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名古屋工業大学　2019年度　前期日程　工学部

第2問微分積分の解答・解説

2階微分で不等式を示す・はさみうちの原理・ルートの置換積分・広義積分の極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $x ≧ 0$ のとき $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立つことを示す

答 $h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ は $x ≧ 0$ で増加し、 $h (0) = 1 > 0$

2回微分する。 $h^{''} = e^{x} - 1 ≧ 0$ から $h^{'}$ の符号が決まる。

$h (x) = e^{x} - \frac{x ^{2}}{2}$ とおく。

h^{'} (x) = e^{x} - x, h^{''} (x) = e^{x} - 1

である。 $x ≧ 0$ では $e^{x} ≧ 1$ なので $h^{''} (x) ≧ 0$ 、つまり $h^{'}$ は $x ≧ 0$ で増加する。したがって

h^{'} (x) ≧ h^{'} (0) = 1 > 0 (x ≧ 0)

である。よって $h$ も $x ≧ 0$ で増加し

h (x) ≧ h (0) = 1 > 0

となる。すなわち $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ である。（証明終わり）

$0 ≦ x ≦ 20$ を $0.001$ 刻みで調べると $h$ の最小は $1$ （ $x = 0$ ）だった。

(2)(1) の不等式を使って $x \to \infty lim x e^{- x} = 0$ を示す

答 $0 < x e^{- x} < \frac{2}{x}$ ではさみうち

$e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ の両辺の逆数をとる。

$x > 0$ とする。(1) より $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2} > 0$ なので、逆数をとると

0 < \frac{1}{e ^{x}} < \frac{2}{x ^{2}}

である。両辺に $x > 0$ を掛けて

0 < x e^{- x} < \frac{2}{x}

となる。 $x \to \infty$ で $\frac{2}{x} \to 0$ だから、はさみうちの原理より $x \to \infty lim x e^{- x} = 0$ である。（証明終わり）

$x = 50$ で $x e^{- x} = 9.6 \times 1 0^{- 21}$ 、 $\frac{2}{x} = 0.04$ で不等式も成り立っている。

(3) $\int e^{- x} d x$ を求める

答 $- 2 (x + 1) e^{- x} + C$

$t = x$ とおくと $d x = 2 t d t$ 。あとは部分積分。

$t = x$ （ $t ≧ 0$ ）とおくと $x = t^{2}$ 、 $d x = 2 t d t$ なので

\int e^{- x} d x = \int e^{- t} \cdot 2 t d t = 2 \int t e^{- t} d t

である。部分積分すると

\int t e^{- t} d t = - t e^{- t} + \int e^{- t} d t = - t e^{- t} - e^{- t} = - (t + 1) e^{- t}

なので

\int e^{- x} d x = - 2 (x + 1) e^{- x} + C

である。

$- 2 (x + 1) e^{- x}$ を数値微分すると $e^{- x}$ と一致した。

(4) $R \to \infty lim \int_{0}^{R} e^{- x} d x$ を求める

答 $2$

(3) の原始関数を代入し、(2) を使って極限をとる。

(3) より

\int_{0}^{R} e^{- x} d x = [- 2 (x + 1) e^{- x}]_{0}^{R} = 2 - 2 (R + 1) e^{- R}

である。 $u = R$ とおくと $R \to \infty$ のとき $u \to \infty$ で

2 (R + 1) e^{- R} = 2 u e^{- u} + 2 e^{- u}

である。(2) より $u e^{- u} \to 0$ 、また $e^{- u} \to 0$ なので、この式は $0$ に収束する。したがって

R \to \infty lim \int_{0}^{R} e^{- x} d x = 2

である。

(1)(2) は (4) の下ごしらえである。 $u e^{- u} \to 0$ を「指数のほうが強いから」で済ませず、(1) の不等式から導くのがこの問題の筋。

$\int_{0}^{400} e^{- x} d x$ の数値は $2.0000072$ で、 $2$ に合っている。

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問題文について

(1)x≧0 のとき ex>2x2​ が成り立つことを示す

(2)(1) の不等式を使って x→∞lim​xe−x=0 を示す

(3)∫e−x​dx を求める

(4)R→∞lim​∫0R​e−x​dx を求める