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名古屋大学　2022年度　前期日程　理科系

第3問複素数平面の解答・解説

2次方程式の解・偏角と絶対値・正六角形の頂点・因数分解当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $\frac{β}{α}$ を求め、 $α, β$ がそれぞれどの頂点か答える

答 $\frac{β}{α} = 1 + 3 i$ 、 $α$ は $A$ 、 $β$ は $C$

$4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0$ を $α^{2}$ で割れば $\frac{β}{α}$ の2次方程式になる。偏角の条件でどちらかに決まる。あとは「 $∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ かつ偏角が $6 0^{\circ}$ 違い」をみたす頂点の組を探す。

$α \neq = 0$ なので $4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0$ の両辺を $α^{2}$ で割る。 $w = \frac{β}{α}$ とおくと

w^{2} - 2 w + 4 = 0 ⟹ w = 1 \pm 3 i

である。 $1 + 3 i = 2 (cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ})$ 、 $1 - 3 i = 2 (cos (- 6 0^{\circ}) + i sin (- 6 0^{\circ}))$ なので、 $0 \leq ar g w \leq π$ をみたすのは

\frac{β}{α} = 1 + 3 i

である。つまり $∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ で、 $β$ の偏角は $α$ の偏角より $6 0^{\circ}$ 大きい。

頂点を調べる。 正六角形 $OABCDE$ で $A = p$ （ $p \neq = 0$ ）とすると、反時計回りに並ぶ頂点は

O = 0, A = p, B = \frac{3 + 3 i}{2} p, C = (1 + 3 i) p, D = 3 i p, E = \frac{- 1 + 3 i}{2} p

である。原点からの距離と偏角のずれ（ $A$ を基準）は

頂点 A B C D E 距離 ∣ p ∣ 3 ∣ p ∣ 2 ∣ p ∣ 3 ∣ p ∣ ∣ p ∣ 偏角のずれ 0^{\circ} 3 0^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ}

である。距離が2倍になる組は $(A, C)$ と $(E, C)$ しかなく（ $3$ や $2$ の2倍に当たる頂点はない）、偏角のずれが $6 0^{\circ}$ なのは $(A, C)$ のほうだけである（ $E \to C$ は $- 6 0^{\circ}$ ）。したがって

α = A, β = C

である。

正六角形

OABCDE

（反時計回り）。原点

O

からの距離は

A, E

が

∣ p ∣

、

B, D

が

3 ∣ p ∣

、

C

が

2 ∣ p ∣

。

A

を基準とした偏角は

B

が

+ 3 0^{\circ}

、

C

が

+ 6 0^{\circ}

、

D

が

+ 9 0^{\circ}

、

E

が

+ 12 0^{\circ}

。

$w = 1 + 3 i$ が $4 - 2 w + w^{2} = 0$ をみたし、 $∣ w ∣ = 2$ 、 $ar g w = 6 0^{\circ}$ であることを数値で確かめた。

$w^{2} - 2 w + 4 = 0$ の2解は共役で、偏角が $\pm 6 0^{\circ}$ 。 $0 \leq ar g w \leq π$ で $+ 6 0^{\circ}$ のほうに決まる。

$∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ を先に使って候補を絞る。頂点の距離は $∣ p ∣, 3 ∣ p ∣, 2 ∣ p ∣$ の3種類しかない。

$E \to C$ も距離は2倍だが偏角が $- 6 0^{\circ}$ なので不適。偏角の向きを確かめる。

(2)組 $(α, β, γ)$ をすべて求め、それぞれの組について正六角形 $OABCDE$ を複素数平面上に図示する

答 $γ$ が $B, D, E$ になる3組。 $α = \frac{1 - 3 i}{2}, \frac{- 1 - 3 i}{4}, \frac{- 3 - 3 i}{6}$ で、いずれも $β = (1 + 3 i) α$ 、 $γ = α + 1$

第3式を $γ$ の2次方程式として解く。 $β = (1 + 3 i) α$ を入れると因数分解でき、 $γ = \frac{α + β}{2}$ か $γ = α + 1$ になる。前者は頂点になりえないので、後者が頂点になる $α$ を探す。

$β = (1 + 3 i) α$ なので $α + β = (2 + 3 i) α$ 、 $3 α + β = (4 + 3 i) α$ である。第3式は

2 γ^{2} - {(4 + 3 i) α + 2} γ + (α + 1) (2 + 3 i) α = 0

である。2解の和と積を見ると

\frac{( 4 + 3 i ) α + 2}{2} = \frac{α + β}{2} + (α + 1), \frac{( α + 1 ) ( 2 + 3 i ) α}{2} = \frac{α + β}{2} \cdot (α + 1)

となっているので、この2次方程式は

2 (γ - \frac{α + β}{2}) (γ - (α + 1)) = 0

と因数分解でき

γ = \frac{α + β}{2} または γ = α + 1

である。

$γ = \frac{α + β}{2}$ は不適。 $α = p$ 、 $β = (1 + 3 i) p$ なので $\frac{α + β}{2} = \frac{2 + 3 i}{2} p$ である。頂点はすべて $p$ の定数倍で、その定数は

0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, 1 + 3 i, 3 i, \frac{- 1 + 3 i}{2}

のどれかだが、 $\frac{2 + 3 i}{2}$ はこのどれとも異なる。よってこの $γ$ は頂点になれない。

$γ = α + 1$ が頂点になる場合。 $γ \neq = 0$ 、 $γ \neq = α$ （ $1 \neq = 0$ ）、 $γ \neq = β$ （互いに異なるから）なので、 $γ$ は $B$ 、 $D$ 、 $E$ のいずれかである。 $α = p$ として1つずつ解く。

$γ = B$ ： $p + 1 = \frac{3 + 3 i}{2} p$ より $1 = \frac{1 + 3 i}{2} p$ 、 $p = \frac{2}{1 + 3 i} = \frac{1 - 3 i}{2}$
$γ = D$ ： $p + 1 = 3 i p$ より $1 = (3 i - 1) p$ 、 $p = \frac{1}{3 i - 1} = \frac{- 1 - 3 i}{4}$
$γ = E$ ： $p + 1 = \frac{- 1 + 3 i}{2} p$ より $1 = \frac{- 3 + 3 i}{2} p$ 、 $p = \frac{2}{- 3 + 3 i} = \frac{- 3 - 3 i}{6}$

それぞれ $β = (1 + 3 i) α$ 、 $γ = α + 1$ を計算すると

γ の頂点 B D E α \frac{1 - 3 i}{2} \frac{- 1 - 3 i}{4} \frac{- 3 - 3 i}{6} β 2 \frac{1 - 3 i}{2} - \frac{2 3}{3} i γ \frac{3 - 3 i}{2} \frac{3 - 3 i}{4} \frac{3 - 3 i}{6}

の3組である。どの組も $α, β, γ$ は互いに異なり、 $0$ でない。

図示。 正六角形は $A = α$ を決めれば1つに定まる。3つの場合は、 $A$ がそれぞれ

$∣ α ∣ = 1$ 、 $ar g α = - 6 0^{\circ}$ （ $γ = B$ ）
$∣ α ∣ = \frac{1}{2}$ 、 $ar g α = - 12 0^{\circ}$ （ $γ = D$ ）
$∣ α ∣ = \frac{1}{3}$ 、 $ar g α = - 15 0^{\circ}$ （ $γ = E$ ）

の位置にあり、そこから反時計回りに $B, C, D, E$ が並ぶ。

3つの場合の正六角形。実線が

γ = B

（

α = \frac{1 - 3 i}{2}

、1辺

1

）、点線が

γ = D

（

α = \frac{- 1 - 3 i}{4}

、1辺

\frac{1}{2}

）、薄い線が

γ = E

（

α = \frac{- 3 - 3 i}{6}

、1辺

\frac{1}{3}

）。どれも原点を頂点にもち、

γ = α + 1

が実軸方向に

1

ずれた頂点になっている。

3つの $p$ について、 $γ = α + 1$ が確かに頂点 $B, D, E$ に一致し、第3式の値が $1 0^{- 15}$ 以下になることを確かめた。6辺の長さがすべて等しいことも確かめた。

第3式は $γ$ の2次方程式。和と積を見ると $\frac{α + β}{2}$ と $α + 1$ に分かれる。解の公式を使うより因数分解を狙う。

$\frac{α + β}{2}$ （線分 $α β$ の中点）は頂点にならない。 $p$ の係数が頂点の係数のどれとも違うことを言えばよい。

$γ = α + 1$ は「 $α$ から実軸方向に $1$ 動いた点」。これが頂点になるように六角形の大きさと向きが決まる。

$γ = A$ （ $= α$ ）や $γ = C$ （ $= β$ ）は「互いに異なる」に反する。 $γ = O$ も $γ \neq = 0$ に反する。

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(1)αβ​ を求め、α,β がそれぞれどの頂点か答える

(2)組 (α,β,γ) をすべて求め、それぞれの組について正六角形 OABCDE を複素数平面上に図示する

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