の行列式は $162>0$）。

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OP}}$（$0\leqq k\leqq 1$）、$\mathrm{R}$ は線分 $\mathrm{CD}$ 上なので $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\left(1-u\right)\vec{c}+u\vec{d}$（$0\leqq u\leqq 1$）とおく。$\mathrm{R}$ は直線 $\mathrm{AQ}$ 上でもあるから、実数 $v$ を使って

と書ける。係数を比べると

である。下の2本を足すと $\frac{1}{2}vk+\frac{1}{3}vk=1$、つまり $\frac{5}{6}vk=1$ なので

である。これを1本目に入れると $1-v+\frac{2}{3}\cdot \frac{6}{5}=0$、$1-v+\frac{4}{5}=0$ より $v=\frac{9}{5}$ で

である（$0\leqq \frac{2}{3}\leqq 1$ なので $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{OP}$ 上にある）。したがって

である。