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名古屋市立大学　2020年度　前期日程　医学部医学科

第1問複素数平面・極限の解答・解説

連立漸化式を複素数にまとめる・絶対値と偏角・三角形の面積・無限等比級数当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 - \frac{2}{9 ^{n}} a_{n} - \frac{2}{3 ^{n}} b_{n}$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $b_{n + 1} = \frac{2}{3 ^{n}} a_{n} + 2 - \frac{2}{9 ^{n}} b_{n}$ とし、 $z_{n} = a_{n} + b_{n} i$ とする。 $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ を求める

答 $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = 2$

2本の漸化式は、ある複素数を掛ける操作にまとまる。

$w_{n} = 2 - \frac{2}{9 ^{n}} + \frac{2}{3 ^{n}} i$ とおくと

w_{n} z_{n} = (2 - \frac{2}{9 ^{n}} a_{n} - \frac{2}{3 ^{n}} b_{n}) + (\frac{2}{3 ^{n}} a_{n} + 2 - \frac{2}{9 ^{n}} b_{n}) i

であり、右辺はちょうど $a_{n + 1} + b_{n + 1} i = z_{n + 1}$ である。よって

z_{n + 1} = w_{n} z_{n}

である。 $z_{1} = 1 \neq = 0$ で $w_{n} \neq = 0$ なので $z_{n} \neq = 0$ であり

\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = ∣ w_{n} ∣ = (2 - \frac{2}{9 ^{n}}) + \frac{2}{9 ^{n}} = 2

である（ $n$ によらない）。

漸化式どおりに計算すると、 $n = 1, \dots, 11$ で比の絶対値はどれも $1.414213562373 = 2$ だった。

$(2 - \frac{2}{9 ^{n}})^{2}$ と $(\frac{2}{3 ^{n}})^{2} = \frac{2}{9 ^{n}}$ がちょうど打ち消し合って $2$ になる。ここが仕掛け。

(2) $θ_{n} = ar g \frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ とするとき、 $sin θ_{n}$ を求める

答 $sin θ_{n} = \frac{1}{3 ^{n}}$

$\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = w_{n}$ の虚部を絶対値で割る。

(1) より $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = w_{n}$ 、 $∣ w_{n} ∣ = 2$ である。極形式で書くと

w_{n} = 2 (cos θ_{n} + i sin θ_{n})

なので、虚部を比べて

2 sin θ_{n} = \frac{2}{3 ^{n}}, sin θ_{n} = \frac{1}{3 ^{n}}

である。実部からは $cos θ_{n} = 1 - \frac{1}{9 ^{n}} > 0$ なので、 $0 < θ_{n} < \frac{π}{2}$ である。

$n = 1, \dots, 11$ で $sin θ_{n}$ を数値計算すると、どれも $3^{- n}$ と小数12桁まで一致した。

(3)複素数平面上で $0, z_{n}, z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $T_{n}$ とするとき、 $n = 1 \sum \infty T_{n}$ を求める

答 $\frac{2}{2}$

$T_{n} = \frac{1}{2} ∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣ sin θ_{n}$ 。 $∣ z_{n} ∣$ は (1) から等比数列。

$∣ z_{1} ∣ = 1$ で、(1) より $∣ z_{n + 1} ∣ = 2 ∣ z_{n} ∣$ なので

∣ z_{n} ∣ = (2)^{n - 1} = 2^{\frac{n - 1}{2}}

である。原点から見た $z_{n}$ と $z_{n + 1}$ のなす角は $θ_{n}$ （ $0 < θ_{n} < \frac{π}{2}$ ）だから

T_{n} = \frac{1}{2} ∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣ sin θ_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{n - 1}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{1}{3 ^{n}}

である。 $2^{\frac{n - 1}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{2}} = 2^{n - \frac{1}{2}} = \frac{2 ^{n}}{2}$ なので

T_{n} = \frac{2 ^{n}}{2 2 \cdot 3 ^{n}} = \frac{1}{2 2} (\frac{2}{3})^{n}

である。これは公比 $\frac{2}{3}$ （ $\frac{2}{3} < 1$ ）の無限等比級数だから

n = 1 \sum \infty T_{n} = \frac{1}{2 2} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{2 2} \cdot 2 = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

である。

$T_{1}, T_{2}, T_{3}$ を数値で出すと $0.2357023, 0.1571348, 0.1047566$ で式と一致し、第11項までの和 $0.6989319$ は $\frac{2}{2} = 0.7071068$ に近づいた。

$∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣$ は $2^{n - \frac{1}{2}}$ であって $2^{n}$ ではない。半端な $\frac{1}{2}$ が最後の答えに残る。

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問題文について

(1)a1​=1、an+1​=2−9n2​​an​−3n2​​bn​、b1​=0、bn+1​=3n2​​an​+2−9n2​​bn​ とし、zn​=an​+bn​i とする。​zn​zn+1​​​ を求める

(2)θn​=argzn​zn+1​​ とするとき、sinθn​ を求める

(3)複素数平面上で 0,zn​,zn+1​ を頂点とする三角形の面積を Tn​ とするとき、n=1∑∞​Tn​ を求める

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(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 - \frac{2}{9 ^{n}} a_{n} - \frac{2}{3 ^{n}} b_{n}$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $b_{n + 1} = \frac{2}{3 ^{n}} a_{n} + 2 - \frac{2}{9 ^{n}} b_{n}$ とし、 $z_{n} = a_{n} + b_{n} i$ とする。 $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ を求める

(2) $θ_{n} = ar g \frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ とするとき、 $sin θ_{n}$ を求める

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