独自の解答・詳解
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全4問・無料

名古屋市立大学　2020年度　前期日程　医学部医学科

名市大医 2020年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。医学部医学科の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　複素数平面・極限

連立漸化式を複素数にまとめる・絶対値と偏角・三角形の面積・無限等比級数当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 - \frac{2}{9 ^{n}} a_{n} - \frac{2}{3 ^{n}} b_{n}$ 、 $b_{1} = 0$ 、 $b_{n + 1} = \frac{2}{3 ^{n}} a_{n} + 2 - \frac{2}{9 ^{n}} b_{n}$ とし、 $z_{n} = a_{n} + b_{n} i$ とする。 $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ を求める

答 $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = 2$

2本の漸化式は、ある複素数を掛ける操作にまとまる。

$w_{n} = 2 - \frac{2}{9 ^{n}} + \frac{2}{3 ^{n}} i$ とおくと

w_{n} z_{n} = (2 - \frac{2}{9 ^{n}} a_{n} - \frac{2}{3 ^{n}} b_{n}) + (\frac{2}{3 ^{n}} a_{n} + 2 - \frac{2}{9 ^{n}} b_{n}) i

であり、右辺はちょうど $a_{n + 1} + b_{n + 1} i = z_{n + 1}$ である。よって

z_{n + 1} = w_{n} z_{n}

である。 $z_{1} = 1 \neq = 0$ で $w_{n} \neq = 0$ なので $z_{n} \neq = 0$ であり

\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = ∣ w_{n} ∣ = (2 - \frac{2}{9 ^{n}}) + \frac{2}{9 ^{n}} = 2

である（ $n$ によらない）。

漸化式どおりに計算すると、 $n = 1, \dots, 11$ で比の絶対値はどれも $1.414213562373 = 2$ だった。

$(2 - \frac{2}{9 ^{n}})^{2}$ と $(\frac{2}{3 ^{n}})^{2} = \frac{2}{9 ^{n}}$ がちょうど打ち消し合って $2$ になる。ここが仕掛け。

(2) $θ_{n} = ar g \frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ とするとき、 $sin θ_{n}$ を求める

答 $sin θ_{n} = \frac{1}{3 ^{n}}$

$\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = w_{n}$ の虚部を絶対値で割る。

(1) より $\frac{z _{n + 1}}{z _{n}} = w_{n}$ 、 $∣ w_{n} ∣ = 2$ である。極形式で書くと

w_{n} = 2 (cos θ_{n} + i sin θ_{n})

なので、虚部を比べて

2 sin θ_{n} = \frac{2}{3 ^{n}}, sin θ_{n} = \frac{1}{3 ^{n}}

である。実部からは $cos θ_{n} = 1 - \frac{1}{9 ^{n}} > 0$ なので、 $0 < θ_{n} < \frac{π}{2}$ である。

$n = 1, \dots, 11$ で $sin θ_{n}$ を数値計算すると、どれも $3^{- n}$ と小数12桁まで一致した。

(3)複素数平面上で $0, z_{n}, z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $T_{n}$ とするとき、 $n = 1 \sum \infty T_{n}$ を求める

答 $\frac{2}{2}$

$T_{n} = \frac{1}{2} ∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣ sin θ_{n}$ 。 $∣ z_{n} ∣$ は (1) から等比数列。

$∣ z_{1} ∣ = 1$ で、(1) より $∣ z_{n + 1} ∣ = 2 ∣ z_{n} ∣$ なので

∣ z_{n} ∣ = (2)^{n - 1} = 2^{\frac{n - 1}{2}}

である。原点から見た $z_{n}$ と $z_{n + 1}$ のなす角は $θ_{n}$ （ $0 < θ_{n} < \frac{π}{2}$ ）だから

T_{n} = \frac{1}{2} ∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣ sin θ_{n} = \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{n - 1}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{1}{3 ^{n}}

である。 $2^{\frac{n - 1}{2}} \cdot 2^{\frac{n}{2}} = 2^{n - \frac{1}{2}} = \frac{2 ^{n}}{2}$ なので

T_{n} = \frac{2 ^{n}}{2 2 \cdot 3 ^{n}} = \frac{1}{2 2} (\frac{2}{3})^{n}

である。これは公比 $\frac{2}{3}$ （ $\frac{2}{3} < 1$ ）の無限等比級数だから

n = 1 \sum \infty T_{n} = \frac{1}{2 2} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{2 2} \cdot 2 = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}

である。

$T_{1}, T_{2}, T_{3}$ を数値で出すと $0.2357023, 0.1571348, 0.1047566$ で式と一致し、第11項までの和 $0.6989319$ は $\frac{2}{2} = 0.7071068$ に近づいた。

$∣ z_{n} ∣ ∣ z_{n + 1} ∣$ は $2^{n - \frac{1}{2}}$ であって $2^{n}$ ではない。半端な $\frac{1}{2}$ が最後の答えに残る。

第1問だけのページ

第2問　確率・極限

3で割った余りで状態を分ける・余りが0以外をまとめる・1次の漸化式・極限当サイトの体感難易度：標準

(1)3枚の硬貨を同時に投げ、3枚とも表なら1点加点、3枚とも裏なら1点減点、それ以外は変更しない。 $0$ 点から始めて $n$ 回繰り返したあとの得点が $3$ の倍数である確率 $P_{n}$ を求める

答 $P_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{5}{8})^{n}$

得点そのものではなく「 $3$ で割った余り」を追う。余りが $0$ かどうかだけで閉じた漸化式ができる。

1回の試行で、3枚とも表になる確率は $\frac{1}{8}$ 、3枚とも裏になる確率は $\frac{1}{8}$ 、それ以外は $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ である。

得点を $3$ で割った余りで分ける。 $n$ 回後に余りが $0, 1, 2$ である確率を $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ とすると $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ である。 $n + 1$ 回後に余りが $0$ になるのは

余り $0$ から点が動かない … $\frac{3}{4} p_{n}$
余り $2$ から $1$ 点加点 … $\frac{1}{8} r_{n}$
余り $1$ から $1$ 点減点 … $\frac{1}{8} q_{n}$

の場合なので

p_{n + 1} = \frac{3}{4} p_{n} + \frac{1}{8} (q_{n} + r_{n}) = \frac{3}{4} p_{n} + \frac{1}{8} (1 - p_{n}) = \frac{5}{8} p_{n} + \frac{1}{8}

である（ $q_{n}, r_{n}$ は個別に要らず、和だけで足りる）。 $P_{n} = p_{n}$ で $P_{0} = 1$ である。

$α = \frac{5}{8} α + \frac{1}{8}$ の解は $α = \frac{1}{3}$ なので

P_{n} - \frac{1}{3} = \frac{5}{8} (P_{n - 1} - \frac{1}{3})

である。 $P_{0} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ だから

P_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{5}{8})^{n}

である（ $n = 1$ で $\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{3}{4}$ 。1回では得点が $- 1, 0, 1$ のいずれかで、 $3$ の倍数は $0$ だけ、その確率は $\frac{3}{4}$ なので合う）。

漸化式を数値で回すと $P_{1}, P_{2}, P_{3} = 0.75, 0.59375, 0.49609375$ で、式と一致した。

余り $1$ と余り $2$ を分けて3本の漸化式にしなくても、和 $q_{n} + r_{n} = 1 - p_{n}$ でまとめれば1本で済む。

得点は負にもなるが、 $3$ で割った余りで考えれば $0, 1, 2$ の3状態で閉じる。

(2) $n \to \infty lim P_{n}$ を求める

答 $\frac{1}{3}$

$(\frac{5}{8})^{n} \to 0$ 。

$0 < \frac{5}{8} < 1$ なので $(\frac{5}{8})^{n} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim P_{n} = \frac{1}{3}

である。長く続けると、余りが $0, 1, 2$ になる確率がどれも $\frac{1}{3}$ に近づく、ということである。

$n = 10$ で $P_{10} = 0.339396631$ 、 $n = 30$ ではさらに $\frac{1}{3}$ に近づいた。

第2問だけのページ

第3問　空間ベクトル

直交する3辺・垂線の足・体積から面積を出す・3次元の三平方の定理当サイトの体感難易度：標準

(1)四面体 $OABC$ で $∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COA = \frac{π}{2}$ 、 $OA = a$ 、 $OB = b$ 、 $OC = c$ 、 $∣ a ∣ = α$ 、 $b = β$ 、 $∣ c ∣ = γ$ とする。 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線を $OH$ とするとき、 $OH$ を表す

答 $OH = \frac{β ^{2} γ ^{2} a + γ ^{2} α ^{2} b + α ^{2} β ^{2} c}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$

$a, b, c$ は互いに直交するので、内積の計算が座標と同じようにできる。

3つの角が直角なので $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ である。 $H$ は平面 $ABC$ 上なので

OH = s a + t b + u c, s + t + u = 1

と書ける。 $OH ⊥ AB = b - a$ より

(s a + t b + u c) \cdot (b - a) = t β^{2} - s α^{2} = 0

で、同様に $OH ⊥ AC$ より $u γ^{2} - s α^{2} = 0$ である。よって

s α^{2} = t β^{2} = u γ^{2} = k

とおける。 $s = \frac{k}{α ^{2}}$ 、 $t = \frac{k}{β ^{2}}$ 、 $u = \frac{k}{γ ^{2}}$ を $s + t + u = 1$ に入れると

k (\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} + \frac{1}{γ ^{2}}) = 1, k = \frac{α ^{2} β ^{2} γ ^{2}}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}

である。したがって

OH = \frac{β ^{2} γ ^{2} a + γ ^{2} α ^{2} b + α ^{2} β ^{2} c}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}

である。

ついでに $OH^{2} = k^{2} (\frac{1}{α ^{2}} + \frac{1}{β ^{2}} + \frac{1}{γ ^{2}}) = k$ なので $OH = \frac{α β γ}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$ である。(2) で使う。

$α, β, γ = 2, 3, 5$ で計算すると、 $OH$ は平面 $ABC$ 上にあり、 $AB, AC$ との内積はどちらも $0$ だった。

(2) $△ ABC$ の面積を $α, β, γ$ で表す

答 $\frac{1}{2} α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2}$

四面体の体積を2通りに表す。 $OA, OB, OC$ が直交するので体積はすぐ出る。

$OA, OB, OC$ が互いに直交するので、 $△ OAB$ を底面と見ると高さは $γ$ で

V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} α β \cdot γ = \frac{α β γ}{6}

である。一方 $△ ABC$ を底面と見ると高さは $OH$ なので

V = \frac{1}{3} \cdot △ ABC \cdot OH

である。(1) の注より $OH = \frac{α β γ}{β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2} + α ^{2} β ^{2}}$ だから

△ ABC = \frac{3 V}{OH} = \frac{\frac{α β γ}{2}}{\frac{α β γ}{α ^{2} β ^{2} + β ^{2} γ ^{2} + γ ^{2} α ^{2}}} = \frac{1}{2} α^{2} β^{2} + β^{2} γ^{2} + γ^{2} α^{2}

である。

$△ OAB = \frac{α β}{2}$ 、 $△ OBC = \frac{β γ}{2}$ 、 $△ OCA = \frac{γ α}{2}$ なので、この式は

△ ABC^{2} = △ OAB^{2} + △ OBC^{2} + △ OCA^{2}

と書ける。三平方の定理の立体版である。

$α, β, γ = 2, 3, 5$ で外積から面積を計算すると $9.5$ で、式の値と一致した。

第3問だけのページ

第4問　図形と方程式・積分法

内分点の軌跡・楕円・x 軸をまたぐ図形の回転・回転体の体積当サイトの体感難易度：難

(1)点 $A$ は直線 $y = \frac{3}{2}$ 上を、点 $B$ は $y$ 軸上を、線分 $AB$ の長さがつねに $22$ となるように動く。線分 $AB$ を $3 : 1$ に内分する点 $P$ が描く曲線 $C$ の方程式を求める

答 $2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1$

$A (a, \frac{3}{2})$ 、 $B (0, b)$ とおいて $P$ の座標を $a, b$ で表し、 $a^{2} + (b - \frac{3}{2})^{2} = 8$ に代入する。

$A (a, \frac{3}{2})$ 、 $B (0, b)$ とおくと、 $AB = 22$ より

a^{2} + (b - \frac{3}{2})^{2} = 8 \dots (*)

である。 $P$ は $AB$ を $3 : 1$ に内分するので $OP = \frac{1}{4} OA + \frac{3}{4} OB$ 、つまり

x = \frac{a}{4}, y = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{4} b = \frac{3}{8} + \frac{3}{4} b

である。これを $a, b$ について解くと

a = 4 x, b = \frac{4}{3} (y - \frac{3}{8}) = \frac{4}{3} y - \frac{1}{2}

で、 $b - \frac{3}{2} = \frac{4}{3} y - 2 = \frac{4}{3} (y - \frac{3}{2})$ である。 $(*)$ に入れると

16 x^{2} + \frac{16}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 8

すなわち

2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1, つまり \frac{x ^{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{( y - \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{9}{2}} = 1

である。これは中心 $(0, \frac{3}{2})$ 、 $x$ 方向の半径 $\frac{1}{2}$ 、 $y$ 方向の半径 $\frac{3}{2}$ の楕円である。

$(*)$ は $(a, b)$ の円なので、 $A, B$ はその円上を自由に動ける。つまり $P$ はこの楕円を全部描く。

$A, B$ を乱数で6通りとって $P$ を計算すると、どれも $2 x^{2} + \frac{2}{9} (y - \frac{3}{2})^{2} = 1$ を満たした。

(2)曲線 $C$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める

答 $\frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8}$

$\frac{3}{2} > \frac{3}{2}$ なので楕円は $x$ 軸をまたぐ。またいでいる範囲では断面が円板、そうでない範囲では円環になる。

$∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ のとき、楕円上の $y$ は

y = \frac{3}{2} \pm d (x), d (x) = \frac{3}{2} 1 - 2 x^{2}

である。下側の枝 $\frac{3}{2} - d$ が $0$ 以下になるのは $d ≧ \frac{3}{2}$ 、すなわち

\frac{3}{2} 1 - 2 x^{2} ≧ \frac{3}{2} ⟺ 1 - 2 x^{2} ≧ \frac{1}{2} ⟺ ∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}

のときである。したがって

$∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ … 断面の $y$ の範囲が $0$ をまたぐので、回すと半径 $\frac{3}{2} + d$ の円板。面積 $π (\frac{3}{2} + d)^{2}$
$\frac{1}{2} ≦ ∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ … 断面は $0 < \frac{3}{2} - d ≦ y ≦ \frac{3}{2} + d$ なので円環。面積 $π {(\frac{3}{2} + d)^{2} - (\frac{3}{2} - d)^{2}} = 6 π d$

である。 $y$ 軸対称なので $x ≧ 0$ の分を2倍して

V = 2 π {\int_{0}^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} + d)^{2} d x + \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 6 d d x}

である。 $x = \frac{1}{2} sin θ$ と置換すると $d = \frac{3}{2} cos θ$ 、 $d x = \frac{1}{2} cos θ d θ$ で、 $x = \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{π}{4}$ 、 $x = \frac{1}{2}$ は $θ = \frac{π}{2}$ である。 $\int cos^{2} θ d θ = \frac{θ}{2} + \frac{sin 2 θ}{4}$ を使う。

$(\frac{3}{2} + d)^{2} = \frac{9}{4} + 3 d + d^{2}$ を項ごとに積分すると

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{9}{4} d x = \frac{9}{8}$
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} d^{2} d x = \frac{9}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x^{2}) d x = \frac{9}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{12}) = \frac{15}{8}$
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} 3 d d x = \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{2} θ d θ = \frac{9}{2} (\frac{π}{8} + \frac{1}{4}) = \frac{9 π}{16} + \frac{9}{8}$

なので、前半の積分は $\frac{9}{8} + \frac{15}{8} + \frac{9 π}{16} + \frac{9}{8} = \frac{33}{8} + \frac{9 π}{16}$ である。後半は

\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} 6 d d x = \frac{18}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} cos^{2} θ d θ = 9 (\frac{π}{8} - \frac{1}{4}) = \frac{9 π}{8} - \frac{9}{4}

である。足して

V = 2 π (\frac{33}{8} - \frac{9}{4} + \frac{9 π}{16} + \frac{9 π}{8}) = 2 π (\frac{15}{8} + \frac{27 π}{16}) = \frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8}

である（ $45.09 \dots$ ）。

曲線 C は中心 (0, 3/2)、x 方向の半径 1/√2、y 方向の半径 3/√2 の楕円で、x 軸をまたぐ。|x| ≦ 1/2 では断面が x 軸をまたぐので回すと円板、それより外では円環になる。

体積を数値積分すると $45.0908873$ で、 $\frac{15 π}{4} + \frac{27 π ^{2}}{8} = 45.0908873$ と一致した。

楕円が $x$ 軸をまたぐので、 $∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ では「上の枝の2乗 $-$ 下の枝の2乗」ではなく「上の枝の2乗」だけになる。下の枝は $x$ 軸の反対側に回って内側に穴を作らない。

$(\frac{3}{2} + d)^{2} - (\frac{3}{2} - d)^{2} = 6 d$ と簡単になる。展開してから引くと手間が増える。

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大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)a1​=1、an+1​=2−9n2​​an​−3n2​​bn​、b1​=0、bn+1​=3n2​​an​+2−9n2​​bn​ とし、zn​=an​+bn​i とする。​zn​zn+1​​​ を求める

(2)θn​=argzn​zn+1​​ とするとき、sinθn​ を求める

(3)複素数平面上で 0,zn​,zn+1​ を頂点とする三角形の面積を Tn​ とするとき、n=1∑∞​Tn​ を求める

(1)3枚の硬貨を同時に投げ、3枚とも表なら1点加点、3枚とも裏なら1点減点、それ以外は変更しない。0 点から始めて n 回繰り返したあとの得点が 3 の倍数である確率 Pn​ を求める

(2)n→∞lim​Pn​ を求める

(1)四面体 OABC で ∠AOB=∠BOC=∠COA=2π​、OA=a、OB=b、OC=c、∣a∣=α、​b​=β、∣c∣=γ とする。O から平面 ABC に下ろした垂線を OH とするとき、OH を表す

(2)△ABC の面積を α,β,γ で表す

(1)点 A は直線 y=23​ 上を、点 B は y 軸上を、線分 AB の長さがつねに 22​ となるように動く。線分 AB を 3:1 に内分する点 P が描く曲線 C の方程式を求める

(2)曲線 C で囲まれた図形を x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める

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(2) $θ_{n} = ar g \frac{z _{n + 1}}{z _{n}}$ とするとき、 $sin θ_{n}$ を求める

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