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名古屋市立大学　2022年度　前期日程　医学部医学科

第2問平面ベクトルの解答・解説

内心の位置ベクトル・2直線の交点・接点までの長さ・3点が一直線上にある当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)三角形 $OAB$ で辺 $OA, OB, AB$ の長さを $a, b, c$ とし、内接円 $C$ の中心を $I$ とする。 $OI$ を $a, b, c, OA, OB$ で表す

答 $OI = \frac{b OA + a OB}{a + b + c}$

$O$ からの角の二等分線が $AB$ を $a : b$ に内分し、 $I$ がその線分を $(a + b) : c$ に内分する、と2段階で進む。

$∠ O$ の二等分線と辺 $AB$ の交点を $D$ とすると、角の二等分線の性質から $AD : DB = OA : OB = a : b$ である。よって

OD = \frac{b OA + a OB}{a + b}

である。また $AD = \frac{a}{a + b} c$ なので、三角形 $OAD$ で $∠ A$ の二等分線を考えると、 $I$ は線分 $OD$ を

OI : ID = AO : AD = a : \frac{a}{a + b} c = (a + b) : c

に内分する。したがって

OI = \frac{a + b}{a + b + c} OD = \frac{b OA + a OB}{a + b + c}

である。

$OA$ の係数が $b$ 、 $OB$ の係数が $a$ と「たすきがけ」になる。頂点 $O$ の係数は向かい合う辺の長さ $c$ で、3つの係数の和が分母になっている。

乱数で5通りの三角形をとり、この点から3辺までの距離を計算すると、どれも等しかった（差は $1 0^{- 16}$ 台）。

(2)辺 $OA, OB, AB$ の中点を $L, M, N$ 、直線 $IN$ と直線 $LM$ の交点を $P$ 、円 $C$ と辺 $AB$ の接点を $Q$ とする。 $OP$ を $a, b, c, OA, OB$ で表し、 $O, P, Q$ が一直線上にあることを示す

答 $OP = \frac{( b + c - a ) OA + ( a + c - b ) OB}{4 c}$ で、 $OQ = 2 OP$

直線 $LM$ は「 $OA, OB$ の係数の和が $\frac{1}{2}$ 」という直線。これを使うと交点が一気に出る。

$OL = \frac{1}{2} OA$ 、 $OM = \frac{1}{2} OB$ なので、直線 $LM$ 上の点は

(1 - s) OL + s OM = \frac{1 - s}{2} OA + \frac{s}{2} OB

と書ける。つまり直線 $LM$ は、 $OA, OB$ の係数の和が $\frac{1}{2}$ になる点の集合である。

$k = a + b + c$ とおく。(1) より $OI = \frac{b}{k} OA + \frac{a}{k} OB$ で、係数の和は $\frac{a + b}{k}$ である。また $ON = \frac{1}{2} (OA + OB)$ で係数の和は $1$ である。直線 $IN$ 上の点を

(1 - t) OI + t ON

とおくと、係数の和は $(1 - t) \frac{a + b}{k} + t$ である。これが $\frac{1}{2}$ になる $t$ を求める。 $w = \frac{a + b}{k}$ とおくと $1 - w = \frac{c}{k}$ で

w + t (1 - w) = \frac{1}{2}, t = \frac{\frac{1}{2} - w}{1 - w} = \frac{\frac{c - a - b}{2 k}}{\frac{c}{k}} = \frac{c - a - b}{2 c}

である。このとき $1 - t = \frac{a + b + c}{2 c} = \frac{k}{2 c}$ なので

OP = \frac{k}{2 c} \cdot \frac{b OA + a OB}{k} + \frac{c - a - b}{2 c} \cdot \frac{OA + OB}{2}

となり、 $OA$ の係数は

\frac{b}{2 c} + \frac{c - a - b}{4 c} = \frac{2 b + c - a - b}{4 c} = \frac{b + c - a}{4 c}

で、 $OB$ の係数は同様に $\frac{a + c - b}{4 c}$ である。よって

OP = \frac{( b + c - a ) OA + ( a + c - b ) OB}{4 c}

である。

次に $Q$ を求める。頂点 $A$ から内接円への2本の接線の長さは等しいので、辺 $OA$ 上の接点までの長さと $AQ$ は等しい。3頂点からの接線の長さを $x, y, z$ （ $O, A, B$ の順）とおくと

x + y = a, x + z = b, y + z = c

で、辺々足して $2 (x + y + z) = a + b + c$ だから

AQ = y = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{a + c - b}{2}

である。 $Q$ は線分 $AB$ を $AQ : QB$ に内分するので

OQ = OA + \frac{AQ}{c} (OB - OA) = (1 - \frac{a + c - b}{2 c}) OA + \frac{a + c - b}{2 c} OB

であり、 $1 - \frac{a + c - b}{2 c} = \frac{b + c - a}{2 c}$ だから

OQ = \frac{( b + c - a ) OA + ( a + c - b ) OB}{2 c} = 2 OP

である。 $OQ$ が $OP$ の実数倍（ $2$ 倍）なので、 $O, P, Q$ は一直線上にある。しかも $P$ は線分 $OQ$ の中点である。

三角形 OAB と内接円、内心 I、辺の中点 L, M, N、直線 IN と直線 LM の交点 P、内接円と辺 AB の接点 Q。P は線分 OQ の中点になる。

乱数の三角形で $IN$ と $LM$ の交点を連立で求めると式と一致し、 $OQ = 2 OP$ も成り立った。

$P$ は線分 $IN$ の内部にあるとは限らない。実際 $t = \frac{c - a - b}{2 c} < 0$ （三角不等式より $c < a + b$ ）なので、 $P$ は $I$ から見て $N$ と反対側にある。

接点までの長さは $AQ = \frac{a + c - b}{2}$ 。 $\frac{b + c - a}{2}$ と取り違えない（ $B$ 側がそちら）。

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問題文について

(1)三角形 OAB で辺 OA,OB,AB の長さを a,b,c とし、内接円 C の中心を I とする。OI を a,b,c,OA,OB で表す

(2)辺 OA,OB,AB の中点を L,M,N、直線 IN と直線 LM の交点を P、円 C と辺 AB の接点を Q とする。OP を a,b,c,OA,OB で表し、O,P,Q が一直線上にあることを示す

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