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名古屋工業大学　2022年度　前期日程　工学部

第2問微分積分の解答・解説

条件から関数を決める・重解をもつ3次式・2曲線で囲む面積・部分分数分解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $f (x)$ は $x^{3}$ の係数が $1$ の3次関数、 $g (x)$ は $x^{2}$ の係数が $- 1$ の2次関数で、 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ の共有点は2点のみ、その $x$ 座標を $a, b$ （ $a < b$ ）とする。 $g (a) = g (a + 2) = 0$ 、 $g (- 1) = 1$ のとき、 $a$ と $g (x)$ を求める

答 $a = - 2$ 、 $g (x) = - x (x + 2)$

$g$ の $x^{2}$ の係数が $- 1$ で、根が $a$ と $a + 2$ だから $g (x) = - (x - a) (x - a - 2)$ 。

g (x) = - (x - a) (x - a - 2)

である。 $g (- 1) = 1$ より

- (- 1 - a) (- 3 - a) = - (1 + a) (3 + a) = 1

すなわち $a^{2} + 4 a + 4 = 0$ 、 $(a + 2)^{2} = 0$ なので $a = - 2$ である。したがって

g (x) = - (x + 2) x = - x (x + 2)

である（ $g (- 2) = g (0) = 0$ 、 $g (- 1) = 1$ で合う）。

$g (x) = - x (x + 2)$ は3つの条件をすべて満たした。

(2) $f (x) - g (x)$ を $x$ と $b$ で表す

答 $f (x) - g (x) = (x + 2) (x - b)^{2}$

$f - g$ は $x^{3}$ の係数 $1$ の3次式で、根は $- 2$ と $b$ の2つだけ。どちらかが2重根になる。

$h (x) = f (x) - g (x)$ は $x^{3}$ の係数が $1$ の3次式である。 $h (x) = 0$ の解は共有点の $x$ 座標だけ、つまり $- 2$ と $b$ の2つなので、どちらかが2重解で

h (x) = (x + 2)^{2} (x - b) または h (x) = (x + 2) (x - b)^{2}

である。 $m = \frac{a + b}{2} = \frac{- 2 + b}{2}$ は $- 2$ と $b$ の中点なので $- 2 < m < b$ である。条件 $f (m) > g (m)$ は $h (m) > 0$ ということで

$h = (x + 2)^{2} (x - b)$ なら $h (m) = (正) \times (負) < 0$ で不適
$h = (x + 2) (x - b)^{2}$ なら $h (m) = (正) \times (正) > 0$ で適する

である。よって

f (x) - g (x) = (x + 2) (x - b)^{2}

である。

(3) で求めた $f$ で $f - g$ を計算すると $(x + 2) (x - 2)^{2}$ になった。

「共有点が2点のみ」から3次式が2重解をもつことが決まる。どちらが2重解かは $f (\frac{a + b}{2}) > g (\frac{a + b}{2})$ で決まる。

(3)2つの曲線で囲まれる図形の面積が $\frac{64}{3}$ であるとき、 $b$ と $f (x)$ を求める

答 $b = 2$ 、 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

$u = x + 2$ 、 $c = b + 2$ と置換すると積分が $\frac{c ^{4}}{12}$ になる。

$- 2 < x < b$ では $(x + 2) > 0$ 、 $(x - b)^{2} > 0$ なので $h > 0$ 、つまり曲線 $y = f$ が上である。面積は

S = \int_{- 2}^{b} (x + 2) (x - b)^{2} d x

である。 $u = x + 2$ 、 $c = b + 2$ （ $c > 0$ ）とおくと $x - b = u - c$ で

S = \int_{0}^{c} u (u - c)^{2} d u = [\frac{u ^{4}}{4} - \frac{2 c u ^{3}}{3} + \frac{c ^{2} u ^{2}}{2}]_{0}^{c} = c^{4} (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{c ^{4}}{12}

である。 $\frac{c ^{4}}{12} = \frac{64}{3}$ より $c^{4} = 256$ 、 $c > 0$ だから $c = 4$ 、すなわち

b = c - 2 = 2

である。したがって $f (x) = g (x) + (x + 2) (x - 2)^{2}$ で

(x + 2) (x - 2)^{2} = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8

だから

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 - x^{2} - 2 x = x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8

である。

y = f(x) と y = g(x)。共有点は x = −2 と x = 2 の2点で、x = 2 では接している。2曲線が囲む部分（塗った部分）の面積が 64/3。

この $f, g$ で面積を数値積分すると $21.3333333$ で、 $\frac{64}{3} = 21.3333333$ と一致した。

(4) $\int_{2}^{3} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x$ を求める

答 $\frac{5}{3} lo g 2$

$f$ を因数分解すると $(x + 2)$ が約分できて、残りを部分分数に分ける。

$f (1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ なので $x - 1$ で割り切れて

f (x) = (x - 1) (x^{2} - 2 x - 8) = (x - 1) (x - 4) (x + 2)

である。 $g (x) = - x (x + 2)$ だから、 $x \neq = - 2$ のとき

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{- x}{( x - 1 ) ( x - 4 )}

である。部分分数に分けると、 $- x = A (x - 4) + B (x - 1)$ から $A = \frac{1}{3}$ 、 $B = - \frac{4}{3}$ で

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{1}{3 ( x - 1 )} - \frac{4}{3 ( x - 4 )}

である。 $2 ≦ x ≦ 3$ では $x - 1 > 0$ 、 $x - 4 < 0$ なので

\int_{2}^{3} \frac{g}{f} d x = [\frac{1}{3} lo g ∣ x - 1 ∣ - \frac{4}{3} lo g ∣ x - 4 ∣]_{2}^{3}

である。 $x = 3$ では $\frac{1}{3} lo g 2 - \frac{4}{3} lo g 1 = \frac{1}{3} lo g 2$ 、 $x = 2$ では $\frac{1}{3} lo g 1 - \frac{4}{3} lo g 2 = - \frac{4}{3} lo g 2$ なので

\int_{2}^{3} \frac{g}{f} d x = \frac{1}{3} lo g 2 + \frac{4}{3} lo g 2 = \frac{5}{3} lo g 2

である（ $1.155 \dots$ ）。

数値積分すると $1.1552453$ で、 $\frac{5}{3} lo g 2 = 1.1552453$ と一致した。

$f$ の因数 $(x + 2)$ が $g$ と約分できる。先に因数分解しておくと部分分数が2項で済む。

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問題文について

(1)f(x) は x3 の係数が 1 の3次関数、g(x) は x2 の係数が −1 の2次関数で、y=f(x) と y=g(x) の共有点は2点のみ、その x 座標を a,b（a<b）とする。g(a)=g(a+2)=0、g(−1)=1 のとき、a と g(x) を求める

(2)f(x)−g(x) を x と b で表す

(3)2つの曲線で囲まれる図形の面積が 364​ であるとき、b と f(x) を求める

(4)∫23​f(x)g(x)​dx を求める

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