第3問 整数の解答・解説

$f(m,n)=n^2(m+1)+a{m}^2+8$ とまとめる。以下 $16$ を法として考える。

$m$ は偶数でなければならない。 $m$ が奇数なら $m+1$ は偶数なので $n^2(m+1)$ は偶数、$a{m}^2$ は（$a$ も $m$ も奇数なので）奇数である。よって $f$ は奇数となり、$16$ の倍数にはなりえない。

$m\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ でなければならない。 $m=2k$ とすると $a{m}^2=4a{k}^2$ で、$m+1=2k+1$ は奇数である。

$k$ が偶数なら $k^2$ は $4$ の倍数だから $4a{k}^2\equiv 0(\mathrm{mod}16)$ で

となる。$m+1$ は奇数なので $16$ を法として逆数をもち、$f\equiv 0$ は $n^2\equiv -8\cdot (m+1{)}^{-1}\equiv 8(\mathrm{mod}16)$（奇数倍しても $8$ は $8$ のまま）を意味する。ところが平方数を $16$ で割った余りは $0,1,4,9$ のいずれかで $8$ にならない。よって $k$ は奇数、すなわち $m\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ である。

$a$ の条件を出す。 $k$ が奇数なら $k^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ なので $4a{k}^2\equiv 4a(\mathrm{mod}16)$ である。したがって条件は

となる。ここで $u=m+1$ は $m\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ より $u\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ である。$n^2\in \{0,1,4,9\}$ として $n^{2}u$ を $16$ で割った余りを調べると

1. $n^2\equiv 0$：$n^{2}u\equiv 0$。
2. $n^2\equiv 1$：$n^{2}u\equiv u\in \{3,7,11,15\}$。
3. $n^2\equiv 4$：$4u$ は $u\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ より $4u\equiv 12$（$u=3,7,11,15$ のいずれでも $12$）。
4. $n^2\equiv 9$：$9u\in \{11,15,3,7\}$。

なので、$n^{2}u$ のとりうる値は $\{0,3,7,11,12,15\}$ である。いっぽう右辺は、$a$ が奇数なので

である。$4$ は $\{0,3,7,11,12,15\}$ に入っていないので $a\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ では解がなく、$12$ は入っているので $a\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ では解がある。よって求める条件は

である。

$a\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき、たとえば $(m,n)=(2,2)$ が解になる。実際 $f(2,2)=2\cdot 4+4a+4+8=4a+20$ で、$a=4j+3$ なら $4a+20=16j+32$ となり $16$ の倍数である。