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名古屋工業大学　2019年度　前期日程　工学部

第1問微分積分の解答・解説

分数関数の接線・通る点から接点を求める・面積と対数・軸をずらした回転体当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1) $k > \frac{1}{2}$ 、 $f (x) = \frac{k}{1 + x}$ 、 $C : y = f (x)$ とする。点 $(- 1, 1)$ から $C$ に引いた接線の接点 $P$ の座標を求める

答 $P (2 k - 1, \frac{1}{2})$

接点を $(a, \frac{k}{1 + a})$ とおいて接線を作り、 $(- 1, 1)$ を代入する。

$f^{'} (x) = - \frac{k}{( 1 + x ) ^{2}}$ なので、接点を $(a, \frac{k}{1 + a})$ とすると接線は

y = \frac{k}{1 + a} - \frac{k}{( 1 + a ) ^{2}} (x - a)

である。 $x = - 1$ 、 $y = 1$ を代入すると

1 = \frac{k}{1 + a} - \frac{k ( - 1 - a )}{( 1 + a ) ^{2}} = \frac{k}{1 + a} + \frac{k}{1 + a} = \frac{2 k}{1 + a}

となる。よって $1 + a = 2 k$ 、 $a = 2 k - 1$ である。 $k > \frac{1}{2}$ より $a > 0$ で、

f (a) = \frac{k}{2 k} = \frac{1}{2}

である。したがって $P (2 k - 1, \frac{1}{2})$ である。

$P$ の $y$ 座標は $k$ によらず $\frac{1}{2}$ になる。(4) で回転軸が $y = \frac{1}{2}$ なのはこのためである。

$k = 0.6, 1, 2.5$ で、接線に $x = - 1$ を入れると値はどれも $1$ になった。

(2)点 $(0, k)$ と $P$ を通る直線 $ℓ$ の方程式を求める

答 $ℓ : y = - \frac{1}{2} x + k$

2点の傾きを計算するだけ。 $2 k - 1$ が約分される。

(傾き) = \frac{\frac{1}{2} - k}{( 2 k - 1 ) - 0} = \frac{- \frac{2 k - 1}{2}}{2 k - 1} = - \frac{1}{2}

である（ $k > \frac{1}{2}$ より $2 k - 1 \neq = 0$ ）。 $y$ 切片が $k$ なので

ℓ : y = - \frac{1}{2} x + k

である。

$(0, k)$ は $C$ 上の点（ $f (0) = k$ ）でもある。だから $ℓ$ は $C$ の割線で、(3) の $D$ は $C$ と $ℓ$ ではさまれた部分になる。

$(0, k)$ と $(2 k - 1, \frac{1}{2})$ はどちらもこの直線上にある。

(3) $C$ と $ℓ$ で囲まれる図形 $D$ の面積 $S$ を求める

答 $S = k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k$

交点は $x = 0$ と $x = 2 k - 1$ 。その間で $ℓ$ が上。

$\frac{k}{1 + x} = - \frac{x}{2} + k$ の両辺に $1 + x > 0$ を掛けて整理すると

k = (- \frac{x}{2} + k) (1 + x), 0 = x (k - \frac{1}{2} - \frac{x}{2})

なので、交点の $x$ 座標は $x = 0$ と $x = 2 k - 1$ である。 $0 < x < 2 k - 1$ では $k - \frac{1}{2} - \frac{x}{2} > 0$ なので $ℓ$ が $C$ より上にある。よって

S = \int_{0}^{2 k - 1} {(- \frac{x}{2} + k) - \frac{k}{1 + x}} d x = [- \frac{x ^{2}}{4} + k x - k lo g (1 + x)]_{0}^{2 k - 1}

である。 $1 + (2 k - 1) = 2 k$ なので

S = - \frac{( 2 k - 1 ) ^{2}}{4} + k (2 k - 1) - k lo g 2 k

で、前の2項をまとめると

- \frac{4 k ^{2} - 4 k + 1}{4} + 2 k^{2} - k = - k^{2} + k - \frac{1}{4} + 2 k^{2} - k = k^{2} - \frac{1}{4}

である。したがって

S = k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k

である。

C と ℓ、接線、回転軸のようす（図は k = 2.5 のとき）。塗った部分が D。点線のうち右下がりのゆるやかな直線が点 (−1, 1) からの接線で、水平な点線が (4) の回転軸 y = 1/2。

数値積分すると $k = 1$ で $0.056852819$ 、式 $k^{2} - \frac{1}{4} - k lo g 2 k$ も $0.056852819$ だった。

(4) $D$ を直線 $y = \frac{1}{2}$ のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求める

答 $V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - k^{2} + \frac{1}{4} + k lo g 2 k}$

$D$ は全部 $y ≧ \frac{1}{2}$ にあるので、断面は円環。 $ℓ$ 側が外半径、 $C$ 側が内半径。

$0 ≦ x ≦ 2 k - 1$ では $C$ も $ℓ$ も $y ≧ \frac{1}{2}$ である（ $C$ は減少して $x = 2 k - 1$ でちょうど $\frac{1}{2}$ ）。よって断面は円環で

V = π \int_{0}^{2 k - 1} {(- \frac{x}{2} + k - \frac{1}{2})^{2} - (\frac{k}{1 + x} - \frac{1}{2})^{2}} d x

である。 $2 k - 1 = 2 c$ （ $c = k - \frac{1}{2} > 0$ ）とおくと

- \frac{x}{2} + k - \frac{1}{2} = \frac{2 c - x}{2}, \frac{k}{1 + x} - \frac{1}{2} = \frac{2 c - x}{2 ( 1 + x )}

なので、共通因数でくくれて

V = \frac{π}{4} \int_{0}^{2 c} (2 c - x)^{2} {1 - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}} d x

である。前半は

\int_{0}^{2 c} (2 c - x)^{2} d x = [- \frac{( 2 c - x ) ^{3}}{3}]_{0}^{2 c} = \frac{8 c ^{3}}{3}

である。後半は $w = 1 + x$ 、 $A = 2 c + 1 = 2 k$ とおくと $2 c - x = A - w$ で

\int_{1}^{A} \frac{( A - w ) ^{2}}{w ^{2}} d w = \int_{1}^{A} (\frac{A ^{2}}{w ^{2}} - \frac{2 A}{w} + 1) d w = [- \frac{A ^{2}}{w} - 2 A lo g w + w]_{1}^{A}

となり、値は $A^{2} - 1 - 2 A lo g A$ である。 $8 c^{3} = (2 k - 1)^{3}$ 、 $A = 2 k$ だから

V = \frac{π}{4} {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{3} - 4 k^{2} + 1 + 4 k lo g 2 k}

すなわち

V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - k^{2} + \frac{1}{4} + k lo g 2 k}

である。(3) の $S$ を使うと $V = π {\frac{( 2 k - 1 ) ^{3}}{12} - S}$ と書ける。

$(ℓ - \frac{1}{2})^{2} - (C - \frac{1}{2})^{2}$ を展開してから積分すると、 $\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}$ と $\frac{1}{1 + x}$ と多項式が混ざって重い。共通因数 $(2 c - x)^{2}$ でくくってから $w = 1 + x$ と置換すると軽くなる。