独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

名古屋大学　2022年度　前期日程　理科系

名大理系 2022年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　整式

剰余の定理・重解と微分・3次関数の増減・解の個数当サイトの体感難易度：標準

(1)整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求める

答 $3 a^{2} x - 2 a^{3}$

余りを $p x + q$ とおき、 $x = a$ の代入と、両辺を微分してからの $x = a$ の代入の2本で決める。重解で割るときの定石である。

商を $Q (x)$ 、余りを $p x + q$ とすると

x^{3} = (x - a)^{2} Q (x) + p x + q

である。 $x = a$ を代入すると

a^{3} = p a + q \dots ①

である。次に両辺を $x$ で微分する。右辺の第1項の導関数は

2 (x - a) Q (x) + (x - a)^{2} Q^{'} (x)

で、どちらの項も $x - a$ を因数にもつので $x = a$ で $0$ になる。よって

3 a^{2} = p \dots ②

である。② を ① に入れて

q = a^{3} - 3 a^{3} = - 2 a^{3}

だから、求める余りは

3 a^{2} x - 2 a^{3}

である。

$x = (x - a) + a$ として $x^{3} = {(x - a) + a}^{3}$ を二項展開してもよい。 $(x - a)^{2}$ を含まない項は $3 a^{2} (x - a) + a^{3} = 3 a^{2} x - 2 a^{3}$ で同じになる。商は $x + 2 a$ である。

$x^{3} - (3 a^{2} x - 2 a^{3})$ を $(x - a)^{2}$ で割ると、いつも商が $x + 2 a$ でちょうど割り切れた。

$(x - a)^{2}$ は2次式なので余りは1次以下。 $p x + q$ とおく。

重解で割るときは「代入」だけでは式が1本しか出ない。微分してもう1本作る。

(2)実数係数の2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ であるとき、 $b$ の値に応じてこのような $f (x)$ が何個あるかを求める

答 $∣ b ∣ < 2$ のとき3個、 $∣ b ∣ = 2$ のとき2個、 $∣ b ∣ > 2$ のとき1個

$x^{3}$ を $x^{2} + α x + β$ で割った余りを $α, β$ で表し、 $3 x + b$ と係数比較する。 $β$ を消すと $α$ の3次方程式になる。

実際に割り算をすると

x^{3} = (x^{2} + α x + β) (x - α) + (α^{2} - β) x + α β

である（右辺を展開すると $x^{3} + (β - α^{2}) x - α β + (α^{2} - β) x + α β = x^{3}$ ）。よって余りは $(α^{2} - β) x + α β$ である。

これが $3 x + b$ に等しいので

α^{2} - β = 3 \dots ①, α β = b \dots ②

である。① より $β = α^{2} - 3$ 、これを ② に入れて

α (α^{2} - 3) = b, すなわち α^{3} - 3 α = b

である。 $f$ は $α$ で決まる（ $β = α^{2} - 3$ ）ので、求める個数は $α^{3} - 3 α = b$ の実数解の個数である。

増減。 $g (α) = α^{3} - 3 α$ とおくと

g^{'} (α) = 3 α^{2} - 3 = 3 (α + 1) (α - 1)

なので、 $α = - 1$ で極大値 $g (- 1) = - 1 + 3 = 2$ 、 $α = 1$ で極小値 $g (1) = 1 - 3 = - 2$ をとる。

水平線 $y = b$ との交点の個数を数えると

$b < - 2$ または $b > 2$ ：1個
$b = - 2$ または $b = 2$ ：2個（極値のところで接する）
$- 2 < b < 2$ ：3個

である。

y = α^{3} - 3 α

。極大値

2

（

α = - 1

）と極小値

- 2

（

α = 1

）をもつ。水平線

y = b

との交点の個数がそのまま

f (x)

の個数で、

- 2 < b < 2

で3個、

b = \pm 2

で2個、それ以外で1個になる。

$α^{3} - 3 α - b = 0$ の判別式 $108 - 27 b^{2}$ の符号で数えると、 $b = \pm 2.5, \pm 5$ で1個、 $b = \pm 2$ で2個、 $b = 0, \pm 1, \pm 1.9999$ で3個となり、予想と一致した。

$f$ は $(α, β)$ の組で決まるが、 $β = α^{2} - 3$ と $α$ から定まるので、数えるのは $α$ の個数でよい。

$b = \pm 2$ のときは重解が1つと別の解が1つで2個。3個でも1個でもない。

「余りが $3 x + b$ 」なので $x$ の係数が $3$ に固定される。ここから $β = α^{2} - 3$ が出る。

第1問だけのページ

第2問　確率

不等式の場合分け・積の大小・互いに素・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1) $ab + 2 c \geq ab c$ となる確率を求める

答 $\frac{29}{108}$

$c$ で場合を分ける。 $c = 1$ なら恒等的に成り立ち、 $c \geq 2$ なら $ab \leq \frac{2 c}{c - 1}$ という $ab$ の上限になる。

$ab + 2 c \geq ab c$ を $ab (1 - c) + 2 c \geq 0$ と書き直す。

$c = 1$ のとき。 左辺は $0 + 2 = 2 \geq 0$ でつねに成り立つ。 $(a, b)$ は自由なので $6 \times 6 = 36$ 通り。

$c \geq 2$ のとき。 $c - 1 > 0$ で割って

ab \leq \frac{2 c}{c - 1}

である。右辺を計算すると

c = 2 : 4, c = 3 : 3, c = 4 : \frac{8}{3}, c = 5 : \frac{5}{2}, c = 6 : \frac{12}{5}

なので、 $ab$ （整数）の条件はそれぞれ $ab \leq 4$ 、 $ab \leq 3$ 、 $ab \leq 2$ 、 $ab \leq 2$ 、 $ab \leq 2$ である。

$(a, b)$ を数える。

$ab \leq 2$ ： $(1, 1), (1, 2), (2, 1)$ の3通り
$ab \leq 3$ ：上に $(1, 3), (3, 1)$ を加えて5通り
$ab \leq 4$ ：さらに $(1, 4), (4, 1), (2, 2)$ を加えて8通り

したがって

36 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 = 58 通り

で

P = \frac{58}{216} = \frac{29}{108}

である（ $0.269$ ほど）。

$216$ 通りを全列挙すると $58$ 通りで、 $\frac{58}{216} = \frac{29}{108}$ だった。

$c = 1$ を別扱いにする。 $c - 1 = 0$ で割れないし、このとき全部成り立つ。

$\frac{2 c}{c - 1}$ は $c$ が大きいほど小さくなり、 $c \geq 4$ では $3$ を下回る。 $ab \leq 2$ に落ち着く。

$ab \leq 4$ に $(1, 4), (4, 1), (2, 2)$ を数え落とさない。 $(2, 2)$ を忘れやすい。

(2) $ab + 2 c$ と $2 ab c$ が互いに素となる確率を求める

答 $\frac{13}{72}$

$2 ab c$ は偶数なので、まず $ab + 2 c$ が奇数、つまり $ab$ が奇数（ $a, b$ がともに奇数）でなければならない。あとは $ab + 2 c$ と $a$ 、 $b$ 、 $c$ それぞれの共通因数を見る。

$a, b$ は奇数。 $2 ab c$ は偶数なので、互いに素であるためには $ab + 2 c$ が奇数、すなわち $ab$ が奇数、つまり $a$ も $b$ も奇数（ $1, 3, 5$ ）でなければならない。

このとき $ab + 2 c$ は奇数なので $2$ とは互いに素であり、条件は

g cd (ab + 2 c, ab c) = 1

と同じになる。素数 $p$ が両方を割るとすると

$p ∣ a$ のとき： $p ∣ ab + 2 c$ と $p ∣ ab$ から $p ∣ 2 c$ 。 $p$ は奇数（ $a$ が奇数）なので $p ∣ c$
$p ∣ b$ のとき：同様に $p ∣ c$
$p ∣ c$ のとき： $p ∣ ab + 2 c$ と $p ∣ 2 c$ から $p ∣ ab$ 、よって $p ∣ a$ または $p ∣ b$

つまり条件は「 $a$ と $c$ が互いに素、かつ $b$ と $c$ が互いに素」、まとめると $g cd (ab, c) = 1$ である。

数える。 $a, b \in {1, 3, 5}$ 、 $c \in {1, \dots, 6}$ で $g cd (ab, c) = 1$ を数える。

(a, b) (1, 1) (1, 3), (3, 1) (1, 5), (5, 1) (3, 3) (3, 5), (5, 3) (5, 5) ab 13591525 g cd (ab, c) = 1 となる c 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6) 1, 2, 4, 5 (4) 1, 2, 3, 4, 6 (5) 1, 2, 4, 5 (4) 1, 2, 4 (3) 1, 2, 3, 4, 6 (5)

合計すると

6 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 4 + 2 \cdot 3 + 5 = 6 + 8 + 10 + 4 + 6 + 5 = 39 通り

で

P = \frac{39}{216} = \frac{13}{72}

である（ $0.181$ ほど）。

$g cd (ab, c) = 1$ は「 $ab$ の素因数（ $3$ か $5$ だけ）が $c$ を割らない」ということ。 $ab$ が $3$ の倍数なら $c \neq = 3, 6$ 、 $5$ の倍数なら $c \neq = 5$ 、と読める。

$216$ 通りを全列挙して $g cd (ab + 2 c, 2 ab c) = 1$ を直接判定すると $39$ 通りで、 $\frac{39}{216} = \frac{13}{72}$ だった。

$2 ab c$ の $2$ が効いて、まず $ab$ が奇数に絞られる。ここを落とすと数が合わない。

$ab + 2 c$ と $ab c$ の共通素因数は $a, b, c$ のどれかを割る。 $p ∣ c$ と $p ∣ ab$ が同値になることを押さえる。

$a, b$ が奇数なので、 $p ∣ a$ なら $p$ は奇数。 $p ∣ 2 c$ から $p ∣ c$ が言える。

第2問だけのページ

第3問　複素数平面

2次方程式の解・偏角と絶対値・正六角形の頂点・因数分解当サイトの体感難易度：難

(1) $\frac{β}{α}$ を求め、 $α, β$ がそれぞれどの頂点か答える

答 $\frac{β}{α} = 1 + 3 i$ 、 $α$ は $A$ 、 $β$ は $C$

$4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0$ を $α^{2}$ で割れば $\frac{β}{α}$ の2次方程式になる。偏角の条件でどちらかに決まる。あとは「 $∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ かつ偏角が $6 0^{\circ}$ 違い」をみたす頂点の組を探す。

$α \neq = 0$ なので $4 α^{2} - 2 α β + β^{2} = 0$ の両辺を $α^{2}$ で割る。 $w = \frac{β}{α}$ とおくと

w^{2} - 2 w + 4 = 0 ⟹ w = 1 \pm 3 i

である。 $1 + 3 i = 2 (cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ})$ 、 $1 - 3 i = 2 (cos (- 6 0^{\circ}) + i sin (- 6 0^{\circ}))$ なので、 $0 \leq ar g w \leq π$ をみたすのは

\frac{β}{α} = 1 + 3 i

である。つまり $∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ で、 $β$ の偏角は $α$ の偏角より $6 0^{\circ}$ 大きい。

頂点を調べる。 正六角形 $OABCDE$ で $A = p$ （ $p \neq = 0$ ）とすると、反時計回りに並ぶ頂点は

O = 0, A = p, B = \frac{3 + 3 i}{2} p, C = (1 + 3 i) p, D = 3 i p, E = \frac{- 1 + 3 i}{2} p

である。原点からの距離と偏角のずれ（ $A$ を基準）は

頂点 A B C D E 距離 ∣ p ∣ 3 ∣ p ∣ 2 ∣ p ∣ 3 ∣ p ∣ ∣ p ∣ 偏角のずれ 0^{\circ} 3 0^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ}

である。距離が2倍になる組は $(A, C)$ と $(E, C)$ しかなく（ $3$ や $2$ の2倍に当たる頂点はない）、偏角のずれが $6 0^{\circ}$ なのは $(A, C)$ のほうだけである（ $E \to C$ は $- 6 0^{\circ}$ ）。したがって

α = A, β = C

である。

正六角形

OABCDE

（反時計回り）。原点

O

からの距離は

A, E

が

∣ p ∣

、

B, D

が

3 ∣ p ∣

、

C

が

2 ∣ p ∣

。

A

を基準とした偏角は

B

が

+ 3 0^{\circ}

、

C

が

+ 6 0^{\circ}

、

D

が

+ 9 0^{\circ}

、

E

が

+ 12 0^{\circ}

。

$w = 1 + 3 i$ が $4 - 2 w + w^{2} = 0$ をみたし、 $∣ w ∣ = 2$ 、 $ar g w = 6 0^{\circ}$ であることを数値で確かめた。

$w^{2} - 2 w + 4 = 0$ の2解は共役で、偏角が $\pm 6 0^{\circ}$ 。 $0 \leq ar g w \leq π$ で $+ 6 0^{\circ}$ のほうに決まる。

$∣ β ∣ = 2 ∣ α ∣$ を先に使って候補を絞る。頂点の距離は $∣ p ∣, 3 ∣ p ∣, 2 ∣ p ∣$ の3種類しかない。

$E \to C$ も距離は2倍だが偏角が $- 6 0^{\circ}$ なので不適。偏角の向きを確かめる。

(2)組 $(α, β, γ)$ をすべて求め、それぞれの組について正六角形 $OABCDE$ を複素数平面上に図示する

答 $γ$ が $B, D, E$ になる3組。 $α = \frac{1 - 3 i}{2}, \frac{- 1 - 3 i}{4}, \frac{- 3 - 3 i}{6}$ で、いずれも $β = (1 + 3 i) α$ 、 $γ = α + 1$

第3式を $γ$ の2次方程式として解く。 $β = (1 + 3 i) α$ を入れると因数分解でき、 $γ = \frac{α + β}{2}$ か $γ = α + 1$ になる。前者は頂点になりえないので、後者が頂点になる $α$ を探す。

$β = (1 + 3 i) α$ なので $α + β = (2 + 3 i) α$ 、 $3 α + β = (4 + 3 i) α$ である。第3式は

2 γ^{2} - {(4 + 3 i) α + 2} γ + (α + 1) (2 + 3 i) α = 0

である。2解の和と積を見ると

\frac{( 4 + 3 i ) α + 2}{2} = \frac{α + β}{2} + (α + 1), \frac{( α + 1 ) ( 2 + 3 i ) α}{2} = \frac{α + β}{2} \cdot (α + 1)

となっているので、この2次方程式は

2 (γ - \frac{α + β}{2}) (γ - (α + 1)) = 0

と因数分解でき

γ = \frac{α + β}{2} または γ = α + 1

である。

$γ = \frac{α + β}{2}$ は不適。 $α = p$ 、 $β = (1 + 3 i) p$ なので $\frac{α + β}{2} = \frac{2 + 3 i}{2} p$ である。頂点はすべて $p$ の定数倍で、その定数は

0, 1, \frac{3 + 3 i}{2}, 1 + 3 i, 3 i, \frac{- 1 + 3 i}{2}

のどれかだが、 $\frac{2 + 3 i}{2}$ はこのどれとも異なる。よってこの $γ$ は頂点になれない。

$γ = α + 1$ が頂点になる場合。 $γ \neq = 0$ 、 $γ \neq = α$ （ $1 \neq = 0$ ）、 $γ \neq = β$ （互いに異なるから）なので、 $γ$ は $B$ 、 $D$ 、 $E$ のいずれかである。 $α = p$ として1つずつ解く。

$γ = B$ ： $p + 1 = \frac{3 + 3 i}{2} p$ より $1 = \frac{1 + 3 i}{2} p$ 、 $p = \frac{2}{1 + 3 i} = \frac{1 - 3 i}{2}$
$γ = D$ ： $p + 1 = 3 i p$ より $1 = (3 i - 1) p$ 、 $p = \frac{1}{3 i - 1} = \frac{- 1 - 3 i}{4}$
$γ = E$ ： $p + 1 = \frac{- 1 + 3 i}{2} p$ より $1 = \frac{- 3 + 3 i}{2} p$ 、 $p = \frac{2}{- 3 + 3 i} = \frac{- 3 - 3 i}{6}$

それぞれ $β = (1 + 3 i) α$ 、 $γ = α + 1$ を計算すると

γ の頂点 B D E α \frac{1 - 3 i}{2} \frac{- 1 - 3 i}{4} \frac{- 3 - 3 i}{6} β 2 \frac{1 - 3 i}{2} - \frac{2 3}{3} i γ \frac{3 - 3 i}{2} \frac{3 - 3 i}{4} \frac{3 - 3 i}{6}

の3組である。どの組も $α, β, γ$ は互いに異なり、 $0$ でない。

図示。 正六角形は $A = α$ を決めれば1つに定まる。3つの場合は、 $A$ がそれぞれ

$∣ α ∣ = 1$ 、 $ar g α = - 6 0^{\circ}$ （ $γ = B$ ）
$∣ α ∣ = \frac{1}{2}$ 、 $ar g α = - 12 0^{\circ}$ （ $γ = D$ ）
$∣ α ∣ = \frac{1}{3}$ 、 $ar g α = - 15 0^{\circ}$ （ $γ = E$ ）

の位置にあり、そこから反時計回りに $B, C, D, E$ が並ぶ。

3つの場合の正六角形。実線が

γ = B

（

α = \frac{1 - 3 i}{2}

、1辺

1

）、点線が

γ = D

（

α = \frac{- 1 - 3 i}{4}

、1辺

\frac{1}{2}

）、薄い線が

γ = E

（

α = \frac{- 3 - 3 i}{6}

、1辺

\frac{1}{3}

）。どれも原点を頂点にもち、

γ = α + 1

が実軸方向に

1

ずれた頂点になっている。

3つの $p$ について、 $γ = α + 1$ が確かに頂点 $B, D, E$ に一致し、第3式の値が $1 0^{- 15}$ 以下になることを確かめた。6辺の長さがすべて等しいことも確かめた。

第3式は $γ$ の2次方程式。和と積を見ると $\frac{α + β}{2}$ と $α + 1$ に分かれる。解の公式を使うより因数分解を狙う。

$\frac{α + β}{2}$ （線分 $α β$ の中点）は頂点にならない。 $p$ の係数が頂点の係数のどれとも違うことを言えばよい。

$γ = α + 1$ は「 $α$ から実軸方向に $1$ 動いた点」。これが頂点になるように六角形の大きさと向きが決まる。

$γ = A$ （ $= α$ ）や $γ = C$ （ $= β$ ）は「互いに異なる」に反する。 $γ = O$ も $γ \neq = 0$ に反する。

第3問だけのページ

第4問　積分法

広義積分の発散・不等式による評価・中間値の定理・置換積分当サイトの体感難易度：難

(1) $n \to \infty lim \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = \infty$ を示す

答 $f (x) \geq 1$ なので $\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{d x}{2 - x} = lo g 2 n \to \infty$ で下から押さえられる

$f$ は増加で $f (0) = 1$ だから $x \geq 0$ で $f (x) \geq 1$ である。被積分関数を下から $\frac{1}{2 - x}$ で押さえれば、残りは $lo g$ の計算だけ。

$f$ は $x \geq 0$ で増加し $f (0) = 1$ なので、 $x \geq 0$ では $f (x) \geq f (0) = 1$ である。また $0 \leq x \leq 2 - \frac{1}{n}$ では $2 - x \geq \frac{1}{n} > 0$ なので

\frac{f ( x )}{2 - x} \geq \frac{1}{2 - x} > 0

である。したがって

\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x \geq \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{d x}{2 - x} = [- lo g (2 - x)]_{0}^{2 - \frac{1}{n}} = - lo g \frac{1}{n} + lo g 2 = lo g 2 n

である。 $n \to \infty$ で $lo g 2 n \to \infty$ だから、はさみうち（下から発散）により

n \to \infty lim \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = \infty

である。

$f = 1 + x$ 、 $n = 100$ で $I_{n} = 13.90$ 。下からの評価 $lo g 200 = 5.30$ より確かに大きく、 $n$ とともに増えた。

$f (x) \geq 1$ を言うのに「増加かつ $f (0) = 1$ 」を使う。 $f$ の具体形は与えられていない。

$\int \frac{d x}{2 - x} = - lo g ∣ 2 - x ∣$ である。符号を落とさない。

上端は $2$ ではなく $2 - \frac{1}{n}$ 。 $2$ では被積分関数が発散して積分が定義されない。

(2) $F_{n} (y) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{f ( x )}{x - 2} d x$ （ $y > 2$ ）について $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ を示し、 $2 + \frac{1}{n}$ より大きい実数 $a_{n}$ で $\int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x + \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a_{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = 0$ をみたすものがただ1つ存在することを示す

答 $F_{n}$ は $0$ から $\infty$ まで狭義増加なので、 $F_{n} (a_{n}) = I_{n} > 0$ をみたす $a_{n}$ がただ1つある

前半は (1) と同じく $f \geq 1$ で下から押さえる。後半は、 $x > 2$ では $\frac{1}{2 - x} < 0$ なので2つ目の積分が $- F_{n} (a)$ に等しいことに気づけば、 $F_{n} (a) = I_{n}$ という1本の方程式になる。

前半。 $x \geq 2 + \frac{1}{n}$ では $f (x) \geq 1$ 、 $x - 2 > 0$ なので

F_{n} (y) \geq \int_{2 + \frac{1}{n}}^{y} \frac{d x}{x - 2} = [lo g (x - 2)]_{2 + \frac{1}{n}}^{y} = lo g (n (y - 2))

である。 $y \to \infty$ で右辺は $\infty$ に発散するので $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ である。

後半。 $I_{n} = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x$ とおく。(1) より $I_{n} > 0$ である。また $x > 2$ では $2 - x = - (x - 2)$ なので

\int_{2 + \frac{1}{n}}^{a} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = - \int_{2 + \frac{1}{n}}^{a} \frac{f ( x )}{x - 2} d x = - F_{n} (a)

である。したがって求める条件は

I_{n} - F_{n} (a) = 0, すなわち F_{n} (a) = I_{n}

である。

$F_{n}$ は $y > 2 + \frac{1}{n}$ で微分可能で

F_{n}^{'} (y) = \frac{f ( y )}{y - 2} \geq \frac{1}{y - 2} > 0

なので狭義増加である。さらに $F_{n} (2 + \frac{1}{n}) = 0$ 、 $y \to \infty lim F_{n} (y) = \infty$ である。

$I_{n} > 0$ なので、中間値の定理より $F_{n} (a) = I_{n}$ をみたす $a > 2 + \frac{1}{n}$ が存在し、狭義増加だからただ1つである。これを $a_{n}$ とすればよい。

$f = e^{x}$ 、 $n = 5$ で $I_{n} = 8.673$ 、 $F_{n} (y)$ を二分法で解くと $a_{n} = 2.469$ がただ1つ見つかった。

2つ目の積分は $\frac{f}{2 - x}$ （分母が $2 - x$ ）で、 $x > 2$ では負である。 $F_{n}$ の定義（分母が $x - 2$ ）と符号が逆になる。

$F_{n} (2 + \frac{1}{n}) = 0$ （積分区間の幅が $0$ ）から出発して増加する。だから $I_{n} > 0$ をちょうど1回横切る。

「ただ1つ」は狭義増加から出る。存在だけなら中間値の定理で足りる。

(3)(2) の $a_{n}$ について、不等式 $a_{n} < 4$ がすべての $n$ に対して成り立つことを示す

答 $x \mapsto 4 - x$ の置換で $F_{n} (4) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} d u > I_{n}$ 、 $F_{n}$ は増加だから $a_{n} < 4$

$F_{n} (4) > I_{n}$ さえ言えれば、 $F_{n}$ が増加だから $F_{n} (a_{n}) = I_{n} < F_{n} (4)$ より $a_{n} < 4$ である。 $F_{n} (4)$ を $x = 4 - u$ で置換すると $I_{n}$ と同じ形になり、 $f$ の中身だけが違う。

$F_{n} (4)$ を置換する。 $F_{n} (4) = \int_{2 + \frac{1}{n}}^{4} \frac{f ( x )}{x - 2} d x$ で $x = 4 - u$ とおく。 $d x = - d u$ 、 $x - 2 = 2 - u$ で、 $x : 2 + \frac{1}{n} \to 4$ のとき $u : 2 - \frac{1}{n} \to 0$ だから

F_{n} (4) = \int_{2 - \frac{1}{n}}^{0} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} (- d u) = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( 4 - u )}{2 - u} d u

である。一方

I_{n} = \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( u )}{2 - u} d u

なので、2つは「分子が $f (4 - u)$ か $f (u)$ か」だけが違う。

大小を比べる。 $0 \leq u \leq 2 - \frac{1}{n}$ では

4 - u \geq 4 - (2 - \frac{1}{n}) = 2 + \frac{1}{n} > 2 - \frac{1}{n} \geq u

なので $4 - u > u \geq 0$ である。 $f$ は増加関数だから $f (4 - u) > f (u)$ で、 $2 - u > 0$ より

\frac{f ( 4 - u )}{2 - u} > \frac{f ( u )}{2 - u}

が区間全体で成り立つ。したがって

F_{n} (4) > I_{n}

である。

結論。 (2) より $F_{n} (a_{n}) = I_{n} < F_{n} (4)$ で、 $F_{n}$ は狭義増加だから

a_{n} < 4

である。これはすべての $n$ について成り立つ。

$x = 4 - u$ は「 $x = 2$ を中心とした折り返し」である。 $2 + \frac{1}{n} \leq x \leq 4$ を $0 \leq u \leq 2 - \frac{1}{n}$ に移すと、分母 $x - 2$ がちょうど $2 - u$ になり、 $I_{n}$ とそろう。

$f = 1 + x, e^{x}, 1 + x$ と $n = 2, 5, 20, 100$ の全12通りで $F_{n} (4) > I_{n}$ が成り立ち、二分法で求めた $a_{n}$ はすべて $4$ 未満（ $2.37$ 〜 $3.35$ ）だった。

$a_{n} < 4$ を直接示すのではなく、「 $F_{n} (4) > I_{n}$ かつ $F_{n}$ が増加」から言う。 $a_{n}$ の値を求める必要はない。

置換 $x = 4 - u$ で区間の向きが逆になり、 $- d u$ と合わせて符号が戻る。

$f (4 - u) > f (u)$ は $f$ が狭義増加だから言える。 $4 - u > u$ が区間全体で成り立つことを確かめる。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大数学2027

名大理系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全3巻を見る¥2,695・124ページ・2026年7月23日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)整式 x3 を2次式 (x−a)2 で割ったときの余りを求める

(2)実数係数の2次式 f(x)=x2+αx+β で x3 を割ったときの余りが 3x+b であるとき、b の値に応じてこのような f(x) が何個あるかを求める

(1)ab+2c≥abc となる確率を求める

(2)ab+2c と 2abc が互いに素となる確率を求める

(1)αβ​ を求め、α,β がそれぞれどの頂点か答える

(2)組 (α,β,γ) をすべて求め、それぞれの組について正六角形 OABCDE を複素数平面上に図示する

(1)n→∞lim​∫02−n1​​2−xf(x)​dx=∞ を示す

(2)Fn​(y)=∫2+n1​y​x−2f(x)​dx（y>2）について y→∞lim​Fn​(y)=∞ を示し、2+n1​ より大きい実数 an​ で ∫02−n1​​2−xf(x)​dx+∫2+n1​an​​2−xf(x)​dx=0 をみたすものがただ1つ存在することを示す

(3)(2) の an​ について、不等式 an​<4 がすべての n に対して成り立つことを示す

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(1)整式 $x^{3}$ を2次式 $(x - a)^{2}$ で割ったときの余りを求める

(2)実数係数の2次式 $f (x) = x^{2} + α x + β$ で $x^{3}$ を割ったときの余りが $3 x + b$ であるとき、 $b$ の値に応じてこのような $f (x)$ が何個あるかを求める

(1) $ab + 2 c \geq ab c$ となる確率を求める

(2) $ab + 2 c$ と $2 ab c$ が互いに素となる確率を求める

(1) $\frac{β}{α}$ を求め、 $α, β$ がそれぞれどの頂点か答える

(2)組 $(α, β, γ)$ をすべて求め、それぞれの組について正六角形 $OABCDE$ を複素数平面上に図示する

(1) $n \to \infty lim \int_{0}^{2 - \frac{1}{n}} \frac{f ( x )}{2 - x} d x = \infty$ を示す

(3)(2) の $a_{n}$ について、不等式 $a_{n} < 4$ がすべての $n$ に対して成り立つことを示す