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全4問・無料

名古屋市立大学　2023年度　前期日程　医学部医学科

名市大医 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　数列・対数

和から一般項・桁数と常用対数・等差×等比の和当サイトの体感難易度：標準

(1)数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} - 1$ であるとき、 ${a_{n}}$ の一般項を求める

答 $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$

$a_{1} = S_{1}$ 、 $n ≧ 2$ では $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ 。最後に $n = 1$ でも合うか確かめる。

$a_{1} = S_{1} = 3 - 1 = 2$ である。 $n ≧ 2$ のとき

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3^{n} - 1) - (3^{n - 1} - 1) = 3^{n - 1} (3 - 1) = 2 \cdot 3^{n - 1}

である。これは $n = 1$ のときも $2 \cdot 3^{0} = 2$ で合う。よって

a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}

である。

$n = 1$ から $14$ まで和を取ると、どれも $3^{n} - 1$ になった。

(2) $b_{n} = 3 n \cdot a_{n}$ とするとき、 $b_{15}$ は何桁の数かを求める（ $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

答 $9$ 桁

$lo g_{10} b_{15}$ を求めて、整数部分 $+ 1$ が桁数。

$b_{n} = 3 n \cdot 2 \cdot 3^{n - 1} = 2 n \cdot 3^{n}$ なので

b_{15} = 2 \cdot 15 \cdot 3^{15} = 30 \cdot 3^{15}

である。常用対数をとると

lo g_{10} b_{15} = lo g_{10} 30 + 15 lo g_{10} 3 = 1 + lo g_{10} 3 + 15 lo g_{10} 3 = 1 + 16 lo g_{10} 3

で、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ を入れると

lo g_{10} b_{15} = 1 + 16 \cdot 0.4771 = 1 + 7.6336 = 8.6336

である。 $8 < lo g_{10} b_{15} < 9$ なので $1 0^{8} < b_{15} < 1 0^{9}$ で、 $b_{15}$ は9桁である。

実際 $b_{15} = 430467210$ で、確かに9桁である。

$b_{15} = 430467210$ を直接計算すると $9$ 桁だった。

桁数は $lo g_{10}$ の整数部分に $1$ を足した値。 $8.6336$ から「8桁」としない。

(3) $T_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$ を求める

答 $T_{n} = \frac{3 { ( 2 n - 1 ) 3 ^{n} + 1 }}{2}$

$(等差) \times (等比)$ の和なので、 $3$ 倍してずらして引く。

$b_{k} = 2 k \cdot 3^{k}$ なので $T_{n} = 2 k = 1 \sum n k \cdot 3^{k}$ である。 $U = k = 1 \sum n k \cdot 3^{k}$ とおくと

U = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \dots + n \cdot 3^{n}

3 U = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 3^{2} + \dots + (n - 1) 3^{n} + n \cdot 3^{n + 1}

で、辺々引くと

- 2 U = 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n} - n \cdot 3^{n + 1} = \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{2} - n \cdot 3^{n + 1}

である。よって

U = \frac{n \cdot 3 ^{n + 1}}{2} - \frac{3 ( 3 ^{n} - 1 )}{4} = \frac{2 n \cdot 3 ^{n + 1} - 3 ^{n + 1} + 3}{4} = \frac{( 2 n - 1 ) 3 ^{n + 1} + 3}{4}

であり

T_{n} = 2 U = \frac{( 2 n - 1 ) 3 ^{n + 1} + 3}{2} = \frac{3 { ( 2 n - 1 ) 3 ^{n} + 1 }}{2}

である。

$n = 1, 2, 3$ で $6, 42, 204$ となり、 $b_{1} = 6$ 、 $b_{1} + b_{2} = 6 + 36 = 42$ 、 $+ 162 = 204$ と合う。

$n = 1$ から $14$ まで、直接の和と式が一致した。

第1問だけのページ

第2問　確率

じゃんけんの手の数え上げ・あいこの余事象・残り人数で場合分け当サイトの体感難易度：標準

(1) $n$ 人でじゃんけんをするとき、1回目で勝者が1人に決まる確率 $p_{n}$ を求める

答 $p_{n} = \frac{n}{3 ^{n - 1}}$

勝つ1人を選び、その人の手を決めれば、残り全員の手は自動的に決まる。

$n$ 人の手の出し方は全部で $3^{n}$ 通りで、どれも同様に確からしい。

勝者が1人に決まるのは、1人だけがある手を出し、残りの $n - 1$ 人がその手に負ける手を出す場合である。勝者の選び方が $n$ 通り、その人の手が $3$ 通りで、残りの人の手はこれで決まるから、場合の数は $3 n$ 通りである。よって

p_{n} = \frac{3 n}{3 ^{n}} = \frac{n}{3 ^{n - 1}}

である。

$n = 2, \dots, 6$ で全列挙すると $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{27}, \frac{5}{81}, \frac{2}{81}$ となり、式と一致した。

(2)1回目であいこになる確率 $q_{n}$ を求める

答 $q_{n} = \frac{3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 6}{3 ^{n}} = 1 - \frac{2 ^{n} - 2}{3 ^{n - 1}}$

あいこでないのは「出た手がちょうど2種類」のとき。そちらを数えて引く。

あいこになるのは「全員が同じ手」か「3種類の手がすべて出る」ときで、まとめると出た手の種類が2種類でないときである。

出た手がちょうど2種類になる場合を数える。使う2種類の選び方が $_{3} C_{2} = 3$ 通りで、 $n$ 人がその2種類のどちらかを出す出し方が $2^{n}$ 通り、そのうち全員同じになる $2$ 通りを除くと $2^{n} - 2$ 通りである。よって

(あいこでない場合の数) = 3 (2^{n} - 2)

である。したがって

q_{n} = \frac{3 ^{n} - 3 ( 2 ^{n} - 2 )}{3 ^{n}} = \frac{3 ^{n} - 3 \cdot 2 ^{n} + 6}{3 ^{n}} = 1 - \frac{2 ^{n} - 2}{3 ^{n - 1}}

である。

「出た手が2種類」のときは必ず勝負がつく（片方が勝ち、もう片方が負ける）。勝者が何人かは問わないので、あいこの余事象がちょうどこれになる。

$n = 2, \dots, 6$ で全列挙すると $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{13}{27}, \frac{17}{27}, \frac{181}{243}$ となり、式と一致した。

「全員同じ手」もあいこである。2種類の選び方 $3$ 通りに $2^{n}$ を掛けたままだと、全員同じ手の場合を二重に数えてしまう。

(3)5人でじゃんけんを行い、2回目に勝者が1人に決まる確率を求める

答 $\frac{125}{729}$

1回目の結果を「勝者 $k$ 人（ $k = 2, 3, 4$ ）」と「あいこ」に分け、2回目の人数ごとに $p$ を掛ける。

1回目に5人のうちちょうど $k$ 人が勝ち残る確率は、勝者の選び方 $_{5} C_{k}$ 通りと勝者の手 $3$ 通りから

\frac{3 \cdot _{5} C _{k}}{3 ^{5}} = \frac{_{5} C _{k}}{81} (k = 1, 2, 3, 4)

である。具体的には

$k = 1$ （1回目で決着）… $\frac{5}{81}$
$k = 2$ … $\frac{10}{81}$
$k = 3$ … $\frac{10}{81}$
$k = 4$ … $\frac{5}{81}$
あいこ … $q_{5} = \frac{17}{27} = \frac{51}{81}$

である（ $5 + 10 + 10 + 5 + 51 = 81$ で合う）。あいこのときは敗者がいないので、2回目も5人で行う。よって求める確率は

\frac{51}{81} p_{5} + \frac{10}{81} p_{2} + \frac{10}{81} p_{3} + \frac{5}{81} p_{4}

である。(1) より $p_{2} = \frac{2}{3}$ 、 $p_{3} = \frac{1}{3}$ 、 $p_{4} = \frac{4}{27}$ 、 $p_{5} = \frac{5}{81}$ なので

\frac{51}{81} \cdot \frac{5}{81} + \frac{10}{81} \cdot \frac{2}{3} + \frac{10}{81} \cdot \frac{1}{3} + \frac{5}{81} \cdot \frac{4}{27} = \frac{255 + 540 + 270 + 60}{6561} = \frac{1125}{6561}

であり、約分して

\frac{1125}{6561} = \frac{125}{729}

である（ $0.1714 \dots$ ）。

分数のまま足すと $\frac{125}{729} = 0.1714678$ だった。

「あいこも1回と数える」ので、あいこのときも2回目は5人のままである。人数が減ると思わない。

1回目で勝者が1人に決まってしまう場合（ $\frac{5}{81}$ ）は、2回目がないので除く。

第2問だけのページ

第3問　空間ベクトル

平面の法線ベクトル・垂線の足・四面体の体積・4点が同一平面上にある当サイトの体感難易度：標準

(1)座標空間の点 $A (- 1, 1, 3)$ 、 $B (2, 1, 0)$ 、 $C (0, 3, 1)$ を含む平面 $α$ に対してベクトル $n = (a, 1, c)$ が垂直であるとき、 $a, c$ を求める

答 $a = 2$ 、 $c = 2$

$n$ が $AB$ と $AC$ の両方と垂直、という連立をつくる。

AB = (3, 0, - 3), AC = (1, 2, - 2)

である。 $n \cdot AB = 0$ より

3 a + 0 - 3 c = 0, a = c

である。 $n \cdot AC = 0$ より

a + 2 - 2 c = 0

で、 $a = c$ を入れると $- c + 2 = 0$ 、すなわち $c = 2$ 、 $a = 2$ である。よって

a = 2, c = 2, n = (2, 1, 2)

である。

$(2, 1, 2)$ と $AB, AC$ の内積はどちらも $0$ だった。

(2)点 $P (5, 3, 5)$ から平面 $α$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を求める

答 $H (1, 1, 1)$

$H = P + k n$ とおいて、平面の方程式に入れる。

平面 $α$ は $n = (2, 1, 2)$ を法線にもち $A (- 1, 1, 3)$ を通るので

2 x + y + 2 z = 2 (- 1) + 1 + 2 \cdot 3 = 5

である（ $B, C$ を入れても $4 + 1 + 0 = 5$ 、 $0 + 3 + 2 = 5$ で合う）。

$PH$ は $n$ と平行だから $H = (5 + 2 k, 3 + k, 5 + 2 k)$ とおける。これを平面の式に入れると

2 (5 + 2 k) + (3 + k) + 2 (5 + 2 k) = 23 + 9 k = 5

より $k = - 2$ である。よって

H (1, 1, 1)

である。

$H (1, 1, 1)$ は $2 + 1 + 2 = 5$ で平面上にあり、 $PH = (- 4, - 2, - 4) = - 2 n$ で $n$ と平行だった。

(3) $D (5, 1, - 3)$ と、2点 $Q (2 t + 5, t + 3, 2 t - 4)$ （ $t > 0$ ）、 $R (2 u + 3, u - 1, 2 u)$ （ $u > 0$ ）について、四面体 $QABC$ と四面体 $RACD$ の体積比を $t, u$ で表す

答 $QABC : RACD = t : 2 u$

$D$ も平面 $α$ 上にあり、 $Q, R$ はどちらも $n$ 方向に動く。底面積と高さが別々に出せる。

まず $D (5, 1, - 3)$ について $2 \cdot 5 + 1 + 2 (- 3) = 5$ なので、 $D$ も平面 $α$ 上にある。つまり $A, B, C, D$ は同一平面上にあり、 $△ ABC$ も $△ ACD$ も $α$ 上の三角形である。

また

Q = (5, 3, - 4) + t (2, 1, 2), R = (3, - 1, 0) + u (2, 1, 2)

と書けるので、 $Q, R$ はどちらも $n$ 方向に動く点である。 $∣ n ∣ = 3$ で

(Q と α の距離) = \frac{∣ 2 ( 2 t + 5 ) + ( t + 3 ) + 2 ( 2 t - 4 ) - 5 ∣}{3} = \frac{∣ 9 t ∣}{3} = 3 t

(R と α の距離) = \frac{∣ 2 ( 2 u + 3 ) + ( u - 1 ) + 2 \cdot 2 u - 5 ∣}{3} = \frac{∣ 9 u ∣}{3} = 3 u

である（ $t > 0$ 、 $u > 0$ ）。底面積は外積の大きさから

AB \times AC = (6, 3, 6), △ ABC = \frac{∣ ( 6 , 3 , 6 ) ∣}{2} = \frac{9}{2}

AC \times AD = (- 12, - 6, - 12), △ ACD = \frac{∣ ( - 12 , - 6 , - 12 ) ∣}{2} = 9

である（ $AD = (6, 0, - 6)$ ）。よって

(QABC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 t = \frac{9}{2} t, (RACD) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 u = 9 u

であり

QABC : RACD = \frac{9}{2} t : 9 u = t : 2 u

である。

$AD = (6, 0, - 6) = 2 AB$ なので、実は $A, B, D$ は一直線上にあり、 $AD = 2 AB$ である。だから $△ ACD = 2△ ABC$ で、面積比のほうは外積を計算しなくても分かる。

$(t, u) = (1, 1), (2, 3), (0.7, 1.9)$ で体積を直接計算して比を取ると、どれも $\frac{t}{2 u}$ と一致した。

$D$ が平面 $α$ 上にあることに気づかないと、 $△ ACD$ を底面とする高さが別物になってしまう。

第3問だけのページ

第4問　積分法

伸開線（インボリュート）・曲線の長さ・媒介変数表示・ほどけきったあとの円弧当サイトの体感難易度：難

原点 $O$ を中心とし $y ≧ 0$ にある半径 $1$ の半円に巻きつけられた糸を、ひっぱりながら動かす。糸の一端は $A (- 1, 0)$ に固定され、動かす端 $P$ ははじめ $B (2, 0)$ にある。 $P$ が反時計回りに動くとき、次に $x$ 軸に重なるまでに $P$ が描く曲線 $C$ の長さを求める

答 $\frac{21 π ^{2}}{32} + \frac{5 π}{4}$

接点の角を $θ$ として $P$ を媒介変数表示する。糸がほどけきったあとは $A$ を中心とする円弧になる。

糸の全長　はじめの状態で、糸は $A$ から半円に沿って接点 $T$ まで巻きつき、 $T$ から $B$ までまっすぐ張られている。 $OB = 2$ 、 $OT = 1$ 、 $OT ⊥ TB$ なので

TB = 2 - 1 = 1, cos ∠ TOB = \frac{OT}{OB} = \frac{1}{2}, ∠ TOB = \frac{π}{4}

である。 $A$ は角 $π$ 、 $T$ は角 $\frac{π}{4}$ の位置なので、巻きついている弧の長さは $π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ である。よって糸の全長は

ℓ = \frac{3 π}{4} + 1

である。

媒介変数表示　接点の角を $θ$ （ $\frac{π}{4} ≦ θ ≦ π$ ）とすると、巻きついている弧の長さは $π - θ$ なので、まっすぐな部分の長さは

f (θ) = ℓ - (π - θ) = θ + 1 - \frac{π}{4}

である。接点は $(cos θ, sin θ)$ で、まっすぐな部分は半径に垂直にほどける向きへ出るから、その単位ベクトルは $(sin θ, - cos θ)$ である。よって

P (θ) = (cos θ + f (θ) sin θ, sin θ - f (θ) cos θ)

である（ $θ = \frac{π}{4}$ で $(2, 0)$ になり、 $B$ と合う）。 $f^{'} (θ) = 1$ に注意して微分すると

\frac{d P}{d θ} = (- sin θ + sin θ + f cos θ, cos θ - cos θ + f sin θ) = f (θ) (cos θ, sin θ)

となり、速さは $\frac{d P}{d θ} = f (θ) > 0$ である。

$x$ 軸に戻らないこと　 $y$ 座標の微分は $f (θ) sin θ$ で、 $\frac{π}{4} < θ < π$ では正である。 $θ = \frac{π}{4}$ で $y = 0$ だから、 $\frac{π}{4} < θ ≦ π$ では $y > 0$ である。つまり巻きついている間は $x$ 軸に戻らない。

巻きついている部分の長さ　 $θ$ が $\frac{π}{4}$ から $π$ まで動く間の長さは

\int_{\frac{π}{4}}^{π} f (θ) d θ = [\frac{f ( θ ) ^{2}}{2}]_{\frac{π}{4}}^{π} = \frac{ℓ ^{2} - 1}{2}

である（ $f (\frac{π}{4}) = 1$ 、 $f (π) = ℓ$ ）。

ほどけきったあと　 $θ = π$ で接点は $A$ に達し、糸は全部ほどけて $A$ から出るまっすぐな線分になる。このとき $P = (- 1, ℓ)$ 、つまり $A$ の真上である。以後 $P$ は $A$ を中心とする半径 $ℓ$ の円を反時計回りに回り、 $x$ 軸に重なるのは4分の1周した点 $(- 1 - ℓ, 0)$ である。その長さは $\frac{π}{2} ℓ$ である。

半径1の上半円と、はじめの糸（A から半円に沿って接点 T まで、T から B まで直線）。P の描く曲線は、B から半円に巻きついた糸がほどけていく伸開線と、ほどけきったあと A を中心に回る4分の1円弧からなる。

合計　 $ℓ = \frac{3 π}{4} + 1$ なので

ℓ^{2} - 1 = \frac{9 π ^{2}}{16} + \frac{3 π}{2}, \frac{ℓ ^{2} - 1}{2} = \frac{9 π ^{2}}{32} + \frac{3 π}{4}

\frac{π}{2} ℓ = \frac{3 π ^{2}}{8} + \frac{π}{2} = \frac{12 π ^{2}}{32} + \frac{π}{2}

である。足して

(C の長さ) = \frac{21 π ^{2}}{32} + \frac{3 π}{4} + \frac{π}{2} = \frac{21 π ^{2}}{32} + \frac{5 π}{4}

である（ $10.40 \dots$ ）。

折れ線で測ると伸開線の部分は $5.1320207$ 、全体は $10.4039187$ で、 $\frac{21 π ^{2}}{32} + \frac{5 π}{4} = 10.4039187$ と一致した。

糸がほどけきったあとも $P$ は動き続ける。伸開線の部分だけで止めると $x$ 軸に戻らない。

速さが $f (θ)$ になるので、長さは $\int f d θ$ であり、根号の計算はいらない。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)数列 {an​} の初項から第 n 項までの和 Sn​ が Sn​=3n−1 であるとき、{an​} の一般項を求める

(2)bn​=3n⋅an​ とするとき、b15​ は何桁の数かを求める（log10​3=0.4771）

(3)Tn​=k=1∑n​bk​ を求める

(1)n 人でじゃんけんをするとき、1回目で勝者が1人に決まる確率 pn​ を求める

(2)1回目であいこになる確率 qn​ を求める

(3)5人でじゃんけんを行い、2回目に勝者が1人に決まる確率を求める

(1)座標空間の点 A(−1,1,3)、B(2,1,0)、C(0,3,1) を含む平面 α に対してベクトル n=(a,1,c) が垂直であるとき、a,c を求める

(2)点 P(5,3,5) から平面 α に下ろした垂線を PH とするとき、点 H の座標を求める

(3)D(5,1,−3) と、2点 Q(2t+5,t+3,2t−4)（t>0）、R(2u+3,u−1,2u)（u>0）について、四面体 QABC と四面体 RACD の体積比を t,u で表す

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(1)数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} - 1$ であるとき、 ${a_{n}}$ の一般項を求める

(2) $b_{n} = 3 n \cdot a_{n}$ とするとき、 $b_{15}$ は何桁の数かを求める（ $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

(3) $T_{n} = k = 1 \sum n b_{k}$ を求める

(1) $n$ 人でじゃんけんをするとき、1回目で勝者が1人に決まる確率 $p_{n}$ を求める

(2)1回目であいこになる確率 $q_{n}$ を求める

(1)座標空間の点 $A (- 1, 1, 3)$ 、 $B (2, 1, 0)$ 、 $C (0, 3, 1)$ を含む平面 $α$ に対してベクトル $n = (a, 1, c)$ が垂直であるとき、 $a, c$ を求める

(2)点 $P (5, 3, 5)$ から平面 $α$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を求める

(3) $D (5, 1, - 3)$ と、2点 $Q (2 t + 5, t + 3, 2 t - 4)$ （ $t > 0$ ）、 $R (2 u + 3, u - 1, 2 u)$ （ $u > 0$ ）について、四面体 $QABC$ と四面体 $RACD$ の体積比を $t, u$ で表す