第3問 確率の解答・解説

表が $h$ 回（$h=0,1,\dots ,10$）出たとすると、進む距離は $2h+\left(10-h\right)=10+h$ である。1周が $4$ なので、$\mathrm{P}$ の位置は $10+h$ を $4$ で割った余りで決まる。時計回りに $\mathrm{A}\to \mathrm{D}\to \mathrm{C}\to \mathrm{B}\to \mathrm{A}$ と進むので、余りが $0,1,2,3$ のときそれぞれ $\mathrm{A},\mathrm{D},\mathrm{C},\mathrm{B}$ である。

$10+h\equiv 2+h(\mathrm{mod}4)$ なので

1. $\mathrm{A}$（余り $0$）… $h\equiv 2(\mathrm{mod}4)$、つまり $h=2,6,10$
2. $\mathrm{D}$（余り $1$）… $h\equiv 3(\mathrm{mod}4)$、つまり $h=3,7$
3. $\mathrm{C}$（余り $2$）… $h\equiv 0(\mathrm{mod}4)$、つまり $h=0,4,8$
4. $\mathrm{B}$（余り $3$）… $h\equiv 1(\mathrm{mod}4)$、つまり $h=1,5,9$

である。表が $h$ 回出る確率は $\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_h}{2^{10}}=\frac{{}_{10}{\mathrm{C}}_h}{1024}$ なので

である（合計 $\frac{256+240+256+272}{1024}=1$ で合う）。

$\mathrm{Q}$ も表が $h$ 回なら $10+h$ だけ進む。反時計回りに $\mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{D}\to \mathrm{A}\to \mathrm{B}$ と進むので、余りが $0,1,2,3$ のときそれぞれ $\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{A}$ である。(1) と同じ計算で

である。$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の動きは独立なので、同じ頂点にある確率は

である（順に $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ で一致する場合）。よって異なる頂点にある確率は

である。

$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ は回る向きが逆なので、$\mathrm{P}$ が $\frac{17}{64}$ をとる頂点では $\mathrm{Q}$ は $\frac{1}{4}$、というように入れ替わる。そのおかげで和がちょうど $\frac{64}{256}$ になる。