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名古屋市立大学　2023年度　前期日程　医学部医学科

第1問数列・対数の解答・解説

和から一般項・桁数と常用対数・等差×等比の和当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} - 1$ であるとき、 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$

$a_{1} = S_{1}$ 、 $n ≧ 2$ では $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 。最後に $n = 1$ でも合うか確かめる。

$a_{1} = S_{1} = 3 - 1 = 2$ である。 $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3^{n} - 1) - (3^{n - 1} - 1) = 3^{n - 1} (3 - 1) = 2 \cdot 3^{n - 1}

である。これは $n = 1$ のときも $2 \cdot 3^{0} = 2$ で合う。よって

a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}

である。

$n = 1$ から $14$ まで和を取ると、どれも $3^{n} - 1$ になった。

(2) $b_{n} = 3 n \cdot a_{n}$ とするとき、 $b_{15}$ は何桁の数かを求める（ $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

答 $9$ 桁

$lo g_{10} b_{15}$ を求めて、整数部分 $+ 1$ が桁数。

$b_{n} = 3 n \cdot 2 \cdot 3^{n - 1} = 2 n \cdot 3^{n}$ なので

b_{15} = 2 \cdot 15 \cdot 3^{15} = 30 \cdot 3^{15}

である。常用対数をとると

lo g_{10} b_{15} = lo g_{10} 30 + 15 lo g_{10} 3 = 1 + lo g_{10} 3 + 15 lo g_{10} 3 = 1 + 16 lo g_{10} 3

で、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ を入れると

lo g_{10} b_{15} = 1 + 16 \cdot 0.4771 = 1 + 7.6336 = 8.6336

である。 $8 < lo g_{10} b_{15} < 9$ なので $1 0^{8} < b_{15} < 1 0^{9}$ で、 $b_{15}$ は9桁である。

実際 $b_{15} = 430467210$ で、確かに9桁である。

$b_{15} = 430467210$ を直接計算すると $9$ 桁だった。

桁数は $lo g_{10}$ の整数部分に $1$ を足した値。 $8.6336$ から「8桁」としない。

(3) $T_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$ を求める

答 $T_{n} = \frac{3 { ( 2 n - 1 ) 3 ^{n} + 1 }}{2}$

$(等差) \times (等比)$ の和なので、 $3$ 倍してずらして引く。

$b_{k} = 2 k \cdot 3^{k}$ なので $T_{n} = 2 k = 1 \sum n k \cdot 3^{k}$ である。 $U = k = 1 \sum n k \cdot 3^{k}$ とおくと

U = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \dots + n \cdot 3^{n}

3 U = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3^{2} + \dots + (n - 1) 3^{n} + n \cdot 3^{n + 1}

で、辺々引くと

- 2 U = 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n} - n \cdot 3^{n + 1} = \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{2} - n \cdot 3^{n + 1}

である。よって

U = \frac{n \cdot 3 ^{n + 1}}{2} - \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{4} = \frac{2 n \cdot 3 ^{n + 1} - 3 ^{n + 1} + 3}{4} = \frac{( 2 n - 1 ) 3 ^{n + 1} + 3}{4}

であり

T_{n} = 2 U = \frac{( 2 n - 1 ) 3 ^{n + 1} + 3}{2} = \frac{3 { ( 2 n - 1 ) 3 ^{n} + 1 }}{2}

である。

$n = 1, 2, 3$ で $6, 42, 204$ となり、 $b_{1} = 6$ 、 $b_{1} + b_{2} = 6 + 36 = 42$ 、 $+ 162 = 204$ と合う。

$n = 1$ から $14$ まで、直接の和と式が一致した。

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問題文について

(1)数列 {an​} の初項から第 n 項までの和 Sn​ が Sn​=3n−1 であるとき、{an​} の一般項を求める

(2)bn​=3n⋅an​ とするとき、b15​ は何桁の数かを求める（log10​3=0.4771）

(3)Tn​=k=1∑n​bk​ を求める

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