名古屋市立大学　2020年度　前期日程　医学部医学科

第2問確率・極限の解答・解説

3で割った余りで状態を分ける・余りが0以外をまとめる・1次の漸化式・極限当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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答 $P_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{5}{8})^{n}$

得点そのものではなく「 $3$ で割った余り」を追う。余りが $0$ かどうかだけで閉じた漸化式ができる。

1回の試行で、3枚とも表になる確率は $\frac{1}{8}$ 、3枚とも裏になる確率は $\frac{1}{8}$ 、それ以外は $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ である。

得点を $3$ で割った余りで分ける。 $n$ 回後に余りが $0, 1, 2$ である確率を $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ とすると $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ である。 $n + 1$ 回後に余りが $0$ になるのは

の場合なので

p_{n + 1} = \frac{3}{4} p_{n} + \frac{1}{8} (q_{n} + r_{n}) = \frac{3}{4} p_{n} + \frac{1}{8} (1 - p_{n}) = \frac{5}{8} p_{n} + \frac{1}{8}

である（ $q_{n}, r_{n}$ は個別に要らず、和だけで足りる）。 $P_{n} = p_{n}$ で $P_{0} = 1$ である。

$α = \frac{5}{8} α + \frac{1}{8}$ の解は $α = \frac{1}{3}$ なので

P_{n} - \frac{1}{3} = \frac{5}{8} (P_{n - 1} - \frac{1}{3})

である。 $P_{0} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ だから

P_{n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} (\frac{5}{8})^{n}

である（ $n = 1$ で $\frac{1}{3} + \frac{5}{12} = \frac{3}{4}$ 。1回では得点が $- 1, 0, 1$ のいずれかで、 $3$ の倍数は $0$ だけ、その確率は $\frac{3}{4}$ なので合う）。

漸化式を数値で回すと $P_{1}, P_{2}, P_{3} = 0.75, 0.59375, 0.49609375$ で、式と一致した。

余り $1$ と余り $2$ を分けて3本の漸化式にしなくても、和 $q_{n} + r_{n} = 1 - p_{n}$ でまとめれば1本で済む。

得点は負にもなるが、 $3$ で割った余りで考えれば $0, 1, 2$ の3状態で閉じる。

答 $\frac{1}{3}$

$(\frac{5}{8})^{n} \to 0$ 。

$0 < \frac{5}{8} < 1$ なので $(\frac{5}{8})^{n} \to 0$ である。よって

n \to \infty lim P_{n} = \frac{1}{3}

である。長く続けると、余りが $0, 1, 2$ になる確率がどれも $\frac{1}{3}$ に近づく、ということである。

$n = 10$ で $P_{10} = 0.339396631$ 、 $n = 30$ ではさらに $\frac{1}{3}$ に近づいた。

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