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名古屋工業大学　2019年度　前期日程　工学部

第3問図形と方程式・積分法の解答・解説

直線に関する対称点・線分と円の交わり・弓形の面積・曲線の長さ当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/14

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。工学部の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/14時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周 $C$ と点 $A (2, 0)$ がある。 $C$ 上の $P (cos θ, sin θ)$ （ $0 ≦ θ ≦ π$ ）について、線分 $AP$ と $C$ の共有点が $P$ だけとなる $θ$ の範囲 $a ≦ θ ≦ b$ を求める

答 $a = 0$ 、 $b = \frac{π}{3}$

方べきの定理。 $A$ から円に引いた直線の2交点を $P, P^{'}$ とすると $AP \cdot AP^{'} = 3$ 。

$OA = 2 > 1$ なので $A$ は円の外にある。 $A$ の方べきは $OA^{2} - 1^{2} = 3$ である。直線 $AP$ と $C$ のもう1つの交点を $P^{'}$ とすると

AP \cdot AP^{'} = 3

である。線分 $AP$ が $P$ 以外で $C$ と交わらないのは、 $P$ のほうが $A$ に近い（または $P = P^{'}$ ）とき、つまり $AP ≦ AP^{'}$ のときである。 $AP \cdot AP^{'} = 3$ なので、これは

AP^{2} ≦ 3

と同じである。一方

AP^{2} = (2 - cos θ)^{2} + sin^{2} θ = 5 - 4 cos θ

なので、条件は $5 - 4 cos θ ≦ 3$ 、すなわち $cos θ ≧ \frac{1}{2}$ である。 $0 ≦ θ ≦ π$ では

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}

である。よって $a = 0$ 、 $b = \frac{π}{3}$ である。

$θ = \frac{π}{3}$ のときは $AP = 3$ で、これは $A$ からの接線の長さと等しい。つまり線分 $AP$ は円に接していて、共有点は $P$ だけである。境い目も範囲に入る。

線分が円の内部に入るかを調べると、 $θ = 1.0272$ では入らず $θ = 1.0672$ では入った（境い目は $\frac{π}{3} = 1.0472$ ）。

「直線」ではなく「線分」なので、 $P^{'}$ が $A$ と $P$ のあいだにあるかどうかが問題になる。

(2) $PQ = PA$ かつ半直線 $OP$ が $∠ APQ$ を二等分するような $Q (x (θ), y (θ))$ について、 $x (θ)$ と $y (θ)$ を $θ$ で表す

答 $x (θ) = 2 cos 2 θ$ 、 $y (θ) = 2 sin 2 θ$

条件は「 $Q$ は直線 $OP$ に関して $A$ と対称」と同じ。直線 $OP$ は原点を通り傾き角 $θ$ 。

$PA = PQ$ のとき、 $∠ APQ$ の二等分線は線分 $AQ$ の垂直二等分線でもある。したがって条件 (i)(ii) は

$Q$ は直線 $OP$ に関して $A$ と対称

と言いかえられる。直線 $OP$ は原点を通り、 $x$ 軸の正の向きと角 $θ$ をなす。原点からの距離は対称移動で変わらないので、 $Q$ は原点中心・半径 $OA = 2$ の円周上にあり、その偏角は $A$ の偏角 $0$ を $θ$ の向きに折り返した $2 θ$ である。よって

x (θ) = 2 cos 2 θ, y (θ) = 2 sin 2 θ

である。 $θ = 0$ でも $θ = π$ でも $Q = (2, 0) = A$ となり、問題の但し書きと合っている。

Q の作り方（図は θ = 0.7 のとき）。Q は直線 OP について A と対称な点。PQ = PA で、半直線 OP が ∠APQ を二等分する。

$θ = 0, 0.4, \frac{π}{3}, 1.5, 3$ のどれでも $PQ = PA$ で、二等分方向と $OP$ が平行になった。

$PQ = PA$ だけなら $Q$ は円周上を動く。二等分の条件まで使って1点に決まる。

(3) $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $Q$ の軌跡を $C_{1}$ とする。 $C_{1}$ の両端を結ぶ線分と $C_{1}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める

答 $S = \frac{4 π}{3} - 3$

$C_{1}$ は半径 $2$ の円の弧。中心角は $\frac{2 π}{3}$ で、弓形の面積は扇形から三角形を引く。

(1)(2) より、 $θ$ が $0$ から $\frac{π}{3}$ まで動くと $Q$ の偏角 $2 θ$ は $0$ から $\frac{2 π}{3}$ まで動く。つまり $C_{1}$ は原点中心・半径 $2$ の円の弧で、中心角は $\frac{2 π}{3}$ である。両端は

Q (0) = (2, 0), Q (\frac{π}{3}) = (- 1, 3)

である。求める図形は弓形なので

S = (扇形) - (三角形) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} \cdot \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2} sin \frac{2 π}{3}

である。計算すると

S = \frac{4 π}{3} - 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{4 π}{3} - 3

である（ $2.4567 \dots$ ）。

C1（半径 2 の弧）と C2（線分 PQ を 1 : 4 に内分する点の軌跡）。うすい円は半径 1 の円 C。塗った部分が (3) の弓形。

弓形の面積を数値で求めると $2.456739397$ で、 $\frac{4 π}{3} - 3 = 2.456739397$ と一致した。

(4)線分 $PQ$ を $1 : 4$ に内分する点を $R$ とする。 $θ$ が $a ≦ θ ≦ b$ で動くときの $R$ の軌跡 $C_{2}$ の長さ $L$ を求める

答 $L = \frac{8}{5}$

$R = \frac{4 P + Q}{5}$ 。速さを計算すると $cos \frac{θ}{2}$ の定数倍になる。

$PR : RQ = 1 : 4$ なので

R = \frac{4 P + Q}{5} = (\frac{4 cos θ + 2 cos 2 θ}{5}, \frac{4 sin θ + 2 sin 2 θ}{5})

である。 $θ$ で微分すると

\frac{d R}{d θ} = \frac{4}{5} (- sin θ - sin 2 θ, cos θ + cos 2 θ)

である。速さの2乗は

(\frac{4}{5})^{2} {(sin θ + sin 2 θ)^{2} + (cos θ + cos 2 θ)^{2}} = (\frac{4}{5})^{2} (2 + 2 cos θ)

である（ $sin θ sin 2 θ + cos θ cos 2 θ = cos θ$ を使った）。 $2 + 2 cos θ = 4 cos^{2} \frac{θ}{2}$ で、 $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{3}$ では $cos \frac{θ}{2} > 0$ だから

\frac{d R}{d θ} = \frac{4}{5} \cdot 2 cos \frac{θ}{2} = \frac{8}{5} cos \frac{θ}{2}

である。したがって

L = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{8}{5} cos \frac{θ}{2} d θ = \frac{8}{5} [2 sin \frac{θ}{2}]_{0}^{\frac{π}{3}} = \frac{16}{5} sin \frac{π}{6} = \frac{8}{5}

である。

$P$ は半径 $1$ を角 $θ$ で、 $Q$ は半径 $2$ を角 $2 θ$ で回る。 $R$ はその重みつき平均なので、エピサイクロイドの仲間になる。長さが $\frac{8}{5}$ ときれいに出るのはこの構造のおかげ。

$C_{2}$ の長さを細かく折れ線で近似すると $1.600000000$ で、 $\frac{8}{5} = 1.6$ と一致した。

$2 + 2 cos θ = 2 cos \frac{θ}{2}$ の絶対値を外すとき、 $θ$ の範囲を確かめる。

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問題文について

(1)原点 O を中心とする半径 1 の円周 C と点 A(2,0) がある。C 上の P(cosθ,sinθ)（0≦θ≦π）について、線分 AP と C の共有点が P だけとなる θ の範囲 a≦θ≦b を求める

(2)PQ=PA かつ半直線 OP が ∠APQ を二等分するような Q(x(θ),y(θ)) について、x(θ) と y(θ) を θ で表す

(3)θ が a≦θ≦b で動くときの Q の軌跡を C1​ とする。C1​ の両端を結ぶ線分と C1​ で囲まれる図形の面積 S を求める

(4)線分 PQ を 1:4 に内分する点を R とする。θ が a≦θ≦b で動くときの R の軌跡 C2​ の長さ L を求める