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名古屋市立大学　2022年度　前期日程　医学部医学科

第4問数列の解答・解説

群数列・累積項数・等差×等比の和・途中で切った和当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)群に分けられた数列 ${a_{n}}$ で、第 $k$ 群の各項は $2^{- k + 1}$ 、項数は $k + 2^{k - 1}$ である。 $a_{500}$ を求める

答 $a_{500} = \frac{1}{256}$

第 $k$ 群までの項数の累計 $N_{k}$ を求め、 $500$ がどの群に入るかを見る。

第 $k$ 群までの項数の合計は

N_{k} = i = 1 \sum k (i + 2^{i - 1}) = \frac{k ( k + 1 )}{2} + 2^{k} - 1

である。具体的に計算すると

$N_{7} = 28 + 127 = 155$
$N_{8} = 36 + 255 = 291$
$N_{9} = 45 + 511 = 556$

なので $N_{8} = 291 < 500 ≦ 556 = N_{9}$ である。よって $a_{500}$ は第9群の項で

a_{500} = 2^{- 9 + 1} = 2^{- 8} = \frac{1}{256}

である。

第13群まで実際に並べて500番目を取り出すと $\frac{1}{256}$ だった。

(2)第 $k$ 群の項の総和を $S_{k}$ とする。 $S_{k}$ を $k$ で表し、 $i = 1 \sum k S_{i}$ を求める

答 $S_{k} = 1 + \frac{k}{2 ^{k - 1}}$ 、 $i = 1 \sum k S_{i} = k + 4 - \frac{k + 2}{2 ^{k - 1}}$

$S_{k}$ は（項数）×（各項）。和のほうは $\sum \frac{i}{2 ^{i - 1}}$ で、 $\frac{1}{2}$ 倍してずらす。

第 $k$ 群は $2^{- k + 1}$ が $k + 2^{k - 1}$ 個並ぶので

S_{k} = (k + 2^{k - 1}) \cdot 2^{- k + 1} = \frac{k}{2 ^{k - 1}} + 1

である（ $k = 1, 2, 3, 4$ で $2, 2, \frac{7}{4}, \frac{3}{2}$ となり、 $1 + 1$ 、 $4 \times \frac{1}{2}$ 、 $7 \times \frac{1}{4}$ 、 $12 \times \frac{1}{8}$ と合う）。

次に $T = i = 1 \sum k \frac{i}{2 ^{i - 1}}$ を求める。

T = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2 ^{2}} + \dots + \frac{k}{2 ^{k - 1}}

\frac{T}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{2 ^{2}} + \dots + \frac{k - 1}{2 ^{k - 1}} + \frac{k}{2 ^{k}}

辺々引くと

\frac{T}{2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \dots + \frac{1}{2 ^{k - 1}} - \frac{k}{2 ^{k}} = 2 - \frac{1}{2 ^{k - 1}} - \frac{k}{2 ^{k}}

である。よって

T = 4 - \frac{2}{2 ^{k - 1}} - \frac{k}{2 ^{k - 1}} = 4 - \frac{k + 2}{2 ^{k - 1}}

であり

i = 1 \sum k S_{i} = i = 1 \sum k (1 + \frac{i}{2 ^{i - 1}}) = k + 4 - \frac{k + 2}{2 ^{k - 1}}

である。

$k = 1, \dots, 11$ で、直接の和と式が一致した。

(3) $a_{1}$ から $a_{2022}$ までの和を求める

答 $\frac{1907}{128}$

$2022$ が第何群かを調べ、「手前の群までの総和」＋「その群の途中までの分」に分ける。

(1) の $N_{k}$ に $k = 10, 11$ を入れると

N_{10} = 55 + 1023 = 1078, N_{11} = 66 + 2047 = 2113

なので $N_{10} = 1078 < 2022 ≦ 2113 = N_{11}$ で、 $a_{2022}$ は第11群の項である。第11群の中では $2022 - 1078 = 944$ 番目で、各項は $2^{- 10} = \frac{1}{1024}$ である。

よって求める和は

i = 1 \sum 10 S_{i} + 944 \cdot \frac{1}{1024} = (10 + 4 - \frac{12}{2 ^{9}}) + \frac{944}{1024}

である。 $\frac{12}{512} = \frac{3}{128}$ 、 $\frac{944}{1024} = \frac{59}{64} = \frac{118}{128}$ なので

14 - \frac{3}{128} + \frac{118}{128} = 14 + \frac{115}{128} = \frac{1907}{128}

である（ $14.898 \dots$ ）。

実際に第13群まで並べて先頭 $2022$ 項を足すと $\frac{1907}{128} = 14.8984375$ だった。

第11群の項数は $11 + 2^{10} = 1035$ で、 $944$ はその範囲に収まる。群をまたいでいないか確かめる。

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問題文について

(1)群に分けられた数列 {an​} で、第 k 群の各項は 2−k+1、項数は k+2k−1 である。a500​ を求める

(2)第 k 群の項の総和を Sk​ とする。Sk​ を k で表し、i=1∑k​Si​ を求める

(3)a1​ から a2022​ までの和を求める

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