第1問 微分法・積分法の解答・解説

である。$x^2>0$ なので符号は $1-\log x$ で決まり、$0<x<e$ で $f^{\prime }>0$、$x>e$ で $f^{\prime }<0$ である。よって $x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとる。

である。$x^3>0$ なので符号は $2\log x-3$ で決まり、$0<x<e^{\frac{3}{2}}$ で上に凸、$x>e^{\frac{3}{2}}$ で下に凸である。よって変曲点は

である。また $x\to +0$ では $\log x\to -\infty$、$\frac{1}{x}\to +\infty$ なので $f\left(x\right)\to -\infty$、$x\to \infty$ では $f\left(x\right)\to 0$ である。$f\left(1\right)=0$ で、$0<x<1$ では $f<0$、$x>1$ では $f>0$ である。

$m,n$ は自然数なので正で、$m^n=n^m$ の両辺の自然対数をとると

である。(1) より $f$ は $0<x\leqq e$ で増加、$x\geqq e$ で減少する。$m<n$ で $f\left(m\right)=f\left(n\right)$ となるには、$m$ と $n$ が $e$ をはさんでいなければならない。すなわち $m<e<n$ で、自然数 $m$ は $1$ か $2$ である。

1. $m=1$ … $f\left(1\right)=0$ なので $\log n=0$、$n=1$ となり $m<n$ に反する。
2. $m=2$ … $f\left(2\right)=\frac{\log 2}{2}=\frac{2\log 2}{4}=\frac{\log 4}{4}=f\left(4\right)$ なので $n=4$。$f$ は $x>e$ で狭義単調減少だから、$f\left(n\right)=f\left(2\right)$ を満たす $n>e$ はこれだけである。

実際 $2^4=16=4^2$ で成り立つ。よって

だけである。

$\frac{\log 2}{2}=f\left(2\right)=f\left(4\right)$ なので、交点の $x$ 座標は $2$ と $4$ である。(1) の増減より、$f\left(x\right)=f\left(2\right)$ を満たす $x$ はこの2つだけである。

$2<e<4$ で、$f$ は $x=e$ で最大値 $\frac{1}{e}=0.367\dots$ をとり、これは $\frac{\log 2}{2}=0.346\dots$ より大きい。よって $2<x<4$ では曲線が直線の上にある。したがって

である。${\left\{\frac{{\left(\log x\right)}^2}{2}\right\}}^{\prime }=\frac{\log x}{x}$ なので

で、$\log 4=2\log 2$ だから

である。また ${\int }_2^4\frac{\log 2}{2}dx=\frac{\log 2}{2}\cdot 2=\log 2$ なので

である（$\frac{3}{2}\log 2=1.039\dots >1$ なので正。値は $0.0275\dots$）。