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名古屋工業大学　2019年度　前期日程　工学部

第4問複素数平面の解答・解説

3点が異なる条件・一直線上にある条件・正三角形になる条件・垂直条件と絶対値当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)複素数平面上の3点 $A (z)$ 、 $B (z^{3})$ 、 $C (z^{5})$ が異なる3点となるための $z$ の条件を求める

答 $z \neq = 0$ かつ $z^{4} \neq = 1$ （つまり $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ ）

3つの差を因数分解する。

z^{3} - z = z (z^{2} - 1), z^{5} - z^{3} = z^{3} (z^{2} - 1), z^{5} - z = z (z^{4} - 1)

がすべて $0$ でなければよい。はじめの2つは

z \neq = 0 かつ z^{2} \neq = 1

と同値で、3つめは

z \neq = 0 かつ z^{4} \neq = 1

と同値である。 $z^{4} = 1$ は $z^{2} = 1$ を含むので、まとめると

z \neq = 0 かつ z^{4} \neq = 1

すなわち $z \neq = 0, 1, - 1, i, - i$ である。

$z = \pm 1, \pm i, 0$ ではどれかの2点が重なり、それ以外では3点とも異なることを確かめた。

(2)異なる3点 $A, B, C$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求める

答 $z$ が実数または純虚数（ただし $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ ）

$\frac{z ^{5} - z}{z ^{3} - z}$ が実数であること。約分すると $z^{2} + 1$ になる。

3点が同一直線上にあるのは $\frac{C - A}{B - A}$ が実数のときである。(1) の因数分解を使って約分すると

\frac{z ^{5} - z}{z ^{3} - z} = \frac{z ( z ^{2} - 1 ) ( z ^{2} + 1 )}{z ( z ^{2} - 1 )} = z^{2} + 1

である。よって条件は $z^{2}$ が実数であることである。

$z = p + q i$ （ $p, q$ は実数）とおくと $z^{2} = p^{2} - q^{2} + 2 pq i$ なので、 $z^{2}$ が実数なのは $pq = 0$ 、つまり $p = 0$ または $q = 0$ のときである。これは

$z$ が実数、または $z$ が純虚数

ということである。(1) の条件とあわせて、 $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ を満たす実数または純虚数 $z$ が答えである。

$z^{4} - 1 = (z^{2} - 1) (z^{2} + 1)$ の約分が全体のかなめ。(3)(4) でも同じ $z^{2} + 1$ が出てくる。

$z = 0.7$ と $z = 0.7 i$ では3点が一直線上にあり、 $z = 0.5 + 0.5 i$ ではそうならなかった。

(3) $A, B, C$ が正三角形の頂点になるときの $z^{2}$ の値をすべて求め、さらに $A, B, C$ がこの順に反時計回りに並ぶような $z$ をすべて求める

答 $z^{2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}$ 。反時計回りになるのは $z = \pm \frac{1 + 3 i}{2}$

正三角形 $⟺ \frac{C - A}{B - A} = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3})$ 。

(2) より $\frac{C - A}{B - A} = z^{2} + 1$ である。 $A, B, C$ が正三角形の頂点になるのは、この値の絶対値が $1$ で偏角が $\pm \frac{π}{3}$ のとき、すなわち

z^{2} + 1 = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3}) = \frac{1 \pm 3 i}{2}

のときである。よって

z^{2} = \frac{1 \pm 3 i}{2} - 1 = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}

である（複号同順ではなく、2つの値がどちらも答え）。

次に並び方を見る。 $A, B, C$ がこの順に反時計回りなら、 $AB$ を $+ \frac{π}{3}$ 回すと $AC$ になるので

z^{2} + 1 = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}, z^{2} = \frac{- 1 + 3 i}{2}

である。これは $cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ なので、 $z$ は絶対値 $1$ 、偏角 $\frac{π}{3}$ または $\frac{π}{3} + π$ の数で

z = \pm (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = \pm \frac{1 + 3 i}{2}

である。

z = cos(π/3) + i sin(π/3) のときの A, B, C。どれも単位円上にあり、A(z) は偏角 π/3、B(z³) は偏角 π、C(z⁵) は偏角 5π/3。この順に反時計回りに並ぶ。

$z = \pm e^{\frac{π}{3} i}$ では3辺がどれも $1.732051$ で、 $A \to B \to C$ の外積が正になった。

$z^{2}$ を聞かれているので、まず $z^{2}$ の2値を答える。 $z$ を求めるのは「反時計回り」の条件がついてから。

(4)直線 $AC$ と直線 $BC$ が垂直であるとき、 $∣ z ∣ < 1$ が成り立つことを示す

答 $\frac{C - A}{C - B} = 1 + \frac{1}{z ^{2}}$ が純虚数 $k i$ となるので $z^{2} = \frac{1}{- 1 + k i}$ 、 $∣ z ∣^{2} = \frac{1}{1 + k ^{2}} < 1$

垂直 $⟺$ 比が純虚数。比を約分すると $1 + \frac{1}{z ^{2}}$ になる。

(1) の因数分解を使うと

\frac{C - A}{C - B} = \frac{z ( z ^{4} - 1 )}{z ^{3} ( z ^{2} - 1 )} = \frac{z ^{2} + 1}{z ^{2}} = 1 + \frac{1}{z ^{2}}

である。2直線が垂直であることは、この値が純虚数であることと同値である。よって実数 $k \neq = 0$ を用いて

1 + \frac{1}{z ^{2}} = k i, \frac{1}{z ^{2}} = - 1 + k i, z^{2} = \frac{1}{- 1 + k i}

と書ける。絶対値をとると

∣ z ∣^{2} = z^{2} = \frac{1}{∣ - 1 + k i ∣} = \frac{1}{1 + k ^{2}}

である。 $k \neq = 0$ より $1 + k^{2} > 1$ なので $∣ z ∣^{2} < 1$ 、すなわち $∣ z ∣ < 1$ である。（証明終わり）

$k = 0$ だと $1 + \frac{1}{z ^{2}} = 0$ 、つまり $z^{2} = - 1$ で $z = \pm i$ になり、(1) で除いた値である。だから $k \neq = 0$ としてよい。

この条件を満たす $z$ を $20$ 万通り作ると、 $∣ z ∣$ の最大は $0.99999998$ で $1$ を超えなかった。

「純虚数」は $0$ を含まない。 $k \neq = 0$ をはっきりさせないと $∣ z ∣ < 1$ の不等号が等号つきになってしまう。

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問題文について

(1)複素数平面上の3点 A(z)、B(z3)、C(z5) が異なる3点となるための z の条件を求める

(2)異なる3点 A,B,C が同一直線上にあるような z をすべて求める

(3)A,B,C が正三角形の頂点になるときの z2 の値をすべて求め、さらに A,B,C がこの順に反時計回りに並ぶような z をすべて求める

(4)直線 AC と直線 BC が垂直であるとき、∣z∣<1 が成り立つことを示す