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名古屋市立大学　2020年度　前期日程　医学部医学科

第4問図形と方程式・積分法の解答・解説

内分点の軌跡・楕円・x 軸をまたぐ図形の回転・回転体の体積当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)点 $A$ は直線 $y = \frac{3}{2}$ 上を、点 $B$ は $y$ 軸上を、線分 $AB$ の長さがつねに $22$ となるように動く。線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $P$ が描く曲線 $C$ の方程式を求める

答 $2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1$

$A (a, \frac{3}{2})$ 、 $B (0, b)$ とおいて $P$ の座標を $a, b$ で表し、 $a^{2} + (b - \frac{3}{2})^{2} = 8$ に代入する。

$A (a, \frac{3}{2})$ 、 $B (0, b)$ とおくと、 $AB = 22$ より

a^{2} + (b - \frac{3}{2})^{2} = 8 \dots (*)

である。 $P$ は $AB$ を $3 : 1$ に内分するので $OP = \frac{1}{4} OA + \frac{3}{4} OB$ 、つまり

x = \frac{a}{4}, y = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{4} b = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} b

である。これを $a, b$ について解くと

a = 4 x, b = \frac{4}{3} (y - \frac{3}{8}) = \frac{4}{3} y - \frac{1}{2}

で、 $b - \frac{3}{2} = \frac{4}{3} y - 2 = \frac{4}{3} (y - \frac{3}{2})$ である。 $(*)$ に入れると

16 x^{2} + \frac{16}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 8

すなわち

2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1, つまり \frac{x ^{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{( y - \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{9}{2}} = 1

である。これは中心 $(0, \frac{3}{2})$ 、 $x$ 方向の半径 $\frac{1}{2}$ 、 $y$ 方向の半径 $\frac{3}{2}$ の楕円である。

$(*)$ は $(a, b)$ の円なので、 $A, B$ はその円上を自由に動ける。つまり $P$ はこの楕円を全部描く。

$A, B$ を乱数で6通りとって $P$ を計算すると、どれも $2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1$ を満たした。

(2)曲線 $C$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める

答 $\frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8}$

$\frac{3}{2} > \frac{3}{2}$ なので楕円は $x$ 軸をまたぐ。またいでいる範囲では断面が円板、そうでない範囲では円環になる。

$∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ のとき、楕円上の $y$ は

y = \frac{3}{2} \pm d (x), d (x) = \frac{3}{2} 1 - 2 x^{2}

である。下側の枝 $\frac{3}{2} - d$ が $0$ 以下になるのは $d ≧ \frac{3}{2}$ 、すなわち

\frac{3}{2} 1 - 2 x^{2} ≧ \frac{3}{2} ⟺ 1 - 2 x^{2} ≧ \frac{1}{2} ⟺ ∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}

のときである。したがって

$∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ … 断面の $y$ の範囲が $0$ をまたぐので、回すと半径 $\frac{3}{2} + d$ の円板。面積 $π (\frac{3}{2} + d)^{2}$
$\frac{1}{2} ≦ ∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ … 断面は $0 < \frac{3}{2} - d ≦ y ≦ \frac{3}{2} + d$ なので円環。面積 $π {(\frac{3}{2} + d)^{2} - (\frac{3}{2} - d)^{2}} = 6 π d$

である。 $y$ 軸対称なので $x ≧ 0$ の分を2倍して

V = 2 π {\int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} + d)^{2} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 6 d d x}

である。 $x = \frac{1}{2} sin θ$ と置換すると $d = \frac{3}{2} cos θ$ 、 $d x = \frac{1}{2} cos θ d θ$ で、 $x = \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{π}{4}$ 、 $x = \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{π}{2}$ である。 $\int cos^{2} θ d θ = \frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}$ を使う。

$(\frac{3}{2} + d)^{2} = \frac{9}{4} + 3 d + d^{2}$ を項ごとに積分すると

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{9}{4} d x = \frac{9}{8}$
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} d^{2} d x = \frac{9}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x^{2}) d x = \frac{9}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{12}) = \frac{15}{8}$
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} 3 d d x = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{2} θ d θ = \frac{9}{2} (\frac{π}{8} + \frac{1}{4}) = \frac{9 π}{16} + \frac{9}{8}$

なので、前半の積分は $\frac{9}{8} + \frac{15}{8} + \frac{9 π}{16} + \frac{9}{8} = \frac{33}{8} + \frac{9 π}{16}$ である。後半は

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 6 d d x = \frac{18}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = 9 (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) = \frac{9 π}{8} - \frac{9}{4}

である。足して

V = 2 π (\frac{33}{8} - \frac{9}{4} + \frac{9 π}{16} + \frac{9 π}{8}) = 2 π (\frac{15}{8} + \frac{27 π}{16}) = \frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8}

である（ $45.09 \dots$ ）。

曲線 C は中心 (0, 3/2)、x 方向の半径 1/√2、y 方向の半径 3/√2 の楕円で、x 軸をまたぐ。|x| ≦ 1/2 では断面が x 軸をまたぐので回すと円板、それより外では円環になる。

体積を数値積分すると $45.0908873$ で、 $\frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8} = 45.0908873$ と一致した。

楕円が $x$ 軸をまたぐので、 $∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ では「上の枝の2乗 $-$ 下の枝の2乗」ではなく「上の枝の2乗」だけになる。下の枝は $x$ 軸の反対側に回って内側に穴を作らない。

$(\frac{3}{2} + d)^{2} - (\frac{3}{2} - d)^{2} = 6 d$ と簡単になる。展開してから引くと手間が増える。

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問題文について

(1)点 A は直線 y=23​ 上を、点 B は y 軸上を、線分 AB の長さがつねに 22​ となるように動く。線分 AB を 3:1 に内分する点 P が描く曲線 C の方程式を求める

(2)曲線 C で囲まれた図形を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める

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