独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

名古屋工業大学　2019年度　前期日程　工学部

名工大 2019年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分積分

分数関数の接線・通る点から接点を求める・面積と対数・軸をずらした回転体当サイトの体感難易度：標準

(1) $k > \frac{1}{2}$ 、 $f (x) = \frac{k}{1 + x}$ 、 $C : y = f (x)$ とする。点 $(- 1, 1)$ から $C$ に引いた接線の接点 $P$ の座標を求める

答 $P (2 k - 1, \frac{1}{2})$

接点を $(a, \frac{k}{1 + a})$ とおいて接線を作り、 $(- 1, 1)$ を代入する。

$f^{'} (x) = - \frac{k}{( 1 + x ) ^{2}}$ なので、接点を $(a, \frac{k}{1 + a})$ とすると接線は

y = \frac{k}{1 + a} - \frac{k}{( 1 + a ) ^{2}} (x - a)

である。 $x = - 1$ 、 $y = 1$ を代入すると

1 = \frac{k}{1 + a} - \frac{k ( - 1 - a )}{( 1 + a ) ^{2}} = \frac{k}{1 + a} + \frac{k}{1 + a} = \frac{2 k}{1 + a}

となる。よって $1 + a = 2 k$ 、 $a = 2 k - 1$ である。 $k > \frac{1}{2}$ より $a > 0$ で、

f (a) = \frac{k}{2 k} = \frac{1}{2}

である。したがって $P (2 k - 1, \frac{1}{2})$ である。

$P$ の $y$ 座標は $k$ によらず $\frac{1}{2}$ になる。(4) で回転軸が $y = \frac{1}{2}$ なのはこのためである。

$k = 0.6, 1, 2.5$ で、接線に $x = - 1$ を入れると値はどれも $1$ になった。

(2)点 $(0, k)$ と $P$ を通る直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $ℓ : y = - \frac{1}{2} x + k$

2点の傾きを計算するだけ。 $2 k - 1$ が約分される。

(傾き) = \frac{\frac{1}{2} - k}{( 2 k - 1 ) - 0} = \frac{- \frac{2 k - 1}{2}}{2 k - 1} = - \frac{1}{2}

である（ $k > \frac{1}{2}$ より $2 k - 1 \neq = 0$ ）。 $y$ 切片が $k$ なので

ℓ : y = - \frac{1}{2} x + k

である。

$(0, k)$ は $C$ 上の点（ $f (0) = k$ ）でもある。だから $ℓ$ は $C$ の割線で、(3) の $D$ は $C$ と $ℓ$ ではさまれた部分になる。

$(0, k)$ と $(2 k - 1, \frac{1}{2})$ はどちらもこの直線上にある。

(3) $C$ と $ℓ$ で囲まれる図形 $D$ の面積 $S$ を求める

答 $S = k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k$

交点は $x = 0$ と $x = 2 k - 1$ 。その間で $ℓ$ が上。

$\frac{k}{1 + x} = - \frac{x}{2} + k$ の両辺に $1 + x > 0$ を掛けて整理すると

k = (- \frac{x}{2} + k) (1 + x), 0 = x (k - \frac{1}{2} - \frac{x}{2})

なので、交点の $x$ 座標は $x = 0$ と $x = 2 k - 1$ である。 $0 < x < 2 k - 1$ では $k - \frac{1}{2} - \frac{x}{2} > 0$ なので $ℓ$ が $C$ より上にある。よって

S = \int_{0}^{2 k - 1} {(- \frac{x}{2} + k) - \frac{k}{1 + x}} d x = [- \frac{x ^{2}}{4} + k x - k lo g (1 + x)]_{0}^{2 k - 1}

である。 $1 + (2 k - 1) = 2 k$ なので

S = - \frac{( 2 k - 1 ) ^{2}}{4} + k (2 k - 1) - k lo g 2 k

で、前の2項をまとめると

- \frac{4 k ^{2} - 4 k + 1}{4} + 2 k^{2} - k = - k^{2} + k - \frac{1}{4} + 2 k^{2} - k = k^{2} - \frac{1}{4}

である。したがって

S = k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k

である。

C と ℓ、接線、回転軸のようす（図は k = 2.5 のとき）。塗った部分が D。点線のうち右下がりのゆるやかな直線が点 (−1, 1) からの接線で、水平な点線が (4) の回転軸 y = 1/2。

数値積分すると $k = 1$ で $0.056852819$ 、式 $k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k$ も $0.056852819$ だった。

(4) $D$ を直線 $y = \frac{1}{2}$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - k^{2} + \frac{1}{4} + k lo g 2 k}$

$D$ は全部 $y ≧ \frac{1}{2}$ にあるので、断面は円環。 $ℓ$ 側が外半径、 $C$ 側が内半径。

$0 ≦ x ≦ 2 k - 1$ では $C$ も $ℓ$ も $y ≧ \frac{1}{2}$ である（ $C$ は減少して $x = 2 k - 1$ でちょうど $\frac{1}{2}$ ）。よって断面は円環で

V = π \int_{0}^{2 k - 1} {(- \frac{x}{2} + k - \frac{1}{2})^{2} - (\frac{k}{1 + x} - \frac{1}{2})^{2}} d x

である。 $2 k - 1 = 2 c$ （ $c = k - \frac{1}{2} > 0$ ）とおくと

- \frac{x}{2} + k - \frac{1}{2} = \frac{2 c - x}{2}, \frac{k}{1 + x} - \frac{1}{2} = \frac{2 c - x}{2 ( 1 + x )}

なので、共通因数でくくれて

V = \frac{π}{4} \int_{0}^{2 c} (2 c - x)^{2} {1 - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}} d x

である。前半は

\int_{0}^{2 c} (2 c - x)^{2} d x = [- \frac{( 2 c - x ) ^{3}}{3}]_{0}^{2 c} = \frac{8 c ^{3}}{3}

である。後半は $w = 1 + x$ 、 $A = 2 c + 1 = 2 k$ とおくと $2 c - x = A - w$ で

\int_{1}^{A} \frac{( A - w ) ^{2}}{w ^{2}} d w = \int_{1}^{A} (\frac{A ^{2}}{w ^{2}} - \frac{2 A}{w} + 1) d w = [- \frac{A ^{2}}{w} - 2 A lo g w + w]_{1}^{A}

となり、値は $A^{2} - 1 - 2 A lo g A$ である。 $8 c^{3} = (2 k - 1)^{3}$ 、 $A = 2 k$ だから

V = \frac{π}{4} {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{3} - 4 k^{2} + 1 + 4 k lo g 2 k}

すなわち

V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - k^{2} + \frac{1}{4} + k lo g 2 k}

である。(3) の $S$ を使うと $V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - S}$ と書ける。

$(ℓ - \frac{1}{2})^{2} - (C - \frac{1}{2})^{2}$ を展開してから積分すると、 $\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}$ と $\frac{1}{1 + x}$ と多項式が混ざって重い。共通因数 $(2 c - x)^{2}$ でくくってから $w = 1 + x$ と置換すると軽くなる。

数値積分すると $k = 1$ で $0.083190988$ 、式も $0.083190988$ だった（ $k = 0.6, 2.5$ でも一致）。

$D$ が回転軸をまたいでいないことを先に確かめる。またいでいれば円環ではなく円板になる。

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第2問　微分積分

2階微分で不等式を示す・はさみうちの原理・ルートの置換積分・広義積分の極限当サイトの体感難易度：標準

(1) $x ≧ 0$ のとき $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを示す

答 $h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ は $x ≧ 0$ で増加し、 $h (0) = 1 > 0$

2回微分する。 $h^{''} = e^{x} - 1 ≧ 0$ から $h^{'}$ の符号が決まる。

$h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ とおく。

h^{'} (x) = e^{x} - x, h^{''} (x) = e^{x} - 1

である。 $x ≧ 0$ では $e^{x} ≧ 1$ なので $h^{''} (x) ≧ 0$ 、つまり $h^{'}$ は $x ≧ 0$ で増加する。したがって

h^{'} (x) ≧ h^{'} (0) = 1 > 0 (x ≧ 0)

である。よって $h$ も $x ≧ 0$ で増加し

h (x) ≧ h (0) = 1 > 0

となる。すなわち $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ である。（証明終わり）

$0 ≦ x ≦ 20$ を $0.001$ 刻みで調べると $h$ の最小は $1$ （ $x = 0$ ）だった。

(2)(1) の不等式を使って $x \to \infty lim x e^{- x} = 0$ を示す

答 $0 < x e^{- x} < \frac{2}{x}$ ではさみうち

$e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ の両辺の逆数をとる。

$x > 0$ とする。(1) より $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2} > 0$ なので、逆数をとると

0 < \frac{1}{e ^{x}} < \frac{2}{x ^{2}}

である。両辺に $x > 0$ を掛けて

0 < x e^{- x} < \frac{2}{x}

となる。 $x \to \infty$ で $\frac{2}{x} \to 0$ だから、はさみうちの原理より $x \to \infty lim x e^{- x} = 0$ である。（証明終わり）

$x = 50$ で $x e^{- x} = 9.6 \times 1 0^{- 21}$ 、 $\frac{2}{x} = 0.04$ で不等式も成り立っている。

(3) $\int e^{- x} d x$ を求める

答 $- 2 (x + 1) e^{- x} + C$

$t = x$ とおくと $d x = 2 t d t$ 。あとは部分積分。

$t = x$ （ $t ≧ 0$ ）とおくと $x = t^{2}$ 、 $d x = 2 t d t$ なので

\int e^{- x} d x = \int e^{- t} \cdot 2 t d t = 2 \int t e^{- t} d t

である。部分積分すると

\int t e^{- t} d t = - t e^{- t} + \int e^{- t} d t = - t e^{- t} - e^{- t} = - (t + 1) e^{- t}

なので

\int e^{- x} d x = - 2 (x + 1) e^{- x} + C

である。

$- 2 (x + 1) e^{- x}$ を数値微分すると $e^{- x}$ と一致した。

(4) $R \to \infty lim \int_{0}^{R} e^{- x} d x$ を求める

答 $2$

(3) の原始関数を代入し、(2) を使って極限をとる。

(3) より

\int_{0}^{R} e^{- x} d x = [- 2 (x + 1) e^{- x}]_{0}^{R} = 2 - 2 (R + 1) e^{- R}

である。 $u = R$ とおくと $R \to \infty$ のとき $u \to \infty$ で

2 (R + 1) e^{- R} = 2 u e^{- u} + 2 e^{- u}

である。(2) より $u e^{- u} \to 0$ 、また $e^{- u} \to 0$ なので、この式は $0$ に収束する。したがって

R \to \infty lim \int_{0}^{R} e^{- x} d x = 2

である。

(1)(2) は (4) の下ごしらえである。 $u e^{- u} \to 0$ を「指数のほうが強いから」で済ませず、(1) の不等式から導くのがこの問題の筋。

$\int_{0}^{400} e^{- x} d x$ の数値は $2.0000072$ で、 $2$ に合っている。

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第3問　図形と方程式・積分法

直線に関する対称点・線分と円の交わり・弓形の面積・曲線の長さ当サイトの体感難易度：やや難

(1)原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ と点 $A (2, 0)$ がある。 $C$ 上の $P (cos θ, sin θ)$ （ $0 ≦ θ ≦ π$ ）について、線分 $AP$ と $C$ の共有点が $P$ だけとなる $θ$ の範囲 $a ≦ θ ≦ b$ を求める

答 $a = 0$ 、 $b = \frac{π}{3}$

方べきの定理。 $A$ から円に引いた直線の2交点を $P, P^{'}$ とすると $AP \cdot AP^{'} = 3$ 。

$OA = 2 > 1$ なので $A$ は円の外にある。 $A$ の方べきは $OA^{2} - 1^{2} = 3$ である。直線 $AP$ と $C$ のもう1つの交点を $P^{'}$ とすると

AP \cdot AP^{'} = 3

である。線分 $AP$ が $P$ 以外で $C$ と交わらないのは、 $P$ のほうが $A$ に近い（または $P = P^{'}$ ）とき、つまり $AP ≦ AP^{'}$ のときである。 $AP \cdot AP^{'} = 3$ なので、これは

AP^{2} ≦ 3

と同じである。一方

AP^{2} = (2 - cos θ)^{2} + sin^{2} θ = 5 - 4 cos θ

なので、条件は $5 - 4 cos θ ≦ 3$ 、すなわち $cos θ ≧ \frac{1}{2}$ である。 $0 ≦ θ ≦ π$ では

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}

である。よって $a = 0$ 、 $b = \frac{π}{3}$ である。

$θ = \frac{π}{3}$ のときは $AP = 3$ で、これは $A$ からの接線の長さと等しい。つまり線分 $AP$ は円に接していて、共有点は $P$ だけである。境い目も範囲に入る。

線分が円の内部に入るかを調べると、 $θ = 1.0272$ では入らず $θ = 1.0672$ では入った（境い目は $\frac{π}{3} = 1.0472$ ）。

「直線」ではなく「線分」なので、 $P^{'}$ が $A$ と $P$ のあいだにあるかどうかが問題になる。

(2) $PQ = PA$ かつ半直線 $OP$ が $∠ APQ$ を二等分するような $Q (x (θ), y (θ))$ について、 $x (θ)$ と $y (θ)$ を $θ$ で表す

答 $x (θ) = 2 cos 2 θ$ 、 $y (θ) = 2 sin 2 θ$

条件は「 $Q$ は直線 $OP$ に関して $A$ と対称」と同じ。直線 $OP$ は原点を通り傾き角 $θ$ 。

$PA = PQ$ のとき、 $∠ APQ$ の二等分線は線分 $AQ$ の垂直二等分線でもある。したがって条件 (i)(ii) は

$Q$ は直線 $OP$ に関して $A$ と対称

と言いかえられる。直線 $OP$ は原点を通り、 $x$ 軸の正の向きと角 $θ$ をなす。原点からの距離は対称移動で変わらないので、 $Q$ は原点中心・半径 $OA = 2$ の円周上にあり、その偏角は $A$ の偏角 $0$ を $θ$ の向きに折り返した $2 θ$ である。よって

x (θ) = 2 cos 2 θ, y (θ) = 2 sin 2 θ

である。 $θ = 0$ でも $θ = π$ でも $Q = (2, 0) = A$ となり、問題の但し書きと合っている。

Q の作り方（図は θ = 0.7 のとき）。Q は直線 OP について A と対称な点。PQ = PA で、半直線 OP が ∠APQ を二等分する。

$θ = 0, 0.4, \frac{π}{3}, 1.5, 3$ のどれでも $PQ = PA$ で、二等分方向と $OP$ が平行になった。

$PQ = PA$ だけなら $Q$ は円周上を動く。二等分の条件まで使って1点に決まる。

(3) $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $Q$ の軌跡を $C_{1}$ とする。 $C_{1}$ の両端を結ぶ線分と $C_{1}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{4 π}{3} - 3$

$C_{1}$ は半径 $2$ の円の弧。中心角は $\frac{2 π}{3}$ で、弓形の面積は扇形から三角形を引く。

(1)(2) より、 $θ$ が $0$ から $\frac{π}{3}$ まで動くと $Q$ の偏角 $2 θ$ は $0$ から $\frac{2 π}{3}$ まで動く。つまり $C_{1}$ は原点中心・半径 $2$ の円の弧で、中心角は $\frac{2 π}{3}$ である。両端は

Q (0) = (2, 0), Q (\frac{π}{3}) = (- 1, 3)

である。求める図形は弓形なので

S = (扇形) - (三角形) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} sin \frac{2 π}{3}

である。計算すると

S = \frac{4 π}{3} - 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 π}{3} - 3

である（ $2.4567 \dots$ ）。

C1（半径 2 の弧）と C2（線分 PQ を 1 : 4 に内分する点の軌跡）。うすい円は半径 1 の円 C。塗った部分が (3) の弓形。

弓形の面積を数値で求めると $2.456739397$ で、 $\frac{4 π}{3} - 3 = 2.456739397$ と一致した。

(4)線分 $PQ$ を $1 : 4$ に内分する点を $R$ とする。 $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $R$ の軌跡 $C_{2}$ の長さ $L$ を求める

答 $L = \frac{8}{5}$

$R = \frac{4 P + Q}{5}$ 。速さを計算すると $cos \frac{θ}{2}$ の定数倍になる。

$PR : RQ = 1 : 4$ なので

R = \frac{4 P + Q}{5} = (\frac{4 cos θ + 2 cos 2 θ}{5}, \frac{4 sin θ + 2 sin 2 θ}{5})

である。 $θ$ で微分すると

\frac{d R}{d θ} = \frac{4}{5} (- sin θ - sin 2 θ, cos θ + cos 2 θ)

である。速さの2乗は

(\frac{4}{5})^{2} {(sin θ + sin 2 θ)^{2} + (cos θ + cos 2 θ)^{2}} = (\frac{4}{5})^{2} (2 + 2 cos θ)

である（ $sin θ sin 2 θ + cos θ cos 2 θ = cos θ$ を使った）。 $2 + 2 cos θ = 4 cos^{2} \frac{θ}{2}$ で、 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ では $cos \frac{θ}{2} > 0$ だから

\frac{d R}{d θ} = \frac{4}{5} \cdot 2 cos \frac{θ}{2} = \frac{8}{5} cos \frac{θ}{2}

である。したがって

L = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{8}{5} cos \frac{θ}{2} d θ = \frac{8}{5} [2 sin \frac{θ}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{16}{5} sin \frac{π}{6} = \frac{8}{5}

である。

$P$ は半径 $1$ を角 $θ$ で、 $Q$ は半径 $2$ を角 $2 θ$ で回る。 $R$ はその重みつき平均なので、エピサイクロイドの仲間になる。長さが $\frac{8}{5}$ ときれいに出るのはこの構造のおかげ。

$C_{2}$ の長さを細かく折れ線で近似すると $1.600000000$ で、 $\frac{8}{5} = 1.6$ と一致した。

$2 + 2 cos θ = 2 cos \frac{θ}{2}$ の絶対値を外すとき、 $θ$ の範囲を確かめる。

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第4問　複素数平面

3点が異なる条件・一直線上にある条件・正三角形になる条件・垂直条件と絶対値当サイトの体感難易度：やや難

(1)複素数平面上の3点 $A (z)$ 、 $B (z^{3})$ 、 $C (z^{5})$ が異なる3点となるための $z$ の条件を求める

答 $z \neq = 0$ かつ $z^{4} \neq = 1$ （つまり $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ ）

3つの差を因数分解する。

z^{3} - z = z (z^{2} - 1), z^{5} - z^{3} = z^{3} (z^{2} - 1), z^{5} - z = z (z^{4} - 1)

がすべて $0$ でなければよい。はじめの2つは

z \neq = 0 かつ z^{2} \neq = 1

と同値で、3つめは

z \neq = 0 かつ z^{4} \neq = 1

と同値である。 $z^{4} = 1$ は $z^{2} = 1$ を含むので、まとめると

z \neq = 0 かつ z^{4} \neq = 1

すなわち $z \neq = 0, 1, - 1, i, - i$ である。

$z = \pm 1, \pm i, 0$ ではどれかの2点が重なり、それ以外では3点とも異なることを確かめた。

(2)異なる3点 $A, B, C$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求める

答 $z$ が実数または純虚数（ただし $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ ）

$\frac{z ^{5} - z}{z ^{3} - z}$ が実数であること。約分すると $z^{2} + 1$ になる。

3点が同一直線上にあるのは $\frac{C - A}{B - A}$ が実数のときである。(1) の因数分解を使って約分すると

\frac{z ^{5} - z}{z ^{3} - z} = \frac{z ( z ^{2} - 1 ) ( z ^{2} + 1 )}{z ( z ^{2} - 1 )} = z^{2} + 1

である。よって条件は $z^{2}$ が実数であることである。

$z = p + q i$ （ $p, q$ は実数）とおくと $z^{2} = p^{2} - q^{2} + 2 pq i$ なので、 $z^{2}$ が実数なのは $pq = 0$ 、つまり $p = 0$ または $q = 0$ のときである。これは

$z$ が実数、または $z$ が純虚数

ということである。(1) の条件とあわせて、 $z \neq = 0, \pm 1, \pm i$ を満たす実数または純虚数 $z$ が答えである。

$z^{4} - 1 = (z^{2} - 1) (z^{2} + 1)$ の約分が全体のかなめ。(3)(4) でも同じ $z^{2} + 1$ が出てくる。

$z = 0.7$ と $z = 0.7 i$ では3点が一直線上にあり、 $z = 0.5 + 0.5 i$ ではそうならなかった。

(3) $A, B, C$ が正三角形の頂点になるときの $z^{2}$ の値をすべて求め、さらに $A, B, C$ がこの順に反時計回りに並ぶような $z$ をすべて求める

答 $z^{2} = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}$ 。反時計回りになるのは $z = \pm \frac{1 + 3 i}{2}$

正三角形 $⟺ \frac{C - A}{B - A} = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3})$ 。

(2) より $\frac{C - A}{B - A} = z^{2} + 1$ である。 $A, B, C$ が正三角形の頂点になるのは、この値の絶対値が $1$ で偏角が $\pm \frac{π}{3}$ のとき、すなわち

z^{2} + 1 = cos (\pm \frac{π}{3}) + i sin (\pm \frac{π}{3}) = \frac{1 \pm 3 i}{2}

のときである。よって

z^{2} = \frac{1 \pm 3 i}{2} - 1 = \frac{- 1 \pm 3 i}{2}

である（複号同順ではなく、2つの値がどちらも答え）。

次に並び方を見る。 $A, B, C$ がこの順に反時計回りなら、 $AB$ を $+ \frac{π}{3}$ 回すと $AC$ になるので

z^{2} + 1 = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}, z^{2} = \frac{- 1 + 3 i}{2}

である。これは $cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}$ なので、 $z$ は絶対値 $1$ 、偏角 $\frac{π}{3}$ または $\frac{π}{3} + π$ の数で

z = \pm (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = \pm \frac{1 + 3 i}{2}

である。

z = cos(π/3) + i sin(π/3) のときの A, B, C。どれも単位円上にあり、A(z) は偏角 π/3、B(z³) は偏角 π、C(z⁵) は偏角 5π/3。この順に反時計回りに並ぶ。

$z = \pm e^{\frac{π}{3} i}$ では3辺がどれも $1.732051$ で、 $A \to B \to C$ の外積が正になった。

$z^{2}$ を聞かれているので、まず $z^{2}$ の2値を答える。 $z$ を求めるのは「反時計回り」の条件がついてから。

(4)直線 $AC$ と直線 $BC$ が垂直であるとき、 $∣ z ∣ < 1$ が成り立つことを示す

答 $\frac{C - A}{C - B} = 1 + \frac{1}{z ^{2}}$ が純虚数 $k i$ となるので $z^{2} = \frac{1}{- 1 + k i}$ 、 $∣ z ∣^{2} = \frac{1}{1 + k ^{2}} < 1$

垂直 $⟺$ 比が純虚数。比を約分すると $1 + \frac{1}{z ^{2}}$ になる。

(1) の因数分解を使うと

\frac{C - A}{C - B} = \frac{z ( z ^{4} - 1 )}{z ^{3} ( z ^{2} - 1 )} = \frac{z ^{2} + 1}{z ^{2}} = 1 + \frac{1}{z ^{2}}

である。2直線が垂直であることは、この値が純虚数であることと同値である。よって実数 $k \neq = 0$ を用いて

1 + \frac{1}{z ^{2}} = k i, \frac{1}{z ^{2}} = - 1 + k i, z^{2} = \frac{1}{- 1 + k i}

と書ける。絶対値をとると

∣ z ∣^{2} = z^{2} = \frac{1}{∣ - 1 + k i ∣} = \frac{1}{1 + k ^{2}}

である。 $k \neq = 0$ より $1 + k^{2} > 1$ なので $∣ z ∣^{2} < 1$ 、すなわち $∣ z ∣ < 1$ である。（証明終わり）

$k = 0$ だと $1 + \frac{1}{z ^{2}} = 0$ 、つまり $z^{2} = - 1$ で $z = \pm i$ になり、(1) で除いた値である。だから $k \neq = 0$ としてよい。

この条件を満たす $z$ を $20$ 万通り作ると、 $∣ z ∣$ の最大は $0.99999998$ で $1$ を超えなかった。

「純虚数」は $0$ を含まない。 $k \neq = 0$ をはっきりさせないと $∣ z ∣ < 1$ の不等号が等号つきになってしまう。

第4問だけのページ

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問題文について

(1)k>21​、f(x)=1+xk​、C:y=f(x) とする。点 (−1,1) から C に引いた接線の接点 P の座標を求める

(2)点 (0,k) と P を通る直線 ℓ の方程式を求める

(3)C と ℓ で囲まれる図形 D の面積 S を求める

(4)D を直線 y=21​ のまわりに1回転してできる立体の体積 V を求める

(1)x≧0 のとき ex>2x2​ が成り立つことを示す

(2)(1) の不等式を使って x→∞lim​xe−x=0 を示す

(3)∫e−x​dx を求める

(4)R→∞lim​∫0R​e−x​dx を求める

(1)原点 O を中心とする半径 1 の円周 C と点 A(2,0) がある。C 上の P(cosθ,sinθ)（0≦θ≦π）について、線分 AP と C の共有点が P だけとなる θ の範囲 a≦θ≦b を求める

(2)PQ=PA かつ半直線 OP が ∠APQ を二等分するような Q(x(θ),y(θ)) について、x(θ) と y(θ) を θ で表す

(3)θ が a≦θ≦b で動くときの Q の軌跡を C1​ とする。C1​ の両端を結ぶ線分と C1​ で囲まれる図形の面積 S を求める

(4)線分 PQ を 1:4 に内分する点を R とする。θ が a≦θ≦b で動くときの R の軌跡 C2​ の長さ L を求める

(1)複素数平面上の3点 A(z)、B(z3)、C(z5) が異なる3点となるための z の条件を求める

(2)異なる3点 A,B,C が同一直線上にあるような z をすべて求める

(3)A,B,C が正三角形の頂点になるときの z2 の値をすべて求め、さらに A,B,C がこの順に反時計回りに並ぶような z をすべて求める

(4)直線 AC と直線 BC が垂直であるとき、∣z∣<1 が成り立つことを示す

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(1) $k > \frac{1}{2}$ 、 $f (x) = \frac{k}{1 + x}$ 、 $C : y = f (x)$ とする。点 $(- 1, 1)$ から $C$ に引いた接線の接点 $P$ の座標を求める

(2)点 $(0, k)$ と $P$ を通る直線 $ℓ$ の方程式を求める

(3) $C$ と $ℓ$ で囲まれる図形 $D$ の面積 $S$ を求める

(4) $D$ を直線 $y = \frac{1}{2}$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

(1) $x ≧ 0$ のとき $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを示す

(2)(1) の不等式を使って $x \to \infty lim x e^{- x} = 0$ を示す

(3) $\int e^{- x} d x$ を求める

(4) $R \to \infty lim \int_{0}^{R} e^{- x} d x$ を求める

(1)原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ と点 $A (2, 0)$ がある。 $C$ 上の $P (cos θ, sin θ)$ （ $0 ≦ θ ≦ π$ ）について、線分 $AP$ と $C$ の共有点が $P$ だけとなる $θ$ の範囲 $a ≦ θ ≦ b$ を求める

(2) $PQ = PA$ かつ半直線 $OP$ が $∠ APQ$ を二等分するような $Q (x (θ), y (θ))$ について、 $x (θ)$ と $y (θ)$ を $θ$ で表す

(3) $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $Q$ の軌跡を $C_{1}$ とする。 $C_{1}$ の両端を結ぶ線分と $C_{1}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

(4)線分 $PQ$ を $1 : 4$ に内分する点を $R$ とする。 $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $R$ の軌跡 $C_{2}$ の長さ $L$ を求める

(1)複素数平面上の3点 $A (z)$ 、 $B (z^{3})$ 、 $C (z^{5})$ が異なる3点となるための $z$ の条件を求める

(2)異なる3点 $A, B, C$ が同一直線上にあるような $z$ をすべて求める

(3) $A, B, C$ が正三角形の頂点になるときの $z^{2}$ の値をすべて求め、さらに $A, B, C$ がこの順に反時計回りに並ぶような $z$ をすべて求める

(4)直線 $AC$ と直線 $BC$ が垂直であるとき、 $∣ z ∣ < 1$ が成り立つことを示す