第4問積分法の解答・解説

伸開線（インボリュート）・曲線の長さ・媒介変数表示・ほどけきったあとの円弧当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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原点 $O$ を中心とし $y ≧ 0$ にある半径 $1$ の半円に巻きつけられた糸を、ひっぱりながら動かす。糸の一端は $A (- 1, 0)$ に固定され、動かす端 $P$ ははじめ $B (2, 0)$ にある。 $P$ が反時計回りに動くとき、次に $x$ 軸に重なるまでに $P$ が描く曲線 $C$ の長さを求める

答 $\frac{21 π ^{2}}{32} + \frac{5 π}{4}$

接点の角を $θ$ として $P$ を媒介変数表示する。糸がほどけきったあとは $A$ を中心とする円弧になる。

糸の全長　はじめの状態で、糸は $A$ から半円に沿って接点 $T$ まで巻きつき、 $T$ から $B$ までまっすぐ張られている。 $OB = 2$ 、 $OT = 1$ 、 $OT ⊥ TB$ なので

TB = 2 - 1 = 1, cos ∠ TOB = \frac{OT}{OB} = \frac{1}{2}, ∠ TOB = \frac{π}{4}

である。 $A$ は角 $π$ 、 $T$ は角 $\frac{π}{4}$ の位置なので、巻きついている弧の長さは $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ である。よって糸の全長は

ℓ = \frac{3 π}{4} + 1

である。

媒介変数表示　接点の角を $θ$ （ $\frac{π}{4} ≦ θ ≦ π$ ）とすると、巻きついている弧の長さは $π - θ$ なので、まっすぐな部分の長さは

f (θ) = ℓ - (π - θ) = θ + 1 - \frac{π}{4}

である。接点は $(cos θ, sin θ)$ で、まっすぐな部分は半径に垂直にほどける向きへ出るから、その単位ベクトルは $(sin θ, - cos θ)$ である。よって

P (θ) = (cos θ + f (θ) sin θ, sin θ - f (θ) cos θ)

である（ $θ = \frac{π}{4}$ で $(2, 0)$ になり、 $B$ と合う）。 $f^{'} (θ) = 1$ に注意して微分すると

\frac{d P}{d θ} = (- sin θ + sin θ + f cos θ, cos θ - cos θ + f sin θ) = f (θ) (cos θ, sin θ)

となり、速さは $\frac{d P}{d θ} = f (θ) > 0$ である。

$x$ 軸に戻らないこと　 $y$ 座標の微分は $f (θ) sin θ$ で、 $\frac{π}{4} < θ < π$ では正である。 $θ = \frac{π}{4}$ で $y = 0$ だから、 $\frac{π}{4} < θ ≦ π$ では $y > 0$ である。つまり巻きついている間は $x$ 軸に戻らない。

巻きついている部分の長さ　 $θ$ が $\frac{π}{4}$ から $π$ まで動く間の長さは

\int_{\frac{π}{4}}^{π} f (θ) d θ = [\frac{f ( θ ) ^{2}}{2}]_{\frac{π}{4}}^{π} = \frac{ℓ ^{2} - 1}{2}

である（ $f (\frac{π}{4}) = 1$ 、 $f (π) = ℓ$ ）。

ほどけきったあと　 $θ = π$ で接点は $A$ に達し、糸は全部ほどけて $A$ から出るまっすぐな線分になる。このとき $P = (- 1, ℓ)$ 、つまり $A$ の真上である。以後 $P$ は $A$ を中心とする半径 $ℓ$ の円を反時計回りに回り、 $x$ 軸に重なるのは4分の1周した点 $(- 1 - ℓ, 0)$ である。その長さは $\frac{π}{2} ℓ$ である。