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名古屋市立大学　2023年度　前期日程　医学部医学科

第2問確率の解答・解説

じゃんけんの手の数え上げ・あいこの余事象・残り人数で場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ 人でじゃんけんをするとき、1回目で勝者が1人に決まる確率 $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{n}{3 ^{n - 1}}$

勝つ1人を選び、その人の手を決めれば、残り全員の手は自動的に決まる。

$n$ 人の手の出し方は全部で $3^{n}$ 通りで、どれも同様に確からしい。

勝者が1人に決まるのは、1人だけがある手を出し、残りの $n - 1$ 人がその手に負ける手を出す場合である。勝者の選び方が $n$ 通り、その人の手が $3$ 通りで、残りの人の手はこれで決まるから、場合の数は $3 n$ 通りである。よって

p_{n} = \frac{3 n}{3 ^{n}} = \frac{n}{3 ^{n - 1}}

である。

$n = 2, \dots, 6$ で全列挙すると $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{27}, \frac{5}{81}, \frac{2}{81}$ となり、式と一致した。

(2)1回目であいこになる確率 $q_{n}$ を求める

答 $q_{n} = \frac{3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 6}{3 ^{n}} = 1 - \frac{2 ^{n} - 2}{3 ^{n - 1}}$

あいこでないのは「出た手がちょうど2種類」のとき。そちらを数えて引く。

あいこになるのは「全員が同じ手」か「3種類の手がすべて出る」ときで、まとめると出た手の種類が2種類でないときである。

出た手がちょうど2種類になる場合を数える。使う2種類の選び方が $_{3} C_{2} = 3$ 通りで、 $n$ 人がその2種類のどちらかを出す出し方が $2^{n}$ 通り、そのうち全員同じになる $2$ 通りを除くと $2^{n} - 2$ 通りである。よって

(あいこでない場合の数) = 3 (2^{n} - 2)

である。したがって

q_{n} = \frac{3 ^{n} - 3 ( 2 ^{n} - 2 )}{3 ^{n}} = \frac{3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 6}{3 ^{n}} = 1 - \frac{2 ^{n} - 2}{3 ^{n - 1}}

である。

「出た手が2種類」のときは必ず勝負がつく（片方が勝ち、もう片方が負ける）。勝者が何人かは問わないので、あいこの余事象がちょうどこれになる。

$n = 2, \dots, 6$ で全列挙すると $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{27}, \frac{17}{27}, \frac{181}{243}$ となり、式と一致した。

「全員同じ手」もあいこである。2種類の選び方 $3$ 通りに $2^{n}$ を掛けたままだと、全員同じ手の場合を二重に数えてしまう。

(3)5人でじゃんけんを行い、2回目に勝者が1人に決まる確率を求める

答 $\frac{125}{729}$

1回目の結果を「勝者 $k$ 人（ $k = 2, 3, 4$ ）」と「あいこ」に分け、2回目の人数ごとに $p$ を掛ける。

1回目に5人のうちちょうど $k$ 人が勝ち残る確率は、勝者の選び方 $_{5} C_{k}$ 通りと勝者の手 $3$ 通りから

\frac{3 \cdot _{5} C _{k}}{3 ^{5}} = \frac{_{5} C _{k}}{81} (k = 1, 2, 3, 4)

である。具体的には

$k = 1$ （1回目で決着）… $\frac{5}{81}$
$k = 2$ … $\frac{10}{81}$
$k = 3$ … $\frac{10}{81}$
$k = 4$ … $\frac{5}{81}$
あいこ … $q_{5} = \frac{17}{27} = \frac{51}{81}$

である（ $5 + 10 + 10 + 5 + 51 = 81$ で合う）。あいこのときは敗者がいないので、2回目も5人で行う。よって求める確率は

\frac{51}{81} p_{5} + \frac{10}{81} p_{2} + \frac{10}{81} p_{3} + \frac{5}{81} p_{4}

である。(1) より $p_{2} = \frac{2}{3}$ 、 $p_{3} = \frac{1}{3}$ 、 $p_{4} = \frac{4}{27}$ 、 $p_{5} = \frac{5}{81}$ なので

\frac{51}{81} \cdot \frac{5}{81} + \frac{10}{81} \cdot \frac{2}{3} + \frac{10}{81} \cdot \frac{1}{3} + \frac{5}{81} \cdot \frac{4}{27} = \frac{255 + 540 + 270 + 60}{6561} = \frac{1125}{6561}

であり、約分して

\frac{1125}{6561} = \frac{125}{729}

である（ $0.1714 \dots$ ）。

分数のまま足すと $\frac{125}{729} = 0.1714678$ だった。

「あいこも1回と数える」ので、あいこのときも2回目は5人のままである。人数が減ると思わない。

1回目で勝者が1人に決まってしまう場合（ $\frac{5}{81}$ ）は、2回目がないので除く。

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