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名古屋市立大学　2020年度　前期日程　医学部医学科

第3問空間ベクトルの解答・解説

直交する3辺・垂線の足・体積から面積を出す・3次元の三平方の定理当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)四面体 $OABC$ で $∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COA = \frac{π}{2}$ 、 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ 、 $∣ a ∣ = α$ 、 $b = β$ 、 $∣ c ∣ = γ$ とする。 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線を $OH$ とするとき、 $OH$ を表す

答 $OH = \frac{β ^{2} γ ^{2} a + γ ^{2} α ^{2} b + α ^{2} β ^{2} c}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$

$a, b, c$ は互いに直交するので、内積の計算が座標と同じようにできる。

3つの角が直角なので $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ である。 $H$ は平面 $ABC$ 上なので

OH = s a + t b + u c, s + t + u = 1

と書ける。 $OH ⊥ AB = b - a$ より

(s a + t b + u c) \cdot (b - a) = t β^{2} - s α^{2} = 0

で、同様に $OH ⊥ AC$ より $u γ^{2} - s α^{2} = 0$ である。よって

s α^{2} = t β^{2} = u γ^{2} = k

とおける。 $s = \frac{k}{α ^{2}}$ 、 $t = \frac{k}{β ^{2}}$ 、 $u = \frac{k}{γ ^{2}}$ を $s + t + u = 1$ に入れると

k (\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} + \frac{1}{γ ^{2}}) = 1, k = \frac{α ^{2} β ^{2} γ ^{2}}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}

である。したがって

OH = \frac{β ^{2} γ ^{2} a + γ ^{2} α ^{2} b + α ^{2} β ^{2} c}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}

である。

ついでに $OH^{2} = k^{2} (\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} + \frac{1}{γ ^{2}}) = k$ なので $OH = \frac{α β γ}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$ である。(2) で使う。

$α, β, γ = 2, 3, 5$ で計算すると、 $OH$ は平面 $ABC$ 上にあり、 $AB, AC$ との内積はどちらも $0$ だった。

(2) $△ ABC$ の面積を $α, β, γ$ で表す

答 $\frac{1}{2} α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2}$

四面体の体積を2通りに表す。 $OA, OB, OC$ が直交するので体積はすぐ出る。

$OA, OB, OC$ が互いに直交するので、 $△ OAB$ を底面と見ると高さは $γ$ で

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} α β \cdot γ = \frac{α β γ}{6}

である。一方 $△ ABC$ を底面と見ると高さは $OH$ なので

V = \frac{1}{3} \cdot △ ABC \cdot OH

である。(1) の注より $OH = \frac{α β γ}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$ だから

△ ABC = \frac{3 V}{OH} = \frac{\frac{α β γ}{2}}{\frac{α β γ}{α ^{2} β ^{2} + β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2}}} = \frac{1}{2} α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2}

である。

$△ OAB = \frac{α β}{2}$ 、 $△ OBC = \frac{β γ}{2}$ 、 $△ OCA = \frac{γ α}{2}$ なので、この式は

△ ABC^{2} = △ OAB^{2} + △ OBC^{2} + △ OCA^{2}

と書ける。三平方の定理の立体版である。

$α, β, γ = 2, 3, 5$ で外積から面積を計算すると $9.5$ で、式の値と一致した。

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問題文について

(1)四面体 OABC で ∠AOB=∠BOC=∠COA=2π​、OA=a、OB=b、OC=c、∣a∣=α、​b​=β、∣c∣=γ とする。O から平面 ABC に下ろした垂線を OH とするとき、OH を表す

(2)△ABC の面積を α,β,γ で表す

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