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名古屋大学　2022年度　前期日程　理科系

第4問積分法の解答・解説

広義積分の発散・不等式による評価・中間値の定理・置換積分当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $n \to \infty lim \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = \infty$ を示す

答 $f (x) \geq 1$ なので $\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{d x}{2 - x} = lo g 2 n \to \infty$ で下から押さえられる

$f$ は増加で $f (0) = 1$ だから $x \geq 0$ で $f (x) \geq 1$ である。被積分関数を下から $\frac{1}{2 - x}$ で押さえれば、残りは $lo g$ の計算だけ。

$f$ は $x \geq 0$ で増加し $f (0) = 1$ なので、 $x \geq 0$ では $f (x) \geq f (0) = 1$ である。また $0 \leq x \leq 2 - \frac{1}{n}$ では $2 - x \geq \frac{1}{n} > 0$ なので

\frac{f ( x )}{2 - x} \geq \frac{1}{2 - x} > 0

である。したがって

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x \geq \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{d x}{2 - x} = [- lo g (2 - x)]_{0}^{2 - \frac{1}{n}} = - lo g \frac{1}{n} + lo g 2 = lo g 2 n

である。 $n \to \infty$ で $lo g 2 n \to \infty$ だから、はさみうち（下から発散）により

n \to \infty lim \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = \infty

である。

$f = 1 + x$ 、 $n = 100$ で $I_{n} = 13.90$ 。下からの評価 $lo g 200 = 5.30$ より確かに大きく、 $n$ とともに増えた。

$f (x) \geq 1$ を言うのに「増加かつ $f (0) = 1$ 」を使う。 $f$ の具体形は与えられていない。

$\int \frac{d x}{2 - x} = - lo g ∣ 2 - x ∣$ である。符号を落とさない。

上端は $2$ ではなく $2 - \frac{1}{n}$ 。 $2$ では被積分関数が発散して積分が定義されない。

(2) $F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f ( x )}{x - 2} d x$ （ $y > 2$ ）について $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ を示し、 $2 + \frac{1}{n}$ より大きい実数 $a_{n}$ で $\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = 0$ をみたすものがただ1つ存在することを示す

答 $F_{n}$ は $0$ から $\infty$ まで狭義増加なので、 $F_{n} (a_{n}) = I_{n} > 0$ をみたす $a_{n}$ がただ1つある

前半は (1) と同じく $f \geq 1$ で下から押さえる。後半は、 $x > 2$ では $\frac{1}{2 - x} < 0$ なので2つ目の積分が $- F_{n} (a)$ に等しいことに気づけば、 $F_{n} (a) = I_{n}$ という1本の方程式になる。

前半。 $x \geq 2 + \frac{1}{n}$ では $f (x) \geq 1$ 、 $x - 2 > 0$ なので

F_{n} (y) \geq \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{d x}{x - 2} = [lo g (x - 2)]_{2 + \frac{1}{n}}^{y} = lo g (n (y - 2))

である。 $y \to \infty$ で右辺は $\infty$ に発散するので $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ である。

後半。 $I_{n} = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x$ とおく。(1) より $I_{n} > 0$ である。また $x > 2$ では $2 - x = - (x - 2)$ なので

\int_{2 + \frac{1}{n}}^{a} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = - \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a} \frac{f ( x )}{x - 2} d x = - F_{n} (a)

である。したがって求める条件は

I_{n} - F_{n} (a) = 0, すなわち F_{n} (a) = I_{n}

である。

$F_{n}$ は $y > 2 + \frac{1}{n}$ で微分可能で

F_{n}^{'} (y) = \frac{f ( y )}{y - 2} \geq \frac{1}{y - 2} > 0

なので狭義増加である。さらに $F_{n} (2 + \frac{1}{n}) = 0$ 、 $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ である。

$I_{n} > 0$ なので、中間値の定理より $F_{n} (a) = I_{n}$ をみたす $a > 2 + \frac{1}{n}$ が存在し、狭義増加だからただ1つである。これを $a_{n}$ とすればよい。

$f = e^{x}$ 、 $n = 5$ で $I_{n} = 8.673$ 、 $F_{n} (y)$ を二分法で解くと $a_{n} = 2.469$ がただ1つ見つかった。

2つ目の積分は $\frac{f}{2 - x}$ （分母が $2 - x$ ）で、 $x > 2$ では負である。 $F_{n}$ の定義（分母が $x - 2$ ）と符号が逆になる。

$F_{n} (2 + \frac{1}{n}) = 0$ （積分区間の幅が $0$ ）から出発して増加する。だから $I_{n} > 0$ をちょうど1回横切る。

「ただ1つ」は狭義増加から出る。存在だけなら中間値の定理で足りる。

(3)(2) の $a_{n}$ について、不等式 $a_{n} < 4$ がすべての $n$ に対して成り立つことを示す

答 $x \mapsto 4 - x$ の置換で $F_{n} (4) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} d u > I_{n}$ 、 $F_{n}$ は増加だから $a_{n} < 4$

$F_{n} (4) > I_{n}$ さえ言えれば、 $F_{n}$ が増加だから $F_{n} (a_{n}) = I_{n} < F_{n} (4)$ より $a_{n} < 4$ である。 $F_{n} (4)$ を $x = 4 - u$ で置換すると $I_{n}$ と同じ形になり、 $f$ の中身だけが違う。

$F_{n} (4)$ を置換する。 $F_{n} (4) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{4} \frac{f ( x )}{x - 2} d x$ で $x = 4 - u$ とおく。 $d x = - d u$ 、 $x - 2 = 2 - u$ で、 $x : 2 + \frac{1}{n} \to 4$ のとき $u : 2 - \frac{1}{n} \to 0$ だから

F_{n} (4) = \int_{2 - \frac{1}{n}}^{0} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} (- d u) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} d u

である。一方

I_{n} = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( u )}{2 - u} d u

なので、2つは「分子が $f (4 - u)$ か $f (u)$ か」だけが違う。

大小を比べる。 $0 \leq u \leq 2 - \frac{1}{n}$ では

4 - u \geq 4 - (2 - \frac{1}{n}) = 2 + \frac{1}{n} > 2 - \frac{1}{n} \geq u

なので $4 - u > u \geq 0$ である。 $f$ は増加関数だから $f (4 - u) > f (u)$ で、 $2 - u > 0$ より

\frac{f ( 4 - u )}{2 - u} > \frac{f ( u )}{2 - u}

が区間全体で成り立つ。したがって

F_{n} (4) > I_{n}

である。

結論。 (2) より $F_{n} (a_{n}) = I_{n} < F_{n} (4)$ で、 $F_{n}$ は狭義増加だから

a_{n} < 4

である。これはすべての $n$ について成り立つ。

$x = 4 - u$ は「 $x = 2$ を中心とした折り返し」である。 $2 + \frac{1}{n} \leq x \leq 4$ を $0 \leq u \leq 2 - \frac{1}{n}$ に移すと、分母 $x - 2$ がちょうど $2 - u$ になり、 $I_{n}$ とそろう。

$f = 1 + x, e^{x}, 1 + x$ と $n = 2, 5, 20, 100$ の全12通りで $F_{n} (4) > I_{n}$ が成り立ち、二分法で求めた $a_{n}$ はすべて $4$ 未満（ $2.37$ 〜 $3.35$ ）だった。

$a_{n} < 4$ を直接示すのではなく、「 $F_{n} (4) > I_{n}$ かつ $F_{n}$ が増加」から言う。 $a_{n}$ の値を求める必要はない。

置換 $x = 4 - u$ で区間の向きが逆になり、 $- d u$ と合わせて符号が戻る。

$f (4 - u) > f (u)$ は $f$ が狭義増加だから言える。 $4 - u > u$ が区間全体で成り立つことを確かめる。

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(1)n→∞lim​∫02−n1​​2−xf(x)​dx=∞ を示す

(2)Fn​(y)=∫2+n1​y​x−2f(x)​dx（y>2）について y→∞lim​Fn​(y)=∞ を示し、2+n1​ より大きい実数 an​ で ∫02−n1​​2−xf(x)​dx+∫2+n1​an​​2−xf(x)​dx=0 をみたすものがただ1つ存在することを示す

(3)(2) の an​ について、不等式 an​<4 がすべての n に対して成り立つことを示す

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