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名古屋工業大学　2022年度　前期日程　工学部

第1問媒介変数表示・微分積分の解答・解説

3倍角と半角・速度ベクトルの大きさ・置きかえて2次関数の最大・道のり当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)動点 $P$ の時刻 $t$ における位置が $x = cos 2 t$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ で表されている。 $X = cos^{2} t$ とおくとき、 $sin^{2} 2 t$ と $sin^{2} 3 t$ を $X$ で表す

答 $sin^{2} 2 t = 4 X (1 - X)$ 、 $sin^{2} 3 t = (1 - X) (4 X - 1)^{2}$

$sin^{2} t = 1 - X$ 。 $sin 3 t$ は3倍角で $sin t$ の式にする。

$sin^{2} t = 1 - X$ である。2倍角から

sin^{2} 2 t = (2 sin t cos t)^{2} = 4 sin^{2} t cos^{2} t = 4 X (1 - X)

である。3倍角 $sin 3 t = 3 sin t - 4 sin^{3} t = sin t (3 - 4 sin^{2} t)$ で、 $3 - 4 sin^{2} t = 3 - 4 (1 - X) = 4 X - 1$ だから

sin^{2} 3 t = sin^{2} t (4 X - 1)^{2} = (1 - X) (4 X - 1)^{2}

である。

$t = 0.3, 0.9, 2.0$ で数値を比べると、どちらも小数12桁まで一致した。

(2) $t = 0$ から $t = π$ までの範囲で、 $P$ の速さ $∣ v ∣$ の最大値を求める

答 $\frac{5 15}{9}$

$∣ v ∣^{2}$ が (1) を使うと $X$ だけの3次式 $(1 - X) (4 X + 1)^{2}$ になる。

\frac{d x}{d t} = - 2 sin 2 t, \frac{d y}{d t} = - sin 3 t

なので、(1) より

∣ v ∣^{2} = 4 sin^{2} 2 t + sin^{2} 3 t = 16 X (1 - X) + (1 - X) (4 X - 1)^{2}

である。 $(1 - X)$ でくくると

∣ v ∣^{2} = (1 - X) {16 X + 16 X^{2} - 8 X + 1} = (1 - X) (4 X + 1)^{2}

である。 $t$ が $0$ から $π$ まで動くと $X = cos^{2} t$ は $0 ≦ X ≦ 1$ のすべての値をとる。 $h (X) = (1 - X) (4 X + 1)^{2}$ とおくと

h^{'} (X) = - (4 X + 1)^{2} + 8 (1 - X) (4 X + 1) = (4 X + 1) (7 - 12 X)

である。 $0 ≦ X ≦ 1$ では $4 X + 1 > 0$ なので、 $h$ は $X < \frac{7}{12}$ で増加、 $X > \frac{7}{12}$ で減少する。よって $X = \frac{7}{12}$ で最大になり

h (\frac{7}{12}) = \frac{5}{12} (\frac{7}{3} + 1)^{2} = \frac{5}{12} \cdot \frac{100}{9} = \frac{125}{27}

である。したがって

∣ v ∣_{m a x} = \frac{125}{27} = \frac{5 5}{3 3} = \frac{5 15}{9}

である（ $2.151 \dots$ ）。

時刻 t に対する速さ。t = 0 と t = π では 0、t = π/2 では 1 で、cos² t = 7/12 となる2つの時刻で最大 5√15/9 になる。

$0 ≦ t ≦ π$ を $20$ 万点走査すると最大 $2.1516574$ で、 $\frac{5 15}{9} = 2.1516574$ と一致した。

$X = cos^{2} t$ の動く範囲は $[0, 1]$ 全体。 $t$ の範囲が $[0, π]$ なのでちょうど全部をとる。

(3) $t = 0$ から $t = π$ までに $P$ が通過する道のり $L$ を求める

答 $L = \frac{14}{3}$

$∣ v ∣ = sin t (4 cos^{2} t + 1)$ と根号がはずれる。 $u = cos t$ で置換する。

(2) より $∣ v ∣^{2} = (1 - X) (4 X + 1)^{2}$ で、 $1 - X = sin^{2} t$ 、 $4 X + 1 = 4 cos^{2} t + 1 > 0$ である。 $0 ≦ t ≦ π$ では $sin t ≧ 0$ なので

∣ v ∣ = sin t (4 cos^{2} t + 1)

である。 $u = cos t$ とおくと $d u = - sin t d t$ で、 $t : 0 \to π$ のとき $u : 1 \to - 1$ だから

L = \int_{0}^{π} sin t (4 cos^{2} t + 1) d t = \int_{- 1}^{1} (4 u^{2} + 1) d u = [\frac{4}{3} u^{3} + u]_{- 1}^{1}

である。よって

L = 2 (\frac{4}{3} + 1) = \frac{14}{3}

である。

動点 P の軌跡。t = 0 では (1, 1/3)、t = π では (1, −1/3) にあり、途中で左へ出てから戻る。道のりは行き帰りの重なりも含めて数える。

$x = cos 2 t = 2 X - 1$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ なので、軌跡は $- 1 ≦ x ≦ 1$ の帯の中にある。道のりは「軌跡の長さ」ではなく「進んだ距離」なので、重なって戻る部分も数える。

数値積分すると $4.6666667$ で、 $\frac{14}{3} = 4.6666667$ と一致した。

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問題文について

(1)動点 P の時刻 t における位置が x=cos2t、y=31​cos3t で表されている。X=cos2t とおくとき、sin22t と sin23t を X で表す

(2)t=0 から t=π までの範囲で、P の速さ ∣v∣ の最大値を求める

(3)t=0 から t=π までに P が通過する道のり L を求める

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(1)動点 $P$ の時刻 $t$ における位置が $x = cos 2 t$ 、 $y = \frac{1}{3} cos 3 t$ で表されている。 $X = cos^{2} t$ とおくとき、 $sin^{2} 2 t$ と $sin^{2} 3 t$ を $X$ で表す

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