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名古屋市立大学　2023年度　前期日程　医学部医学科

第3問空間ベクトルの解答・解説

平面の法線ベクトル・垂線の足・四面体の体積・4点が同一平面上にある当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)座標空間の点 $A (- 1, 1, 3)$ 、 $B (2, 1, 0)$ 、 $C (0, 3, 1)$ を含む平面 $α$ に対してベクトル $n = (a, 1, c)$ が垂直であるとき、 $a, c$ を求める

答 $a = 2$ 、 $c = 2$

$n$ が $AB$ と $AC$ の両方と垂直、という連立をつくる。

AB = (3, 0, - 3), AC = (1, 2, - 2)

である。 $n \cdot AB = 0$ より

3 a + 0 - 3 c = 0, a = c

である。 $n \cdot AC = 0$ より

a + 2 - 2 c = 0

で、 $a = c$ を入れると $- c + 2 = 0$ 、すなわち $c = 2$ 、 $a = 2$ である。よって

a = 2, c = 2, n = (2, 1, 2)

である。

$(2, 1, 2)$ と $AB, AC$ の内積はどちらも $0$ だった。

(2)点 $P (5, 3, 5)$ から平面 $α$ に下ろした垂線を $PH$ とするとき、点 $H$ の座標を求める

答 $H (1, 1, 1)$

$H = P + k n$ とおいて、平面の方程式に入れる。

平面 $α$ は $n = (2, 1, 2)$ を法線にもち $A (- 1, 1, 3)$ を通るので

2 x + y + 2 z = 2 (- 1) + 1 + 2 \cdot 3 = 5

である（ $B, C$ を入れても $4 + 1 + 0 = 5$ 、 $0 + 3 + 2 = 5$ で合う）。

$PH$ は $n$ と平行だから $H = (5 + 2 k, 3 + k, 5 + 2 k)$ とおける。これを平面の式に入れると

2 (5 + 2 k) + (3 + k) + 2 (5 + 2 k) = 23 + 9 k = 5

より $k = - 2$ である。よって

H (1, 1, 1)

である。

$H (1, 1, 1)$ は $2 + 1 + 2 = 5$ で平面上にあり、 $PH = (- 4, - 2, - 4) = - 2 n$ で $n$ と平行だった。

(3) $D (5, 1, - 3)$ と、2点 $Q (2 t + 5, t + 3, 2 t - 4)$ （ $t > 0$ ）、 $R (2 u + 3, u - 1, 2 u)$ （ $u > 0$ ）について、四面体 $QABC$ と四面体 $RACD$ の体積比を $t, u$ で表す

答 $QABC : RACD = t : 2 u$

$D$ も平面 $α$ 上にあり、 $Q, R$ はどちらも $n$ 方向に動く。底面積と高さが別々に出せる。

まず $D (5, 1, - 3)$ について $2 \cdot 5 + 1 + 2 (- 3) = 5$ なので、 $D$ も平面 $α$ 上にある。つまり $A, B, C, D$ は同一平面上にあり、 $△ ABC$ も $△ ACD$ も $α$ 上の三角形である。

また

Q = (5, 3, - 4) + t (2, 1, 2), R = (3, - 1, 0) + u (2, 1, 2)

と書けるので、 $Q, R$ はどちらも $n$ 方向に動く点である。 $∣ n ∣ = 3$ で

(Q と α の距離) = \frac{∣ 2 ( 2 t + 5 ) + ( t + 3 ) + 2 ( 2 t - 4 ) - 5 ∣}{3} = \frac{∣ 9 t ∣}{3} = 3 t

(R と α の距離) = \frac{∣ 2 ( 2 u + 3 ) + ( u - 1 ) + 2 \cdot 2 u - 5 ∣}{3} = \frac{∣ 9 u ∣}{3} = 3 u

である（ $t > 0$ 、 $u > 0$ ）。底面積は外積の大きさから

AB \times AC = (6, 3, 6), △ ABC = \frac{∣ ( 6 , 3 , 6 ) ∣}{2} = \frac{9}{2}

AC \times AD = (- 12, - 6, - 12), △ ACD = \frac{∣ ( - 12 , - 6 , - 12 ) ∣}{2} = 9

である（ $AD = (6, 0, - 6)$ ）。よって

(QABC) = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot 3 t = \frac{9}{2} t, (RACD) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 u = 9 u

であり

QABC : RACD = \frac{9}{2} t : 9 u = t : 2 u

である。

$AD = (6, 0, - 6) = 2 AB$ なので、実は $A, B, D$ は一直線上にあり、 $AD = 2 AB$ である。だから $△ ACD = 2△ ABC$ で、面積比のほうは外積を計算しなくても分かる。

$(t, u) = (1, 1), (2, 3), (0.7, 1.9)$ で体積を直接計算して比を取ると、どれも $\frac{t}{2 u}$ と一致した。

$D$ が平面 $α$ 上にあることに気づかないと、 $△ ACD$ を底面とする高さが別物になってしまう。

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問題文について

(1)座標空間の点 A(−1,1,3)、B(2,1,0)、C(0,3,1) を含む平面 α に対してベクトル n=(a,1,c) が垂直であるとき、a,c を求める

(2)点 P(5,3,5) から平面 α に下ろした垂線を PH とするとき、点 H の座標を求める

(3)D(5,1,−3) と、2点 Q(2t+5,t+3,2t−4)（t>0）、R(2u+3,u−1,2u)（u>0）について、四面体 QABC と四面体 RACD の体積比を t,u で表す

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